Derivadas – matemáticas 2º Bachillerato CCSS: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. La derivada de \(5x^2\) es \(10x\) y, como \(\left(\frac1x\right)'=-\frac1{x^2}\), la de \(-\frac3x\) es \(\frac3{x^2}\): \(f'(x)=10x+\dfrac{3}{x^2}\). Conviene escribir antes \(-\frac3x=-3x^{-1}\) y aplicar la regla de la potencia: \(-3\cdot(-1)x^{-2}=3x^{-2}\). (0,75 puntos)
   2. Regla del producto: \(g'(x)=2xe^x+(x^2+1)e^x=e^x(x^2+2x+1)=e^x(x+1)^2\). Sacar \(e^x\) factor común permite ver que \(g'(x)\ge0\) para todo \(x\), porque \(e^x\gt0\) y \((x+1)^2\ge0\). (1 punto)
   3. Regla de la cadena para el logaritmo, \((\ln u)'=\frac{u'}{u}\): \(h'(x)=\dfrac{3}{3x+1}\). Aquí \(u=3x+1\) y \(u'=3\); la derivada solo tiene sentido para \(x\gt-\frac13\), donde existe el logaritmo. (0,75 puntos)
   4. Regla del cociente: \(k'(x)=\dfrac{1\cdot x^2-(x+1)\cdot2x}{x^4}=\dfrac{-x^2-2x}{x^4}\). Simplificando por \(x\): \(k'(x)=-\dfrac{x+2}{x^3}\). Error frecuente: olvidar el paréntesis en \((x+1)\cdot2x\) y equivocarse con el signo del numerador. (1,5 puntos)

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. \(f'(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)\). Sus ceros son \(x=1\) y \(x=3\). La factorización sale de las raíces de \(x^2-4x+3=0\), que son 1 y 3. (1 punto)
   2. Estudiamos el signo de \(f'\) con valores de prueba (\(x=0\), \(x=2\), \(x=4\)): \(f'>0\) en \((-\infty,1)\cup(3,\infty)\), donde \(f\) crece, y \(f'<0\) en \((1,3)\), donde decrece. (1,5 puntos)
   3. En \(x=1\) pasa de crecer a decrecer: máximo relativo en \((1,4)\), ya que \(f(1)=1-6+9=4\). En \(x=3\) pasa de decrecer a crecer: mínimo relativo en \((3,0)\), ya que \(f(3)=27-54+27=0\). (1,5 puntos)

3. Solución del ejercicio 3 (3 puntos)

   1. Regla del producto con \(u=x^2\) y \(v=e^x\): \(f'(x)=2xe^x+x^2e^x=e^x(x^2+2x)\). Sacar \(e^x\) factor común simplifica la evaluación del apartado siguiente. (1 punto)
   2. Punto de tangencia: \(f(1)=1\cdot e=e\). Pendiente: \(f'(1)=e(1+2)=3e\). La tangente es \(y-f(1)=f'(1)(x-1)\), es decir, \(y-e=3e(x-1)\). Despejando, \(y=3ex-2e\). Comprobación: en \(x=1\) da \(y=e\), el punto de la curva. La pendiente \(3e\approx8{,}15\) es positiva, lo que indica que la función crece en \(x=1\); la recta corta al eje Y en \((0,-2e)\).

4. Solución del ejercicio 4 (3 puntos)

   1. Si un lado mide \(x\), el otro debe medir \(\dfrac{200}{x}\) para que el área sea 200 m\(^2\). El perímetro es \(P(x)=2x+2\cdot\dfrac{200}{x}=2x+\dfrac{400}{x}\), con \(x\gt 0\). (1 punto)
   2. \(P'(x)=2-\dfrac{400}{x^2}=0\) da \(x^2=200\), \(x=\sqrt{200}=10\sqrt{2}\) (el valor negativo no vale). El signo de \(P'\) pasa de negativo a positivo: es un mínimo. (1,5 puntos)
   3. El otro lado mide \(\dfrac{200}{10\sqrt2}=10\sqrt2\): el huerto es un cuadrado de lado \(14{,}14\) m y se necesitan \(4\cdot14{,}14=56{,}57\) m de valla. (0,5 puntos)

5. Solución del ejercicio 5 (6 puntos)

   1. El beneficio marginal es la derivada: \(B'(x)=-4x+120\). (1 punto)
   2. Resolvemos \(B'(x)=0\): \(x=30\) bicicletas. Como \(B''(x)=-4<0\) (o porque \(B'\) pasa de positivo a negativo), es un máximo. (2 puntos)
   3. \(B(30)=-2\cdot900+3\,600-1\,000=800\) €. (1 punto)
   4. \(B(x)=0\) equivale a \(x^2-60x+500=0\), con soluciones \(x=10\) y \(x=50\). Al ser una parábola hacia abajo, hay beneficio si \(10<x<50\). (1,5 puntos)
   5. \(B'(40)=-40\): con 40 bicicletas, vender la número 41 reduce el beneficio en unos 40 €. (0,5 puntos)

Total : 20 puntos