Límites y continuidad – matemáticas 2º Bachillerato CCSS: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. Los polinomios son continuos en todo \(\mathbb{R}\), así que el límite es el valor de la función: \(\displaystyle\lim_{x\to2}(x^2-3x+1)=4-6+1=-1\).
   2. La función racional es continua en \(x=1\) porque el denominador no se anula (vale 2). Sustituimos: \(\dfrac{1+1}{1+1}=\dfrac22=1\).
   3. La raíz es continua donde el radicando es positivo, y en \(x=4\) vale 9. Por tanto, \(\displaystyle\lim_{x\to4}\sqrt{x+5}=\sqrt{4+5}=\sqrt9=3\). En los tres casos basta sustituir porque no aparece ninguna indeterminación.

2. Solución del ejercicio 2

   1. Para valores menores que 1 la función vale \(2x+1\). Al acercarnos a 1 por la izquierda: \(\displaystyle\lim_{x\to1^-}f(x)=2\cdot1+1=3\).
   2. Para valores mayores que 1 se usa \(x^2+2\): \(\displaystyle\lim_{x\to1^+}f(x)=1+2=3\).
   3. Los dos límites laterales existen y coinciden, así que \(\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=3\). Además, como \(1\) pertenece al segundo tramo, \(f(1)=1^2+2=3\). El límite coincide con el valor de la función, luego \(f\) es continua en \(x=1\): la gráfica no tiene ningún salto en ese punto.

3. Solución del ejercicio 3

   1. Al sustituir sale \(\frac00\). Factorizamos la diferencia de cuadrados y simplificamos: \(\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\), que tiende a \(3+3=6\).
   2. También sale \(\frac00\), luego \(x=2\) es raíz del numerador: \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\). Simplificando, el límite es el de \(x-3\), que vale \(2-3=-1\).
   3. Con raíces multiplicamos y dividimos por el conjugado \(\sqrt{x+1}+1\): \(\dfrac{(x+1)-1}{x(\sqrt{x+1}+1)}=\dfrac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)}=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+1}\to\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}\).

4. Solución del ejercicio 4

   1. Numerador y denominador tienen el mismo grado, 2. Dividiendo ambos entre \(x^2\), los términos de menor grado tienden a 0 y queda el cociente de los coeficientes principales: \(\dfrac{3}{1}=3\).
   2. El grado del numerador (1) es menor que el del denominador (2): el denominador crece mucho más deprisa y el cociente tiende a \(0\).
   3. El grado del numerador (3) es mayor que el del denominador (2): el cociente se comporta como \(\dfrac{x^3}{5x^2}=\dfrac x5\), que tiende a \(+\infty\), porque los coeficientes principales son positivos.

5. Solución del ejercicio 5

   1. Cuando \(x\to\infty\), \(\sqrt{x^2+x}\) tiende a \(\infty\) y \(x\) también, así que al sustituir queda la indeterminación \(\infty-\infty\).
   2. Multiplicamos y dividimos por el conjugado \(\sqrt{x^2+x}+x\); en el numerador aparece una diferencia de cuadrados: \(\dfrac{(\sqrt{x^2+x}-x)(\sqrt{x^2+x}+x)}{\sqrt{x^2+x}+x}=\dfrac{x^2+x-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}\).
   3. Ahora la indeterminación es \(\frac\infty\infty\). Dividimos numerador y denominador entre \(x\): \(\dfrac{1}{\sqrt{1+1/x}+1}\to\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}\). El límite vale \(\dfrac12\).

6. Solución del ejercicio 6

   1. Una función racional no está definida donde se anula el denominador: \(x-3=0\) en \(x=3\). Por tanto, \(\text{Dom}f=\mathbb{R}\setminus\{3\}\).
   2. En \(x=3\) el numerador vale \(7>0\) y el denominador tiende a 0. Por la derecha el denominador es positivo: \(\displaystyle\lim_{x\to3^+}f=+\infty\); por la izquierda es negativo: \(\displaystyle\lim_{x\to3^-}f=-\infty\). La recta \(x=3\) es asíntota vertical.
   3. Numerador y denominador tienen el mismo grado, así que el límite es el cociente de coeficientes principales: \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x+1}{x-3}=2\). La recta \(y=2\) es asíntota horizontal.

7. Solución del ejercicio 7

   1. El denominador se anula en \(x=1\) y el numerador vale \(1+1=2\neq0\), así que la función tiende a infinito: asíntota vertical \(x=1\).
   2. El grado del numerador (2) es mayor que el del denominador (1), luego \(\lim_{x\to\infty}f=\infty\) y no hay asíntota horizontal. Como la diferencia de grados es exactamente 1, hay asíntota oblicua.
   3. \(m=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim\dfrac{x^2+1}{x^2-x}=1\) y \(n=\displaystyle\lim\left(\dfrac{x^2+1}{x-1}-x\right)=\lim\dfrac{x^2+1-x^2+x}{x-1}=\lim\dfrac{x+1}{x-1}=1\). La asíntota oblicua es \(y=x+1\).

