Distribuciones binomial y normal – matemáticas 2º Bachillerato CCSS: apuntes y teoría para descargar en PDF

Ejemplo 1

Una variable toma los valores 0, 1, 2 y 3 con probabilidades 0,1; 0,3; 0,4 y 0,2. Halla \(\mu\) y \(\sigma\).

\(\mu=0\cdot0{,}1+1\cdot0{,}3+2\cdot0{,}4+3\cdot0{,}2=1{,}7\). \(\sum x_i^2p_i=0{,}3+1{,}6+1{,}8=3{,}7\). \(\sigma^2=3{,}7-1{,}7^2=0{,}81\) y \(\sigma=0{,}9\).

Ejemplo 2

Un examen tipo test tiene 10 preguntas con 4 opciones. Si se responde al azar, ¿cuál es la probabilidad de acertar exactamente 3? ¿Y de acertar al menos una?

\(X\sim B(10;\,0{,}25)\). \(P(X=3)=\binom{10}{3}0{,}25^3\cdot0{,}75^7=120\cdot0{,}015625\cdot0{,}13348\approx0{,}2503\). \(P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-0{,}75^{10}=1-0{,}0563=0{,}9437\).

Ejemplo 3

Las alturas de un grupo siguen \(N(170,6)\) cm. Halla la probabilidad de que alguien mida más de 180 cm.

\(z=\dfrac{180-170}{6}=1{,}67\). \(P(X>180)=1-\Phi(1{,}67)=1-0{,}9525=0{,}0475\).

Ejemplo 4

Si \(X\sim N(70,8)\), halla \(P(60\le X\le80)\).

\(z_1=\dfrac{60-70}{8}=-1{,}25\) y \(z_2=1{,}25\). \(P=\Phi(1{,}25)-\Phi(-1{,}25)=2\Phi(1{,}25)-1=2\cdot0{,}8944-1=0{,}7888\).

Ejemplo 5

Las notas de un examen siguen \(N(500,50)\). ¿Qué puntuación deja por debajo al 90 % de los alumnos?

Se busca \(z\) con \(\Phi(z)=0{,}90\): \(z\approx1{,}28\). \(x=\mu+z\sigma=500+1{,}28\cdot50=564\) puntos.

Ejemplo 6

Si \(X\sim B(100;\,0{,}4)\), calcula aproximadamente \(P(X\le45)\).

\(\mu=40\) y \(\sigma=\sqrt{100\cdot0{,}4\cdot0{,}6}=\sqrt{24}\approx4{,}90\). \(P(X\le45)\approx P\left(Z\le\dfrac{45{,}5-40}{4{,}90}\right)=\Phi(1{,}12)=0{,}8686\).

Ejemplo 7

Un juego de azar cuesta 2 € y paga 5 € si sale un 6 al lanzar un dado (y nada en otro caso). Calcula la ganancia media por partida.

La ganancia \(G\) vale \(5-2=3\) con probabilidad \(\frac16\) y \(-2\) con probabilidad \(\frac56\). \(E(G)=3\cdot\frac16-2\cdot\frac56=\frac{3-10}{6}=-\frac76\approx-1{,}17\) €. A la larga se pierden unos 1,17 € por partida: el juego no es favorable.

Ejemplo 8

Los pesos de unos paquetes siguen \(N(50,4)\) g. Usa la regla empírica para dar un intervalo con el 95 % de los paquetes.

El 95 % está a dos desviaciones típicas de la media: \(50\pm2\cdot4\), es decir, entre 42 g y 58 g. Con la tabla, el 95 % exacto corresponde a \(z=1{,}96\), que da \(50\pm7{,}84\).

Ejemplo 9

En un examen tipo test de 30 preguntas con cuatro opciones se contesta todo al azar. Calcula la probabilidad de acertar más de 10 preguntas.

\(X\sim B(30;\,0{,}25)\) con \(np=7{,}5\ge5\) y \(nq=22{,}5\ge5\), luego \(X\approx N(7{,}5;\,\sqrt{5{,}625})=N(7{,}5;\,2{,}372)\). Pedimos \(P(X\ge11)\approx P(Y>10{,}5)\). Tipificamos: \(z=\dfrac{10{,}5-7{,}5}{2{,}372}=1{,}26\). Entonces \(P=1-\Phi(1{,}26)=1-0{,}8962=0{,}1038\). Contestar al azar da algo más de un 10 % de probabilidad de superar los 10 aciertos.

Ejemplo 10

El tiempo de espera en la consulta de un médico sigue una normal de media 20 min y desviación típica 5 min. ¿Qué probabilidad hay de esperar entre 15 y 30 minutos?

Tipificamos: \(z_1=\dfrac{15-20}{5}=-1\) y \(z_2=\dfrac{30-20}{5}=2\). Entonces \(P(-1<Z<2)=\Phi(2)-\Phi(-1)=0{,}9772-(1-0{,}8413)=0{,}8185\). Hay una probabilidad del 81,85 % de esperar entre 15 y 30 minutos.

Ejemplo 11

El peso de los recién nacidos en un hospital sigue una normal \(N(3\,300;\,500)\) gramos. ¿Por debajo de qué peso nace el 10 % de los bebés más ligeros?

Buscamos \(k\) con \(P(X<k)=0{,}10\). Como \(0{,}10<0{,}5\), el valor de \(z\) es negativo: por simetría \(\Phi(z)=0{,}10\) equivale a \(z=-1{,}28\), porque \(\Phi(1{,}28)=0{,}90\). Deshacemos la tipificación: \(k=3\,300+(-1{,}28)\cdot500=2\,660\) g. El 10 % de los recién nacidos pesa menos de 2 660 gramos.