Límites y continuidad – matemáticas 1º Grado (Universidad): soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (5 puntos)

   Criterios. Se valora identificar la indeterminación en cada apartado y elegir la técnica adecuada (factorizar, conjugado, límites notables).

   1. Factorizamos: \(\frac{(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+2)}=\frac{x-3}{x+2}\to-\frac14\). Al sustituir sale \(\frac00\), así que \(x=2\) es raíz del numerador y del denominador. Tras simplificar, \(\frac{2-3}{2+2}=-\frac14\).
   2. Racionalizamos: \(\frac{x}{(\sqrt{x+1}+1)\sin2x}=\frac{x}{\sin2x}\cdot\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}\to\frac12\cdot\frac12=\frac14\). Es \(\frac00\). Multiplicamos por el conjugado \(\sqrt{x+1}+1\) y el numerador queda \(x\). Además \(\frac{x}{\sin2x}=\frac12\cdot\frac{2x}{\sin2x}\to\frac12\).
   3. \(f-1=\frac{2}{2x-1}\), \(g(f-1)=\frac{2x}{2x-1}\to1\). Límite: \(e\). Es una indeterminación \(1^\infty\): se usa \(\lim f^g=e^{\lim g(f-1)}\) con \(f=\frac{2x+1}{2x-1}\to1\) y \(g=x\). El exponente tiende a 1, así que el límite es \(e^1=e\).

2. Solución del ejercicio 2 (3 puntos)

   Criterios. Se valora calcular bien los límites laterales y plantear correctamente la condición de continuidad para hallar el parámetro.

   1. Por la izquierda \(\frac{\sin ax}{x}\to a\). Por la derecha \(\frac{e^{bx}-1}{x}+1\to b+1\). Por la izquierda se usa el límite notable \(\frac{\sin u}{u}\to1\) con \(u=ax\). Por la derecha, \(\frac{e^u-1}{u}\to1\) con \(u=bx\), de modo que \(\frac{e^{bx}-1}{x}\to b\).
   2. Continuidad: \(a=2\) y \(b+1=2\), es decir \(b=1\). Ambos límites laterales deben valer \(f(0)=2\). Con \(a=2\) y \(b=1\) la función es continua en 0.

3. Solución del ejercicio 3 (4 puntos)

   Criterios. Se valora el dominio, la clasificación razonada de las discontinuidades y el cálculo de las asíntotas con límites.

   1. Dominio \(\mathbb R\setminus\{-1,1\}\). Como \(x^2-x-2=(x-2)(x+1)\), \(f=\frac{x-2}{x-1}\) salvo en \(-1\). En \(x=-1\): límite \(\frac{-3}{-2}=\frac32\), discontinuidad evitable. En \(x=1\): laterales infinitos, esencial. La de \(x=1\) es de salto infinito.
   2. Asíntota vertical \(x=1\) (no en \(x=-1\), que es evitable). Horizontal \(y=1\). En efecto, \(\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x-2}{x-1}=1\).

4. Solución del ejercicio 4 (3 puntos)

   Criterios. Se valora comprobar las hipótesis de Bolzano (continuidad y cambio de signo) y aplicar con orden los pasos de bisección.

   1. \(g(x)=\cos x-x\) es continua, \(g(0)=1\gt 0\) y \(g(1)=\cos1-1\approx-0{,}46\lt 0\). Bolzano da la raíz. Es continua como diferencia de funciones continuas y toma signos opuestos en los extremos; además \(g'(x)=-\sin x-1\lt 0\) en \([0,1]\), luego la raíz es única.
   2. \(g(0{,}5)=\cos0{,}5-0{,}5\approx0{,}378\gt 0\), luego la raíz está en \((0{,}5;\,1)\). La bisección evalúa \(g\) en el punto medio y se queda con la mitad donde hay cambio de signo: como \(g(0{,}5)\gt 0\) y \(g(1)\lt 0\), se elige \([0{,}5;\,1]\). La raíz es \(x\approx0{,}739\).

5. Solución del ejercicio 5 (5 puntos)

   Criterios. Se valora escribir la función a trozos, estudiar su continuidad en los puntos de cambio e interpretar el resultado en el contexto.

   1. \(I(9)=108\), \(I(10)=100\), \(I(24)=240\), \(I(25)=225\).
   2. Hay un salto a la baja en el precio unitario: \(9\cdot12=108\gt 10\cdot10=100\), por lo que añadir una persona reduce el ingreso total.
   3. \(P(x)\to12-2=10\), que coincide con la tarifa de 10 €: ahora la tarifa sería continua.
   4. En \(n=10\): por la izquierda \(P=12\) y por la derecha \(P=10\); los límites laterales son distintos, hay un salto.

Total : 20 puntos