8. Solución del ejercicio 8

   1. Para \(x\neq2\) sale \(\frac00\) al sustituir; factorizamos y simplificamos: \(\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\). Por tanto, \(\displaystyle\lim_{x\to2}f(x)=2+2=4\).
   2. Una función es continua en un punto si el límite existe y coincide con el valor de la función. Debe cumplirse \(f(2)=\lim_{x\to2}f(x)\), es decir, \(k=4\).
   3. Con \(k=0\), el límite existe (vale 4) pero no coincide con \(f(2)=0\). Es una discontinuidad evitable: bastaría redefinir el valor en \(x=2\) para eliminarla. En la gráfica se ve una recta con un «agujero» en \((2,4)\) y un punto aislado en \((2,0)\).

9. Solución del ejercicio 9

   1. Por la izquierda se usa el primer tramo: \(\displaystyle\lim_{x\to2^-}f(x)=3\cdot2-a=6-a\). Por la derecha, el segundo: \(\displaystyle\lim_{x\to2^+}f(x)=2^2+1=5\), que coincide con \(f(2)\).
   2. Para que \(f\) sea continua en \(x=2\), los dos límites laterales deben ser iguales entre sí y al valor de la función: \(6-a=5\), luego \(a=1\).
   3. Con \(a=1\) la función es \(3x-1\) para \(x\lt 2\) y \(x^2+1\) para \(x\ge2\). Así \(f(0)=3\cdot0-1=-1\) (primer tramo) y \(f(3)=3^2+1=10\) (segundo tramo).

10. Solución del ejercicio 10

    1. El límite vale 1 y \(f(0)=2\): discontinuidad evitable (bastaría definir \(f(0)=1\)).
    2. Límites laterales: \(1\) por la izquierda y \(3\) por la derecha. Son finitos y distintos: discontinuidad de salto finito (salto de 2).
    3. \(\lim_{x\to0^+}h=+\infty\) y \(\lim_{x\to0^-}h=-\infty\): discontinuidad de salto infinito (asíntota vertical).

11. Solución del ejercicio 11

    1. \(x=5\) pertenece al primer tramo: \(T(5)=3+1{,}2\cdot5=3+6=9\) €.
    2. Por la derecha de 5 se usa el segundo tramo: \(\displaystyle\lim_{x\to5^+}T(x)=a+0{,}9\cdot5=a+4{,}5\).
    3. Para que no haya salto, el límite por la derecha debe coincidir con \(T(5)\) (el límite por la izquierda ya vale 9): \(a+4{,}5=9\), luego \(a=4{,}5\).
    4. Un trayecto de 10 km está en el segundo tramo: \(T(10)=4{,}5+0{,}9\cdot10=13{,}50\) €. A partir de 5 km cada kilómetro cuesta menos (0,90 € en lugar de 1,20 €).

12. Solución del ejercicio 12

    1. Sustituimos: \(c(0)=\dfrac{0}{2}=0\) mg/l al principio y \(c(2)=\dfrac{10}{4}=2{,}5\) mg/l a las dos horas.
    2. Numerador y denominador tienen grado 1, así que el límite es el cociente de coeficientes principales: \(\displaystyle\lim_{t\to\infty}\dfrac{5t}{t+2}=5\). La concentración tiende a estabilizarse en 5 mg/l; como \(5t\lt 5(t+2)\), nunca llega a superarlo.
    3. Resolvemos \(\dfrac{5t}{t+2}=4\): \(5t=4t+8\), luego \(t=8\) horas.
    4. Como el límite en el infinito es 5, la asíntota horizontal es \(y=5\).

13. Solución del ejercicio 13

    1. \(\overline{C}(100)=\dfrac{500+200}{100}=7\) € por ejemplar.
    2. \(\lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{500}{x}+2\right)=2\): el coste medio se acerca a 2 € (el coste variable) al repartir el coste fijo entre muchos ejemplares.
    3. \(\dfrac{500+2x}{x}=3\) da \(500=x\): 500 ejemplares.
    4. \(\lim_{x\to0^+}\overline{C}=+\infty\): con muy pocos ejemplares el coste fijo se reparte entre casi nadie y el coste medio se dispara.

