Programación lineal – matemáticas 2º Bachillerato CCSS: soluciones del examen para descargar en PDF

← Volver al examen

1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. \((0,0)\), \((4,0)\), \((0,5)\) y el corte de \(x+y=5\) con \(2x+y=8\): \(x=3\), \(y=2\).
      Los vértices sobre los ejes salen de \(2x+y=8\) con \(y=0\) y de \(x+y=5\) con \(x=0\); el punto \((0,8)\) no vale porque incumple \(x+y\le5\).
   2. \(F\): 0, 12, 11 y 5. Máximo 12 en \((4,0)\). Se evalúa \(F\) en \((0,0)\), \((4,0)\), \((3,2)\) y \((0,5)\); como la región está acotada, el máximo se alcanza en un vértice. (1 punto)
   3. \(G\): 0, 4, 1 y \(-5\). Mínimo \(-5\) en \((0,5)\). Para minimizar \(x-y\) interesa \(x\) pequeño e \(y\) grande, y eso ocurre en el vértice situado sobre el eje Y. (1 punto)

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. \(x\ge20\), \(x+y\le100\), \(y\le3x\), \(y\ge0\). Maximizar \(F=4x+5y\). Las incógnitas son los menús de cada tipo; «los clásicos no superan el triple de los vegetarianos» se traduce en \(y\le3x\). (1 punto)
   2. \((20,0)\), \((100,0)\); \(y=3x\) con \(x+y=100\): \(4x=100\), \((25,75)\); \(y=3x\) con \(x=20\): \((20,60)\). La región es un cuadrilátero; cada vértice se obtiene resolviendo por parejas las rectas frontera. (2 puntos)
   3. \(F(20,0)=80\), \(F(100,0)=400\), \(F(25,75)=475\), \(F(20,60)=380\). Óptimo: 25 vegetarianos y 75 clásicos, 475 €. Comprobación de \((25,75)\): \(25+75=100\) y \(75=3\cdot25\), así que cumple todas las restricciones. (1 punto)

   Respuesta: 25 menús vegetarianos y 75 clásicos, con un beneficio máximo de 475 €.

3. Solución del ejercicio 3 (4 puntos)

   1. \((0,10)\), \((8,0)\) y el corte de \(2x+y=10\) con \(x+2y=8\): \(y=10-2x\), \(x+20-4x=8\), \(x=4\), \(y=2\). La región no está acotada y queda por encima de las dos rectas; \((0,10)\) sale de \(2x+y=10\) con \(x=0\) y \((8,0)\) de \(x+2y=8\) con \(y=0\). (2 puntos)
   2. \(C(0,10)=40\), \(C(4,2)=20\), \(C(8,0)=24\). Mínimo 20 en \((4,2)\). Aunque la región no está acotada, el mínimo existe: los coeficientes de \(C\) son positivos y \(C\) crece al alejarse del origen. (1,5 puntos)
   3. No: la región no está acotada y \(C\) crece sin límite. Por ejemplo, el punto \((100,100)\) es factible y da \(C=700\); se encuentran valores tan grandes como se quiera.

4. Solución del ejercicio 4 (3 puntos)

   1. \((0,4)\), \((4,0)\), \((6,0)\), \((6,5)\) y \((0,5)\). La región es un pentágono limitado por la recta \(x+y=4\), las rectas \(x=6\) e \(y=5\) y los ejes. (1 punto)
   2. \(F(0,4)=F(4,0)=8\) y en los demás es mayor. El mínimo, 8, se alcanza en todo el segmento de \(x+y=4\) entre \((0,4)\) y \((4,0)\), porque \(F\) es paralela a ese lado. Por ejemplo, el punto \((2,2)\) también da \(F=8\).
   3. \(F(6,5)=22\) es el máximo. Valores en los cinco vértices: 8, 8, 12, 22 y 10. (0,5 puntos)

5. Solución del ejercicio 5 (5 puntos)

   1. \(x+2y\le80\), \(3x+2y\le140\), \(y\ge10\), \(x\ge0\). Maximizar \(F=6x+8y\). (1 punto)
   2. \((0,10)\), \((0,40)\); \(3x+2y=140\) con \(y=10\): \(x=40\); \(x+2y=80\) con \(3x+2y=140\): \(2x=60\), \(x=30\), \(y=25\). Vértices: \((0,10)\), \((40,10)\), \((30,25)\), \((0,40)\). (1,5 puntos)
   3. \(F\): 80, 320, 380 y 320. Óptimo: 30 muñecas y 25 coches, 380 €. (1 punto)
   4. \(F=6x+12y\): 120, 360, 480 y 480. El máximo, 480 €, se alcanza en \((30,25)\), en \((0,40)\) y en todo el segmento que los une. (1 punto)
   5. La función objetivo es paralela al lado \(x+2y=80\) (moldeado). Cualquier producción de ese lado da el mismo beneficio, y la fábrica puede elegir, por ejemplo, según la demanda. (0,5 puntos)

Total : 20 puntos