Programación lineal – matemáticas 2º Bachillerato CCSS: apuntes y teoría para descargar en PDF

Actividad de introducción: el puesto del mercadillo

Marta prepara pulseras y collares para vender en el mercadillo de los domingos. Cada pulsera necesita 10 minutos de trabajo y cada collar 20 minutos, y esta semana solo tiene 700 minutos libres. Además, solo le quedan cuentas para 50 piezas en total. Si gana 2 € por pulsera y 3 € por collar, ¿cuántas piezas de cada tipo le conviene preparar? Hay muchísimas combinaciones posibles, pero no todas cumplen las condiciones, y entre las que las cumplen solo una da el beneficio máximo. La programación lineal ofrece un método gráfico, rápido y seguro para encontrarla: se traducen las condiciones a inecuaciones, se dibuja la región de soluciones posibles y se comprueba la función de beneficio en sus esquinas.

Observación

Método de las rectas de nivel: las rectas \(px+qy=k\) son paralelas. Se dibuja una y se desplaza en paralelo; el último vértice que toca antes de salir de la región es el óptimo. En la figura, la recta discontinua es \(3x+2y=17\).

Observación

En la PAU de Ciencias Sociales la programación lineal se pregunta con un enunciado económico: hay que plantear, dibujar la región, hallar los vértices y calcular el máximo o el mínimo. Presenta siempre una tabla de datos, el dibujo con ejes rotulados y la conclusión escrita.

Observación: organizar los datos en una tabla

En los problemas con enunciado largo conviene copiar los datos en una tabla antes de escribir ninguna inecuación: una fila por cada recurso (horas, kilos, dinero, plazas), una columna por cada variable y una última columna con la cantidad disponible o exigida. Cada fila de la tabla se convierte directamente en una restricción, y la fila de beneficios o costes da la función objetivo. Así es difícil olvidar una condición o intercambiar dos coeficientes. Después, antes de dibujar, simplifica cada inecuación dividiendo por un factor común (por ejemplo, \(20x+10y\ge120\) se convierte en \(2x+y\ge12\)): las rectas son las mismas y los cálculos de los vértices resultan mucho más sencillos. Por último, elige unas escalas en los ejes que permitan ver todos los puntos de corte. Un dibujo cuidado, con las rectas bien situadas y la región sombreada, evita confundir el semiplano correcto y permite comprobar a simple vista qué vértices son de verdad esquinas de la región.

¿Sabías que?

La programación lineal nació a mediados del siglo XX. El matemático ruso Leonid Kantoróvich la utilizó en 1939 para organizar la producción de una fábrica de contrachapado, y el estadounidense George Dantzig inventó en 1947 el método símplex, capaz de resolver problemas con miles de variables. Kantoróvich y Tjalling Koopmans recibieron el Premio Nobel de Economía en 1975. Hoy la usan las aerolíneas para asignar tripulaciones, las empresas de reparto para diseñar sus rutas y las redes eléctricas para decidir qué centrales funcionan cada hora.