Matrices – matemáticas 2º Bachillerato CCSS: apuntes y teoría para descargar en PDF

Ejemplo 1

Una tienda vende dos modelos de móvil: 30 y 20 unidades en enero, 25 y 40 en febrero. Escribe la matriz de ventas.

Filas = meses, columnas = modelos: \(V=\begin{pmatrix}30&20\\25&40\end{pmatrix}\), de dimensión \(2\times2\). El elemento \(a_{21}=25\) son las unidades del modelo 1 vendidas en febrero.

Ejemplo 2

Calcula \(AB\) y \(BA\) con \(A=\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}\).

\(AB\): fila 1 por columna 1: \(2\cdot1+1\cdot2=4\); fila 1 por columna 2: \(2\cdot0+1\cdot1=1\); fila 2 por columna 1: \(5+6=11\); fila 2 por columna 2: \(3\). Así \(AB=\begin{pmatrix}4&1\\11&3\end{pmatrix}\). Por otro lado \(BA=\begin{pmatrix}2&1\\12&7\end{pmatrix}\neq AB\).

Ejemplo 3

Una tienda vende 30 unidades del modelo A (200 €) y 20 del B (300 €) en enero, y 25 y 40 en febrero. Calcula la facturación mensual.

\(VP=\begin{pmatrix}30&20\\25&40\end{pmatrix}\begin{pmatrix}200\\300\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12000\\17000\end{pmatrix}\): 12 000 € en enero y 17 000 € en febrero.

Ejemplo 4

Calcula \(\begin{vmatrix}1&2&0\\0&1&3\\2&0&1\end{vmatrix}\).

Principales: \(1\cdot1\cdot1+2\cdot3\cdot2+0\cdot0\cdot0=13\). Secundarias: \(0\cdot1\cdot2+1\cdot3\cdot0+2\cdot0\cdot1=0\). El determinante es \(13-0=13\).

Ejemplo 5

Halla la inversa de \(A=\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}\).

\(|A|=6-5=1\). \(A^{-1}=\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}\). Comprobación: \(AA^{-1}=\begin{pmatrix}6-5&-2+2\\15-15&-5+6\end{pmatrix}=I\).

Ejemplo 6

¿Para qué valores de \(k\) tiene inversa \(\begin{pmatrix}k&3\\2&k+1\end{pmatrix}\)?

\(|A|=k(k+1)-6=k^2+k-6=(k+3)(k-2)\). Se anula en \(k=-3\) y \(k=2\). Hay inversa para todo \(k\neq-3,2\).

Ejemplo 7

Resuelve \(AX=B\) con \(A=\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}\).

\(X=A^{-1}B=\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}\).

Ejemplo 8

Una tienda vende 10 camisetas y 6 gorras al día en el turno de mañana y 4 camisetas y 8 gorras por la tarde. Camiseta: 12 €; gorra: 8 €. ¿Cuánto ingresa en cada turno?

Matriz de ventas \(V=\begin{pmatrix}10&6\\4&8\end{pmatrix}\) y precios \(P=\begin{pmatrix}12\\8\end{pmatrix}\). El producto es \(VP=\begin{pmatrix}10\cdot12+6\cdot8\\4\cdot12+8\cdot8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}168\\112\end{pmatrix}\). Por la mañana ingresa 168 € y por la tarde 112 €.

Ejemplo 9

Resuelve \(AX+B=C\) con \(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) y \(C=\begin{pmatrix}3&2\\2&2\end{pmatrix}\).

Despejamos \(AX=C-B=\begin{pmatrix}2&2\\2&1\end{pmatrix}\). Como \(|A|=1\), \(A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}\) y \(X=A^{-1}(C-B)=\begin{pmatrix}2-2&2-1\\-2+4&-2+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\2&0\end{pmatrix}\). Comprobación: \(AX+B=\begin{pmatrix}2&2\\2&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&2\\2&2\end{pmatrix}=C\).

Ejemplo 10

Cada mes, el 80 % de los clientes de la compañía A se queda en A y el 20 % se cambia a B; en B se queda el 70 % y el 30 % pasa a A. Si este mes hay 500 clientes en cada compañía, ¿cuántos habrá el mes que viene?

La matriz de transición es \(M=\begin{pmatrix}0{,}8&0{,}2\0{,}3&0{,}7\end{pmatrix}\) y el vector inicial es \(v=(500,\ 500)\). Entonces \(vM=(500\cdot0{,}8+500\cdot0{,}3,\ 500\cdot0{,}2+500\cdot0{,}7)=(550,\ 450)\). La compañía A gana 50 clientes. Si se repite el cálculo muchos meses, el reparto se estabiliza en el 60 % para A y el 40 % para B, que es el vector que no cambia al multiplicarlo por \(M\): se comprueba con \((600,\ 400)M=(480+120,\ 120+280)=(600,\ 400)\).