Límites y continuidad – matemáticas 2º Bachillerato CCSS: apuntes y teoría para descargar en PDF

Ejemplo 1

Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to3}\dfrac{x^2-9}{x-3}\).

Sale \(0/0\). \(\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\to6\).

Ejemplo 2

Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^2+2x}{x^2-5}\).

Mismo grado: el límite es el cociente de coeficientes principales, \(3/1=3\).

Ejemplo 3

Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{x^2}{x-1}-x\right)\).

Es \(\infty-\infty\). \(\dfrac{x^2-x(x-1)}{x-1}=\dfrac{x}{x-1}\to1\).

Ejemplo 4

Halla las asíntotas de \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}\).

Vertical: \(x=3\) (el numerador vale 7). Horizontal: \(\lim_{x\to\infty}f(x)=2\), luego \(y=2\). No hay oblicua.

Ejemplo 5

Halla las asíntotas de \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1}\).

Vertical: \(x=1\). Horizontal: no hay. Oblicua: \(\dfrac{x^2+1}{x-1}=x+1+\dfrac{2}{x-1}\), luego \(y=x+1\).

Ejemplo 6

Halla \(k\) para que \(f(x)=\begin{cases}x^2+k&x<1\\3x-1&x\ge1\end{cases}\) sea continua en \(x=1\).

Izquierda: \(1+k\). Derecha y valor: \(3-1=2\). Igualando, \(k=1\).

Ejemplo 7

Estudia \(f(x)=\begin{cases}x+2&x<1\\5-2x&x\ge1\end{cases}\) en \(x=1\).

Izquierda: \(3\). Derecha: \(5-2=3\). \(f(1)=3\). Los tres valores coinciden: \(f\) es continua en \(x=1\).

Ejemplo 8

Estudia \(\dfrac{x^2-4}{x-2}\) en \(x=2\).

\(f(2)\) no existe, pero \(f(x)=x+2\) para \(x\neq2\) y el límite es 4: discontinuidad evitable (se evita definiendo \(f(2)=4\)).

Ejemplo 9

Calcula los límites laterales en \(x=2\) de \(f(x)=\dfrac{1}{x-2}\) y concluye.

Por la izquierda, \(x-2\) es negativo y tiende a 0, luego \(f\to-\infty\). Por la derecha, \(x-2\) es positivo y pequeño, luego \(f\to+\infty\). Los laterales son distintos e infinitos: no existe el límite y \(x=2\) es una asíntota vertical (discontinuidad de salto infinito).

Ejemplo 10

Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}\).

Sale \(0/0\). Se multiplica por el conjugado \(\sqrt{x+4}+2\): \(\dfrac{(x+4)-4}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\dfrac{1}{\sqrt{x+4}+2}\to\dfrac14\).

Ejemplo 11

El coste medio de producir \(x\) unidades es \(\bar C(x)=\dfrac{500+20x}{x}\). Calcula su límite en el infinito e interpreta.

\(\bar C(x)=\dfrac{500}{x}+20\to20\). A medida que se fabrican más unidades, el coste medio se acerca a 20 € por unidad, porque los costes fijos se reparten entre muchas unidades.

Ejemplo 12

Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to-2}\dfrac{x^2+5x+6}{x+2}\).

Al sustituir, el numerador vale \(4-10+6=0\) y el denominador \(0\): indeterminación \(\dfrac{0}{0}\). Factorizamos el numerador: \(x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\). Simplificamos: \(\dfrac{(x+2)(x+3)}{x+2}=x+3\), que vale \(1\) en \(x=-2\). El límite es \(1\).

Ejemplo 13

Estudia la continuidad de \(f(x)=\dfrac{x+1}{x^2-1}\) y clasifica sus discontinuidades.

El denominador se anula en \(x=1\) y \(x=-1\), que no están en el dominio. En \(x=-1\): \(\dfrac{x+1}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{1}{x-1}\to-\dfrac{1}{2}\), límite finito: discontinuidad evitable. En \(x=1\): \(\dfrac{1}{x-1}\to\pm\infty\) según el lado: discontinuidad de salto infinito, con asíntota vertical \(x=1\). La función es continua en el resto de \(\mathbb{R}\).

Ejemplo 14

Una cooperativa vende miel a un precio medio por tarro \(p(n)=\dfrac{4n+60}{n}\) euros, donde \(n\) es el número de tarros del pedido. ¿Qué precio medio se espera en pedidos muy grandes?

Calculamos \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{4n+60}{n}=4\) porque numerador y denominador tienen el mismo grado y el cociente de coeficientes principales es \(\dfrac{4}{1}=4\). En pedidos muy grandes el precio medio se acerca a 4 € por tarro, y la parte \(\dfrac{60}{n}\) (los gastos de envío repartidos) se hace despreciable.