Límites y continuidad – matemáticas 2º Bachillerato CCSS: ejercicios para descargar en PDF

Calcula cada límite sustituyendo directamente cuando el resultado es un número.

1. \(\displaystyle\lim_{x\to2}(x^2-3x+1)\)
2. \(\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{x^2+1}{x+1}\)
3. \(\displaystyle\lim_{x\to4}\sqrt{x+5}\)

Sea \(f(x)=\begin{cases}2x+1&\text{si }x<1\\x^2+2&\text{si }x\ge1\end{cases}\)

1. Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to1^-}f(x)\).
2. Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to1^+}f(x)\).
3. ¿Existe \(\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)\)? ¿Es \(f\) continua en \(x=1\)?

Resuelve las indeterminaciones \(\dfrac{0}{0}\) factorizando o multiplicando por el conjugado.

1. \(\displaystyle\lim_{x\to3}\dfrac{x^2-9}{x-3}\)
2. \(\displaystyle\lim_{x\to2}\dfrac{x^2-5x+6}{x-2}\)
3. \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x}\)

Calcula comparando los grados del numerador y del denominador.

1. \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^2+1}{x^2-5}\)
2. \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x+1}{x^2+1}\)
3. \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^3-2x}{5x^2+1}\)

Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)\).

1. Identifica el tipo de indeterminación.
2. Multiplica y divide por el conjugado.
3. Calcula el límite.

Estudia las asíntotas de \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}\).

1. Halla el dominio.
2. Calcula los límites laterales en \(x=3\) y escribe la asíntota vertical.
3. Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)\) y escribe la asíntota horizontal.

Considera \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1}\).

1. Halla la asíntota vertical.
2. Comprueba que no hay asíntota horizontal.
3. Calcula la asíntota oblicua \(y=mx+n\) con \(m=\lim\dfrac{f(x)}{x}\) y \(n=\lim\left(f(x)-mx\right)\).

Sea \(f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-4}{x-2}&\text{si }x\neq2\\k&\text{si }x=2\end{cases}\)

1. Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to2}f(x)\).
2. Halla \(k\) para que \(f\) sea continua en \(x=2\).
3. ¿Qué tipo de discontinuidad tendría si \(k=0\)?

Se define \(f(x)=\begin{cases}3x-a&\text{si }x<2\\x^2+1&\text{si }x\ge2\end{cases}\)

1. Calcula los límites laterales en \(x=2\) en función de \(a\).
2. Halla \(a\) para que \(f\) sea continua en \(x=2\).
3. Con ese valor, calcula \(f(0)\) y \(f(3)\).

Clasifica la discontinuidad en \(x=0\) de cada función.

1. \(f(x)=\dfrac{\sin x}{x}\) (\(x\ne0\)) con \(f(0)=2\) (recuerda que \(\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1\)).
2. \(g(x)=\begin{cases}x+1&x<0\\x+3&x\ge0\end{cases}\)
3. \(h(x)=\dfrac{1}{x}\)

En una ciudad la tarifa de un taxi, en euros, para un trayecto de \(x\) km es \(T(x)=3+1{,}2x\) si \(0\le x\le5\), y \(T(x)=a+0{,}9x\) si \(x>5\). La empresa quiere que la tarifa no tenga saltos en \(x=5\).

1. Calcula \(T(5)\).
2. Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to5^+}T(x)\) en función de \(a\).
3. Halla \(a\) para que \(T\) sea continua en \(x=5\).
4. Calcula el precio de un trayecto de 10 km.

La concentración de un nutriente en un cultivo (en mg/l) a las \(t\) horas es \(c(t)=\dfrac{5t}{t+2}\), \(t\ge0\).

1. Calcula \(c(0)\) y \(c(2)\).
2. Calcula \(\displaystyle\lim_{t\to\infty}c(t)\) e interprétalo.
3. ¿En qué instante alcanza 4 mg/l?
4. Escribe la asíntota horizontal de la gráfica.

Una imprenta de Pamplona tiene un coste fijo de 500 € al día y un coste de 2 € por ejemplar. El coste medio por ejemplar al imprimir \(x\) ejemplares es \(\overline{C}(x)=\dfrac{500+2x}{x}\).

