Trigonometría – matemáticas 1º Bachillerato Ciencias: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. Por la relación fundamental: \(\operatorname{sen}^2\alpha=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}\), luego \(\operatorname{sen}\alpha=\pm\frac{12}{13}\). En el tercer cuadrante el seno es negativo: \(\operatorname{sen}\alpha=-\frac{12}{13}\). La tangente es \(\tan\alpha=\frac{-12/13}{-5/13}=\frac{12}5\), positiva como corresponde al tercer cuadrante. Comprobación: \(\left(\frac{12}{13}\right)^2+\left(\frac{5}{13}\right)^2=\frac{144+25}{169}=1\). Un valor aproximado es \(\alpha\approx180^\circ+67{,}38^\circ=247{,}38^\circ\).
   2. \(240^\circ=180^\circ+60^\circ\), tercer cuadrante: \(\operatorname{sen}240^\circ=-\operatorname{sen}60^\circ=-\frac{\sqrt3}2\). El coseno es par: \(\cos(-45^\circ)=\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}2\). \(\frac{5\pi}6=\pi-\frac\pi6\), segundo cuadrante: \(\tan\frac{5\pi}6=-\tan\frac\pi6=-\frac{\sqrt3}3\). Cada ángulo se reduce al primer cuadrante y se asigna el signo según su cuadrante. El seno de \(240^\circ\) es negativo por estar en el tercer cuadrante.

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. Aplicamos el coseno de la diferencia, \(\cos(a-b)=\cos a\cos b+\operatorname{sen}a\operatorname{sen}b\), con ángulos de razones conocidas: \(\cos15^\circ=\cos45^\circ\cos30^\circ+\operatorname{sen}45^\circ\operatorname{sen}30^\circ=\frac{\sqrt2}2\cdot\frac{\sqrt3}2+\frac{\sqrt2}2\cdot\frac12=\frac{\sqrt6+\sqrt2}4\approx0{,}966\). Con calculadora, \(\cos15^\circ\approx0{,}9659\). El valor obtenido es exacto, como pide el enunciado.
   2. De las expresiones de \(\cos2\alpha\), la más cómoda cuando se conoce el seno es \(\cos2\alpha=1-2\operatorname{sen}^2\alpha\). Así \(\cos2\alpha=1-2\cdot\frac19=1-\frac29=\frac79\). No hace falta saber el cuadrante de \(\alpha\), porque el seno aparece al cuadrado. Comprobación: \(\cos^2\alpha=\frac89\) y \(\cos^2\alpha-\operatorname{sen}^2\alpha=\frac89-\frac19=\frac79\). Si se usara \(2\cos^2\alpha-1\), habría que calcular antes \(\cos^2\alpha\).

3. Solución del ejercicio 3 (3 puntos)

   1. Usamos las fórmulas del ángulo doble: \(\operatorname{sen}2\alpha=2\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha\) y, para el denominador, la expresión \(\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1\), que elimina el 1: \(1+\cos2\alpha=1+2\cos^2\alpha-1=2\cos^2\alpha\). Elegimos esta versión porque deja el denominador como un único término. Así el 1 del denominador se cancela.
   2. Sustituimos en el primer miembro: \(\dfrac{2\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha}\). Simplificamos el 2 y un factor \(\cos\alpha\) (suponiendo \(\cos\alpha\neq0\)): \(\dfrac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos\alpha}=\tan\alpha\), que es el segundo miembro. La identidad queda demostrada. Comprobación con \(\alpha=45^\circ\): \(\frac{\operatorname{sen}90^\circ}{1+\cos90^\circ}=\frac11=1=\tan45^\circ\).

4. Solución del ejercicio 4 (4 puntos)

   1. Conocemos dos lados y el ángulo comprendido, así que aplicamos el teorema del coseno: \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=49+81-126\cos50^\circ\approx130-80{,}99=49{,}01\). Por tanto, \(c\approx7{,}00\) cm.
   2. Despejamos el coseno de \(A\): \(\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{81+49{,}01-49}{2\cdot9\cdot7{,}00}\approx0{,}643\), luego \(A\approx49{,}99^\circ\). Por la suma de ángulos, \(B\approx180^\circ-50^\circ-49{,}99^\circ=80{,}01^\circ\). Como \(c\approx a\), el triángulo es casi isósceles y \(A\approx C\).
   3. Con dos lados y el ángulo comprendido: \(S=\frac12ab\operatorname{sen}C=\frac12\cdot7\cdot9\cdot\operatorname{sen}50^\circ\approx24{,}13\) cm². Comprobación con otros dos lados: \(\frac12bc\operatorname{sen}A\approx\frac12\cdot9\cdot7\cdot0{,}766\approx24{,}13\) cm².

5. Solución del ejercicio 5 (5 puntos)

   1. Llamamos \(h\) a la altura del campanario sobre los ojos y \(x\) a la distancia final a la base. En los dos triángulos rectángulos: \(\tan50^\circ=\frac hx\) y \(\tan35^\circ=\frac{h}{x+60}\), es decir, \(h=x\tan50^\circ\) y \(h=(x+60)\tan35^\circ\). Ambos triángulos comparten el cateto vertical \(h\).
   2. Igualamos: \(x\tan50^\circ=(x+60)\tan35^\circ\), luego \(x=\frac{60\tan35^\circ}{\tan50^\circ-\tan35^\circ}=\frac{42{,}01}{0{,}4916}\approx85{,}47\) m. Entonces \(h=x\tan50^\circ\approx101{,}86\) m. Comprobación: \((85{,}47+60)\tan35^\circ\approx145{,}47\cdot0{,}7002\approx101{,}86\) m.
   3. Sumamos la altura de los ojos del alumno: \(101{,}86+1{,}60\approx103{,}46\) m de altura total. Respuesta: el campanario mide unos 103,5 m.

Total : 20 puntos