Límites y continuidad – matemáticas 2º Bachillerato CCSS: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. Al sustituir sale \(\frac00\). Factorizamos la diferencia de cuadrados: \(\dfrac{(x-4)(x+4)}{x-4}=x+4\to8\). (1 punto)
   2. Es una indeterminación \(\frac\infty\infty\) con numerador y denominador del mismo grado: el límite es el cociente de los coeficientes principales, \(\dfrac{5}{2}\). (1 punto)
   3. Sale \(\frac00\). Factorizamos el denominador: \(\dfrac{x-3}{(x-3)(x+3)}=\dfrac{1}{x+3}\to\dfrac{1}{6}\). (1 punto)
   4. El grado del numerador (1) es menor que el del denominador (3): el denominador crece mucho más deprisa y el límite es \(0\). (1 punto)

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. El denominador se anula en \(x=-1\), así que \(\text{Dom}f=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\). No hay más restricciones, porque se trata de un cociente de polinomios. (0,5 puntos)
   2. En \(x=-1\) el numerador vale \(-6\neq0\): hay asíntota vertical \(x=-1\), con \(\lim_{x\to-1^+}f=-\infty\) y \(\lim_{x\to-1^-}f=+\infty\). Como los grados son iguales, \(\lim_{x\to\pm\infty}f=\dfrac21=2\): asíntota horizontal \(y=2\). (2 puntos)
   3. Eje Y: \(f(0)=\dfrac{-4}{1}=-4\), punto \((0,-4)\). Eje X: la fracción se anula si el numerador es cero, \(2x-4=0\), \(x=2\), punto \((2,0)\).
   4. \(f(3)=\dfrac{2}{4}=0{,}5\) y \(f(-3)=\dfrac{-10}{-2}=5\). (0,5 puntos)

3. Solución del ejercicio 3 (3 puntos)

   1. Por la izquierda (y en \(x=1\)) se usa el primer tramo: \(\displaystyle\lim_{x\to1^-}f(x)=f(1)=1+a\). Por la derecha, el segundo: \(\displaystyle\lim_{x\to1^+}f(x)=3\cdot1-1=2\). Para que exista el límite en \(x=1\), los dos límites laterales deben ser iguales. (1,5 puntos)
   2. Para que \(f\) sea continua en \(x=1\), los límites laterales y el valor deben coincidir: \(1+a=2\), luego \(a=1\). (1 punto)
   3. Con \(a=1\): \(f(0)=0^2+1=1\), usando el primer tramo porque \(0\le1\), y \(f(2)=3\cdot2-1=5\), usando el segundo porque \(2\gt 1\). Comprobación de la continuidad: \(f(1)=1+1=2\), que coincide con el límite por la derecha. (0,5 puntos)

4. Solución del ejercicio 4 (3 puntos)

   1. Al sustituir sale \(\frac00\). Factorizamos: \(\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\), que tiende a \(6\) cuando \(x\to3\). (1 punto)
   2. El límite en \(x=3\) existe y es finito (vale 6), pero \(f(3)=0\neq6\). Por tanto, la discontinuidad es evitable: la gráfica es la recta \(y=x+3\) con un hueco en \((3,6)\) y un punto aislado en \((3,0)\).
   3. Para que sea continua, el valor en el punto debe coincidir con el límite: hay que definir \(f(3)=6\).

5. Solución del ejercicio 5 (6 puntos)

   1. \(x=20\) pertenece al primer tramo: \(P(20)=5+0{,}5\cdot20=15\) €. (1 punto)
   2. El límite por la derecha es \(c+0{,}3\cdot20=c+6\). Para que no haya salto debe valer 15: \(c+6=15\), luego \(c=9\). (2 puntos)
   3. 30 horas están en el segundo tramo: \(P(30)=9+0{,}3\cdot30=18\) €. (1 punto)
   4. \(\dfrac{P(x)}{x}=\dfrac{9+0{,}3x}{x}=\dfrac{9}{x}+0{,}3\to0{,}3\): para estancias muy largas el precio medio por hora se acerca a 0,30 €. (1,5 puntos)
   5. Para 10 h, \(P(10)=10\) €, es decir, 1 € por hora de media. Para estancias largas se acerca a 0,30 € por hora: es mucho más barato, por hora, quedarse más tiempo. (0,5 puntos)

Total : 20 puntos