1. Calcula el coste medio al imprimir 100 ejemplares.
2. Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\overline{C}(x)\) e interprétalo.
3. ¿Cuántos ejemplares hacen falta para que el coste medio baje a 3 €?
4. Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}\overline{C}(x)\) e interprétalo.

El número de usuarios de una aplicación, en un pueblo de 1 000 habitantes, crece según \(P(t)=\dfrac{1\,000}{1+4e^{-0{,}5t}}\), con \(t\) en meses.

1. Calcula \(P(0)\).
2. Calcula \(P(4)\) con una cifra decimal.
3. Calcula \(\displaystyle\lim_{t\to\infty}P(t)\) e interprétalo.
4. ¿Tiene sentido que \(P\) sea continua? Explica.

Una compañía eléctrica cobra, por un consumo de \(x\) kWh al mes, \(F(x)=0{,}15x\) euros si \(0\le x\le100\); \(F(x)=0{,}20x+a\) si \(100<x\le300\); y \(F(x)=0{,}30x+b\) si \(x>300\). La compañía pretende que \(F\) sea continua para evitar saltos en la factura.

1. Calcula \(F(100)\) con el primer tramo.
2. Halla \(a\) imponiendo continuidad en \(x=100\).
3. Calcula \(F(300)\) con el segundo tramo y halla \(b\) para que haya continuidad en \(x=300\).
4. Calcula la factura de 450 kWh.
5. ¿Es razonable que la tarifa sea continua? Razona.

En un país ficticio el impuesto \(I(x)\), en euros, que paga una persona con ingresos anuales \(x\) euros es: \(I(x)=0{,}1x\) si \(0\le x\le12\,000\); \(I(x)=0{,}2x-a\) si \(12\,000<x\le30\,000\); y \(I(x)=0{,}3x-b\) si \(x>30\,000\). El legislador desea que \(I\) sea continua en toda la recta.

1. Calcula \(I(12\,000)\).
2. Determina \(a\).
3. Calcula \(I(30\,000)\) y determina \(b\).
4. Calcula el impuesto de una persona que gana 50 000 €.
5. Calcula el tipo medio \(\dfrac{I(x)}{x}\) para \(x=50\,000\) y compáralo con el tipo marginal del último tramo.

Sea \(f(x)=\dfrac{ax+1}{x-2}\) donde \(a\) es un parámetro. Se sabe que la gráfica de \(f\) tiene como asíntota horizontal la recta \(y=3\). Esta función modela el precio medio, en euros, de un pedido en función de la distancia \(x\) (en decenas de km), con \(x>2\).

1. Indica el dominio y la asíntota vertical de \(f\).
2. Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)\) en función de \(a\).
3. Halla \(a\).
4. Con ese valor, calcula los puntos de corte con los ejes.
5. Interpreta la asíntota horizontal.

Se considera el límite \(\displaystyle\lim_{x\to2}\dfrac{x^2+kx-6}{x-2}\).

1. Explica por qué el numerador debe anularse en \(x=2\) para que el límite sea finito.
2. Calcula \(k\).
3. Factoriza el numerador con ese valor de \(k\).
4. Calcula el valor del límite.
5. Comprueba el resultado dando valores cercanos a 2.

El número medio de usuarios por hora de una estación de bicicletas compartidas de Valencia, en función del número \(x\) de bicicletas disponibles (\(x>1\)), se modela con \(f(x)=\dfrac{3x+2}{x-1}\).

1. Calcula el dominio y los puntos de corte con los ejes.
2. Calcula \(f(2)\), \(f(5)\) y \(f(11)\).
3. Calcula las asíntotas.
4. Interpreta la asíntota horizontal en el contexto.
5. ¿Qué ocurre cuando \(x\to1^+\)? ¿Tiene sentido?

Resuelve estos retos.

1. Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{x^2-1}{x^2-3x+2}\).
2. Halla \(k\) para que \(f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-1}{x-1}&x\neq1\\k&x=1\end{cases}\) sea continua en \(\mathbb{R}\).
3. Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x\).
4. Escribe una función racional con asíntota vertical \(x=-1\) y horizontal \(y=2\).