14. Solución del ejercicio 14

    1. \(P(0)=\dfrac{1\,000}{1+4}=200\) usuarios.
    2. \(P(4)=\dfrac{1\,000}{1+4e^{-2}}=\dfrac{1\,000}{1,5413}\approx648{,}9\) usuarios (unos 649).
    3. \(e^{-0{,}5t}\to0\), luego \(P\to1\,000\): la aplicación llega, como máximo, a toda la población.
    4. Es un modelo continuo que aproxima un recuento en números enteros; tiene sentido para analizar tendencias, aunque en la realidad los usuarios sean enteros.

15. Solución del ejercicio 15

    1. \(F(100)=0{,}15\cdot100=15\) €.
    2. \(0{,}20\cdot100+a=15\) da \(a=-5\).
    3. \(F(300)=0{,}20\cdot300-5=55\) €. Imponemos \(0{,}30\cdot300+b=55\), luego \(b=-35\).
    4. \(F(450)=0{,}30\cdot450-35=100\) €.
    5. Sí: una función continua evita que consumir un kWh más haga subir la factura de golpe, y los incrementos son proporcionales a lo consumido.

16. Solución del ejercicio 16

    1. \(I(12\,000)=0{,}1\cdot12\,000=1\,200\) €.
    2. \(0{,}2\cdot12\,000-a=1\,200\), luego \(a=1\,200\).
    3. \(I(30\,000)=0{,}2\cdot30\,000-1\,200=4\,800\). Entonces \(0{,}3\cdot30\,000-b=4\,800\) y \(b=4\,200\).
    4. \(I(50\,000)=0{,}3\cdot50\,000-4\,200=10\,800\) €.
    5. Tipo medio: \(\dfrac{10\,800}{50\,000}=0{,}216\), el 21,6 %. Es menor que el tipo marginal del 30 % porque los primeros euros tributan menos.

17. Solución del ejercicio 17

    1. El denominador se anula en \(x=2\): \(\text{Dom}f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\) y la asíntota vertical es \(x=2\) (el numerador no se anula ahí salvo que \(2a+1=0\)).
    2. \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{ax+1}{x-2}=a\).
    3. Como la asíntota es \(y=3\), \(a=3\).
    4. Con el eje Y: \(f(0)=\dfrac{1}{-2}=-\dfrac{1}{2}\). Con el eje X: \(3x+1=0\), \(x=-\dfrac{1}{3}\).
    5. Para distancias grandes el precio medio se estabiliza cerca de 3 €, sin superarlo.

18. Solución del ejercicio 18

    1. Si el numerador no se anula, el límite sería \(\dfrac{\text{número}}{0}\), que es infinito (o no existe).
    2. \(4+2k-6=0\) da \(k=1\).
    3. \(x^2+x-6=(x-2)(x+3)\).
    4. \(\displaystyle\lim_{x\to2}\dfrac{(x-2)(x+3)}{x-2}=\lim_{x\to2}(x+3)=5\).
    5. Para \(x=1{,}99\): \(x+3=4{,}99\); para \(x=2{,}01\): \(5{,}01\). Los valores se acercan a 5.

19. Solución del ejercicio 19

    1. \(\text{Dom}f=\mathbb{R}\setminus\{1\}\). Eje Y: \(f(0)=-2\). Eje X: \(3x+2=0\), \(x=-\dfrac{2}{3}\).
    2. \(f(2)=8\), \(f(5)=\dfrac{17}{4}=4{,}25\), \(f(11)=\dfrac{35}{10}=3{,}5\).
    3. Vertical \(x=1\); horizontal \(y=3\) (el cociente de coeficientes principales).
    4. Al aumentar mucho el número de bicicletas, la media de usuarios por hora se aproxima a 3 sin llegar a ella.
    5. \(f\to+\infty\): el modelo no es válido cerca de \(x=1\) (no se puede usar con una sola bicicleta); solo es aplicable para valores moderados de \(x\).

20. Solución del ejercicio 20

    1. Sale \(\frac00\), así que \(x=1\) es raíz de ambos polinomios. Factorizamos: \(\dfrac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)}=\dfrac{x+1}{x-2}\to\dfrac{2}{-1}=-2\).
    2. Para \(x\neq1\), \(\dfrac{x^2-1}{x-1}=x+1\), cuyo límite en \(x=1\) es 2. En el resto de puntos la función ya es continua, así que basta tomar \(k=2\).
    3. Es una indeterminación \(1^\infty\) y su valor es, por definición, el número \(e\): el límite vale \(e\approx2{,}718\).
    4. Por ejemplo, \(f(x)=\dfrac{2x}{x+1}\): el denominador se anula en \(x=-1\) (asíntota vertical) y, como los grados son iguales, \(\lim_{x\to\infty}f=\dfrac21=2\) (asíntota horizontal \(y=2\)).