Límites y continuidad – matemáticas 1º Bachillerato CCSS: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. Al sustituir da \(\tfrac00\). \(x^2+x-6=(x+3)(x-2)\), luego el límite es \(\displaystyle\lim_{x\to-3}(x-2)=-5\). Es una indeterminación: hay que factorizar y simplificar el factor \(x+3\), lo que es válido porque en el límite \(x\neq-3\).
   2. Grados iguales: \(\dfrac42=2\). Dividimos numerador y denominador entre \(x^2\): \(\dfrac{4-1/x^2}{2+1/x}\to\dfrac{4}{2}=2\).
   3. Al sustituir da \(\tfrac30\). Por la izquierda \(x-1\lt 0\): \(-\infty\). Por la derecha \(x-1\gt 0\): \(+\infty\). No existe el límite en \(x=1\). Como los límites laterales son distintos, \(x=1\) es una asíntota vertical de \(\dfrac{3}{x-1}\).

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. \(\text{Dom}\,f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\). En \(x=2\) resulta \(\tfrac70\): asíntota vertical \(x=2\), con límite \(-\infty\) por la izquierda y \(+\infty\) por la derecha. Por ejemplo, para \(x=1{,}9\) el numerador vale 6,7 y el denominador \(-0{,}1\): el cociente es muy negativo.
   2. Grados iguales: \(y=\dfrac31=3\). Tanto en \(+\infty\) como en \(-\infty\) la función se acerca a 3, el cociente de los coeficientes principales.
   3. Eje \(Y\): \(f(0)=-\dfrac12\). Eje \(X\): \(3x+1=0\), \(x=-\dfrac13\). Puntos \((0,-\tfrac12)\) y \((-\tfrac13,0)\). El signo de \(f\) cambia en \(x=-\tfrac13\) y en \(x=2\).

3. Solución del ejercicio 3 (4 puntos)

   1. Izquierda: \(9-k\). Derecha y valor: \(2\cdot3+1=7\). Continua si \(9-k=7\), es decir, \(k=2\). La función es polinómica en cada trozo, así que solo puede fallar en \(x=3\). Hay que igualar el límite por la izquierda, el límite por la derecha y el valor \(f(3)=7\). Con \(k=2\), \(f\) es continua en todo \(\mathbb{R}\).
   2. \(g\) no está definida en \(x=2\), pero \(\displaystyle\lim_{x\to2}\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=4\). Es una discontinuidad evitable: basta definir \(g(2)=4\). El límite existe y es finito, pero no hay valor de la función: por eso es evitable y no de salto ni asintótica. En el resto de puntos \(g\) es continua.

4. Solución del ejercicio 4 (3 puntos)

   1. \(CM(100)=\dfrac{2\,500}{100}=25\) €. Cada uno de los 100 ejemplares sale a 25 € porque los 2 000 € fijos se reparten entre pocos.
   2. Grados iguales: \(5\) €. Con tiradas muy grandes, el coste fijo se reparte y el coste medio se acerca al coste de cada ejemplar. Escribimos \(CM(x)=5+\dfrac{2\,000}{x}\); el segundo sumando tiende a 0.
   3. \(2\,000+5x=6x\) implica \(x=2\,000\) ejemplares. Planteamos \(\dfrac{2\,000+5x}{x}=6\) y multiplicamos por \(x\). Comprobación: \(\dfrac{2\,000+10\,000}{2\,000}=6\).

5. Solución del ejercicio 5 (5 puntos)

   1. \(P(0)=\dfrac{400}{2}=200\) conejos. \(P(3)=\dfrac{4\,000}{5}=800\); \(P(8)=\dfrac{10\,000}{10}=1\,000\).
   2. Grados iguales: \(\dfrac{1\,200}{1}=1\,200\). La población se estabiliza cerca de 1 200 conejos. La recta \(y=1\,200\) es una asíntota horizontal.
   3. \(1\,200t+400=1\,100(t+2)\) implica \(100t=1\,800\), luego \(t=18\) años. Comprobación: \(P(18)=\dfrac{22\,000}{20}=1\,100\).
   4. \(1\,200-\dfrac{2\,000}{t+2}=\dfrac{1\,200t+2\,400-2\,000}{t+2}=\dfrac{1\,200t+400}{t+2}\). Se reduce a común denominador y se agrupan los términos del numerador.
   5. No: como \(\dfrac{2\,000}{t+2}\gt 0\), \(P(t)\lt 1\,200\) siempre. Nunca se superan los 1 200 conejos, y menos aún los 1 300. El temor no está justificado: la población crece, pero queda siempre por debajo de 1 200.

Total : 20 puntos