Derivabilidad – matemáticas 2º Bachillerato Ciencias: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. Pasa por \((1,0)\): \(1+a=0\), \(a=-1\) (0,5 puntos). Continuidad en 2: \(4+2a=2b+c\), es decir, \(2b+c=2\) (1 punto). Derivabilidad: \(f^{\prime}(2^-)=4+a=3\) y \(f^{\prime}(2^+)=b\), luego \(b=3\) (1 punto) y \(c=2-6=-4\) (0,5 puntos). Son tres condiciones para tres incógnitas: el punto, la continuidad y la igualdad de las derivadas laterales. Una función derivable es continua, por eso se exige primero la continuidad.
   2. \(f^{\prime}(x)=2x-1\) si \(x\le2\) y \(f^{\prime}(x)=3\) si \(x\gt 2\) (en \(x=2\) las dos expresiones dan 3). Comprobación: \(f(2)=4-2=2\) y \(3\cdot2-4=2\); los dos tramos coinciden. (1 punto)

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. \(f(0)=0\), \(f^{\prime}(x)=e^x(1+x)\), \(f^{\prime}(0)=1\). Tangente \(y=x\); normal \(y=-x\). La derivada se obtiene con la regla del producto: \(e^x+xe^x\). La normal tiene pendiente \(-\frac1{f'(0)}=-1\), y ambas rectas pasan por el origen porque \(f(0)=0\). (2 puntos)
   2. \(e^x(1+x)=0\) solo si \(x=-1\): punto \(\left(-1,-\tfrac1e\right)\). Tangente horizontal significa pendiente nula. Como \(e^x\) nunca se anula, debe ser \(1+x=0\). La ordenada es \(f(-1)=-e^{-1}\approx-0{,}37\), que es el mínimo de la función.
   3. \(\tan\alpha=1\): \(\alpha=45^\circ\). La pendiente de la tangente es la tangente trigonométrica de su ángulo de inclinación. La recta \(y=x\) es la bisectriz del primer cuadrante. (1 punto)

3. Solución del ejercicio 3 (4 puntos)

   1. \(\tfrac00\): \(\dfrac{\sin x}{2x}\), otra vez \(\tfrac00\): \(\dfrac{\cos x}{2}\to\dfrac12\). Se aplica L'Hôpital dos veces, porque tras la primera derivación sigue la indeterminación. También puede usarse \(1-\cos x\sim\frac{x^2}2\), que da el mismo valor. (1,5 puntos)
   2. \(\infty\cdot0\): \(\dfrac{x^2}{e^x}\) (\(\tfrac\infty\infty\)). Derivando dos veces: \(\dfrac{2x}{e^x}\to\dfrac{2}{e^x}\to0\). Se transforma el producto en cociente para poder aplicar L'Hôpital. La exponencial crece más deprisa que cualquier potencia, por eso el límite es nulo. (1,5 puntos)
   3. \(\tfrac00\): \(\dfrac{1/x}{1}\to1\). Al derivar: \((\ln x)'=\frac1x\) y \((x-1)'=1\); en \(x=1\) se obtiene 1. Este límite es justamente la derivada de \(\ln x\) en \(x=1\). (1 punto)

4. Solución del ejercicio 4 (4 puntos)

   1. Polinómica, luego continua y derivable. \(f(0)=0\) y \(f(\sqrt3)=3\sqrt3-3\sqrt3=0\). \(f^{\prime}(x)=3x^2-3=0\) en \(c=1\in(0,\sqrt3)\). Las hipótesis de Rolle son continuidad en \([0,\sqrt3]\), derivabilidad en \((0,\sqrt3)\) y valores iguales en los extremos. La otra raíz, \(c=-1\), no pertenece al intervalo y se descarta. (2 puntos)
   2. \(g\) es continua en \([1,4]\) y derivable en \((1,4)\). \(\dfrac{2-1}{4-1}=\dfrac13\) y \(g^{\prime}(c)=\dfrac{1}{2\sqrt c}=\dfrac13\): \(\sqrt c=\tfrac32\), \(c=\tfrac94\in(1,4)\). La raíz cuadrada no es derivable en 0, pero 0 no está en el intervalo. Se iguala la derivada a la pendiente de la secante: \(2\sqrt c=3\). El punto \(c=2{,}25\) está entre 1 y 4, como garantiza el teorema.

5. Solución del ejercicio 5 (4 puntos)

   1. \(h(0)=25\) m. \(h^{\prime}(t)=-10t+20\), \(h^{\prime}(0)=20\) m/s. La altura inicial es el valor en \(t=0\); la velocidad es la derivada de la posición. (1 punto)
   2. \(h^{\prime}(t)=0\) en \(t=2\) s; \(h(2)=-20+40+25=45\) m. En el punto más alto la velocidad se anula. La segunda derivada, \(h''=-10\), es negativa: se trata de un máximo, y coincide con la aceleración de la gravedad aproximada.
   3. \(-5t^2+20t+25=0\), \(t^2-4t-5=0\), \(t=5\) s (la otra raíz, \(-1\), no vale). \(h^{\prime}(5)=-30\) m/s: cae a 30 m/s (108 km/h). Se divide entre \(-5\) y se factoriza: \((t-5)(t+1)=0\). El signo negativo indica que el cohete baja; \(30\cdot3{,}6=108\) km/h. (1,5 puntos)
   4. \(\dfrac{h(5)-h(0)}{5}=\dfrac{0-25}{5}=-5\) m/s. Sale negativa porque la posición final, el suelo, está por debajo de la inicial, la terraza. (0,5 puntos)

Total : 20 puntos