Representación de funciones – matemáticas 2º Bachillerato CCSS: apuntes y teoría para descargar en PDF

Ejemplo 1

Halla el dominio de \(f(x)=\dfrac{x+1}{x^2-4}\) y de \(g(x)=\ln(x-1)\).

\(x^2-4=0\) en \(x=\pm2\), luego \(\mathrm{Dom}\,f=\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}\). Para \(g\), \(x-1>0\), luego \(\mathrm{Dom}\,g=(1,+\infty)\).

Ejemplo 2

Cortes de \(f(x)=x^3-4x\) con los ejes.

Eje \(Y\): \(f(0)=0\). Eje \(X\): \(x(x^2-4)=0\Rightarrow x=0,\ \pm2\). Puntos \((0,0)\), \((2,0)\) y \((-2,0)\).

Ejemplo 3

Estudia \(f(x)=x^3-3x^2+4\).

Dominio \(\mathbb{R}\). Cortes: \(f(0)=4\); \(f(x)=(x+1)(x-2)^2=0\) en \(x=-1\) y \(x=2\). \(f'(x)=3x(x-2)\): crece en \((-\infty,0)\cup(2,\infty)\), decrece en \((0,2)\); máximo \((0,4)\), mínimo \((2,0)\). \(f''(x)=6x-6\): cóncava en \((-\infty,1)\), convexa en \((1,\infty)\); inflexión en \((1,2)\).

Ejemplo 4

Estudia \(f(x)=\dfrac{x^2}{x-1}\).

Dominio \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\). Corte en \((0,0)\). Asíntota vertical \(x=1\). Como \(\dfrac{x^2}{x-1}=x+1+\dfrac{1}{x-1}\), la oblicua es \(y=x+1\). \(f'(x)=\dfrac{x^2-2x}{(x-1)^2}\), que se anula en \(x=0\) y \(x=2\): crece en \((-\infty,0)\cup(2,\infty)\), decrece en \((0,1)\cup(1,2)\). Máximo relativo \((0,0)\) y mínimo relativo \((2,4)\).

Ejemplo 5

Estudia la monotonía de \(f(x)=\dfrac{x-1}{x+2}\).

\(f'(x)=\dfrac{(x+2)-(x-1)}{(x+2)^2}=\dfrac{3}{(x+2)^2}>0\). Es creciente en \((-\infty,-2)\) y en \((-2,\infty)\), sin extremos. Asíntotas: \(x=-2\) y \(y=1\).

Ejemplo 6

Estudia los extremos de \(f(x)=xe^x\).

\(f'(x)=e^x(x+1)\), que se anula en \(x=-1\). Decrece en \((-\infty,-1)\) y crece en \((-1,\infty)\). Mínimo en \(\left(-1,-\dfrac1e\right)\approx(-1;\,-0{,}37)\). Cuando \(x\to-\infty\), \(f\to0\): asíntota \(y=0\).

Ejemplo 7

Los ingresos de una empresa (miles de euros) en el mes \(t\) son \(I(t)=t^3-9t^2+24t\), con \(0\le t\le6\). ¿Cuándo hay máximo y mínimo relativos?

\(I'(t)=3t^2-18t+24=3(t-2)(t-4)\). Crece en \((0,2)\), decrece en \((2,4)\) y crece en \((4,6)\). Máximo relativo en \(t=2\) con \(I=20\) y mínimo relativo en \(t=4\) con \(I=16\).

Ejemplo 8

Estudia la curvatura de \(f(x)=x^3-3x^2\) y halla su inflexión.

\(f''(x)=6x-6\): negativa para \(x<1\) (cóncava) y positiva para \(x>1\) (convexa). Inflexión en \((1,f(1))=(1,-2)\).

Ejemplo 9

El coste medio de producir \(x>0\) unidades es \(\bar C(x)=x+\dfrac4x\). Halla asíntotas y mínimo.

Vertical \(x=0\); oblicua \(y=x\), pues \(\bar C-x=\frac4x\to0\). \(\bar C'(x)=1-\frac{4}{x^2}=0\Rightarrow x=2\): decrece en \((0,2)\), crece en \((2,\infty)\). Mínimo \(\bar C(2)=4\).

Ejemplo 10

Estudia y representa \(f(x)=\dfrac{4}{x^2+1}\).

Dominio \(\mathbb{R}\), porque \(x^2+1>0\). Corte con el eje \(Y\): \((0,4)\); no corta al eje \(X\) y es siempre positiva. Es par, ya que \(f(-x)=f(x)\). Asíntota horizontal \(y=0\), porque el denominador tiene mayor grado. \(f^{\prime}(x)=\dfrac{-8x}{(x^2+1)^2}\): crece si \(x<0\) y decrece si \(x>0\), con máximo en \((0,4)\). La gráfica tiene forma de campana:

Ejemplo 11

El número de visitantes, en miles, de una exposición \(t\) días después de inaugurarse es \(V(t)=\dfrac{30t}{t+5}\). ¿Qué ocurre a largo plazo? ¿Crece siempre?

\(\displaystyle\lim_{t\to\infty}\dfrac{30t}{t+5}=30\): el total se acerca a 30 000 visitantes. \(V^{\prime}(t)=\dfrac{30(t+5)-30t}{(t+5)^2}=\dfrac{150}{(t+5)^2}>0\): crece siempre, pero cada vez más despacio, porque la derivada disminuye.