Matrices – matemáticas 2º Bachillerato Ciencias: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. \(2A=\begin{pmatrix}2&4\\6&8\end{pmatrix}\) y \(B^t=B\). Entonces \(2A-B^t=\begin{pmatrix}2&3\\5&8\end{pmatrix}\). \(B\) es simétrica: al trasponerla no cambia. (1 punto)
   2. \(AB=\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}\) y \(BA=\begin{pmatrix}3&4\\1&2\end{pmatrix}\). Son distintas: no conmutan. Por ejemplo, el elemento (1,1) de \(AB\) es \(1\cdot0+2\cdot1=2\) y el de \(BA\) es \(0\cdot1+1\cdot3=3\). Multiplicar por \(B\) a la derecha intercambia las columnas de \(A\); a la izquierda, sus filas. (1,5 puntos)
   3. \(AC=\begin{pmatrix}-1&6&4\\-1&12&10\end{pmatrix}\). \(CA\) no existe porque \(C\) tiene 3 columnas y \(A\) tiene 2 filas. \(A\) es \(2\times2\) y \(C\) es \(2\times3\), así que \(AC\) es \(2\times3\); su primer elemento es \(1\cdot1+2\cdot(-1)=-1\). (1,5 puntos)

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   Se calcula \(|A|=1\cdot(m-1)-1\cdot(1-m)+m\cdot(1-m^2)\) que, tras simplificar, da \(|A|=-(m-1)^2(m+2)\) (1,5 puntos).

   Si \(m\neq1\) y \(m\neq-2\), el rango es 3 (0,5 puntos).

   Si \(m=1\), las tres filas son \((1,1,1)\): rango 1 (1 punto).

   Si \(m=-2\), el determinante es 0 y el menor \(\begin{vmatrix}1&1\\1&-2\end{vmatrix}=-3\neq0\): rango 2 (1 punto).

   Comprobación para \(m=0\): la fórmula da \(-(0-1)^2(0+2)=-2\), igual que el cálculo directo, \(1\cdot(0-1)-1\cdot(1-0)+0=-2\); rango 3.

3. Solución del ejercicio 3 (4 puntos)

   Se parte de \((A|I)\). Con \(F_3-F_1\) se obtiene \((0,1,-2|-1,0,1)\) en la tercera fila; con \(F_3-F_2\) queda \((0,0,-3|-1,-1,1)\) (1,5 puntos).

   Se divide la tercera fila entre \(-3\) y se eliminan los elementos superiores. Resulta \(A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{1}{3}&- \frac{2}{3}&\frac{2}{3}\\- \frac{1}{3}&\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{3}&- \frac{1}{3}\end{pmatrix}\) (1,5 puntos).

   Comprobación: \(AA^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=I\) (1 punto).

   Otra comprobación parcial: la tercera fila de \(A\), \((1,1,0)\), por la primera columna de \(A^{-1}\) da \(\frac13-\frac13+0=0\).

4. Solución del ejercicio 4 (4 puntos)

   Se saca factor común: \(X(A-I)=B\) (1 punto).

   \(A-I=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\) tiene determinante \(-1\neq0\) y \((A-I)^{-1}=\begin{pmatrix}0&1\\1&-1\end{pmatrix}\) (1 punto).

   \(X=B(A-I)^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1\\1&-1\end{pmatrix}\) (1 punto).

   Comprobación: \(XA-X=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}=B\) (1 punto).

   No se puede dividir entre una matriz: como \(X\) está a la izquierda, se multiplica por \((A-I)^{-1}\) por la derecha.

   Por ejemplo, la primera fila de \(X\) es \((1,2)\cdot\begin{pmatrix}0&1\\1&-1\end{pmatrix}=(2,-1)\).

   Error frecuente: escribir \(X(A-1)\); a una matriz no se le resta un número, hay que usar la identidad \(I\).

5. Solución del ejercicio 5 (4 puntos)

   1. Cada columna recoge todo el destino de los clientes de una operadora: se quedan o se van, y los porcentajes suman el 100 %. (0,5 puntos)
   2. \(v_1=Tv_0=\begin{pmatrix}49600\\30400\end{pmatrix}\) y \(v_2=Tv_1=\begin{pmatrix}49280\\30720\end{pmatrix}\) (Se redondean a clientes enteros.) (1,5 puntos)
   3. De \(Tw=w\): \(-0{,}08w_X+0{,}12w_Y=0\), luego \(w_X=1{,}5w_Y\). Con \(w_X+w_Y=80\,000\): \(2{,}5w_Y=80\,000\), \(w_Y=32\,000\) y \(w_X=48\,000\). (1,5 puntos)
   4. A largo plazo X se estabiliza en 48 000 clientes (pierde 2 000) e Y en 32 000 (gana 2 000). (0,5 puntos)

Total : 20 puntos