Trigonometría – matemáticas 1º Bachillerato Ciencias: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. Para pasar de grados a radianes multiplicamos por \(\frac{\pi}{180}\): \(150\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{5\pi}{6}\) rad y \(225\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{5\pi}{4}\) rad.
   2. Para pasar de radianes a grados multiplicamos por \(\frac{180}{\pi}\): \(\frac{3\pi}{5}\cdot\frac{180}{\pi}=108^\circ\) y \(2\cdot\frac{180}{\pi}\approx114{,}59^\circ\). Un radián mide, por tanto, unos \(57{,}3^\circ\).
   3. Con el ángulo en radianes, la longitud del arco es el radio por el ángulo: \(L=r\cdot\alpha=12\cdot\frac{2\pi}{3}=8\pi\approx25{,}13\) cm.
   4. La aguja de los minutos da una vuelta, \(2\pi\) rad, en 60 minutos. 20 minutos son la tercera parte: \(\frac{2\pi}{3}\) rad, es decir, \(120^\circ\).

2. Solución del ejercicio 2

   1. De \(\operatorname{sen}^2\alpha+\cos^2\alpha=1\): \(\cos^2\alpha=1-\frac9{25}=\frac{16}{25}\), luego \(\cos\alpha=\pm\frac45\). En el segundo cuadrante el coseno es negativo: \(\cos\alpha=-\frac45\).
   2. \(\tan\alpha=\dfrac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{3/5}{-4/5}=-\dfrac34\), negativa, como corresponde al segundo cuadrante.
   3. Son las inversas: \(\sec\alpha=\frac{1}{\cos\alpha}=-\frac54\), \(\csc\alpha=\frac{1}{\operatorname{sen}\alpha}=\frac53\) y \(\cot\alpha=\frac{1}{\tan\alpha}=-\frac43\).
   4. En el primer cuadrante todas las razones son positivas: \(\cos\alpha=\frac45\), \(\tan\alpha=\frac34\), \(\sec\alpha=\frac54\) y \(\cot\alpha=\frac43\). El seno y la cosecante no cambian.

3. Solución del ejercicio 3

   1. \(150^\circ=180^\circ-30^\circ\): los ángulos suplementarios tienen el mismo seno, así que \(\operatorname{sen}150^\circ=\operatorname{sen}30^\circ=\frac12\). \(210^\circ=180^\circ+30^\circ\) está en el tercer cuadrante, donde el coseno es negativo: \(\cos210^\circ=-\cos30^\circ=-\frac{\sqrt3}2\).
   2. \(315^\circ=360^\circ-45^\circ\) está en el cuarto cuadrante, con tangente negativa: \(\tan315^\circ=-\tan45^\circ=-1\). Los ángulos opuestos tienen senos opuestos: \(\operatorname{sen}(-60^\circ)=-\frac{\sqrt3}{2}\).
   3. Quitamos vueltas completas: \(1\,110^\circ=3\cdot360^\circ+30^\circ\), luego \(\cos1\,110^\circ=\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}2\).
   4. \(\frac{5\pi}4=\pi+\frac\pi4\) está en el tercer cuadrante, con seno negativo: \(\operatorname{sen}\frac{5\pi}{4}=-\operatorname{sen}\frac\pi4=-\frac{\sqrt2}2\).

4. Solución del ejercicio 4

   1. Partimos del primer miembro y escribimos la tangente como cociente: \(1+\frac{\operatorname{sen}^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\frac{\cos^2\alpha+\operatorname{sen}^2\alpha}{\cos^2\alpha}\). Por la relación fundamental, el numerador vale 1: queda \(\frac1{\cos^2\alpha}\).
   2. El primer miembro es una diferencia de cuadrados: \((\operatorname{sen}^2\alpha-\cos^2\alpha)(\operatorname{sen}^2\alpha+\cos^2\alpha)\). El segundo factor vale 1, así que queda \(\operatorname{sen}^2\alpha-\cos^2\alpha\).
   3. Desarrollamos el cuadrado: \(\operatorname{sen}^2\alpha+2\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha=1+2\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha\), y como \(2\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha=\operatorname{sen}2\alpha\), resulta \(1+\operatorname{sen}2\alpha\).
   4. Dos fracciones son iguales si sus productos cruzados lo son: \(\operatorname{sen}^2\alpha=(1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha)=1-\cos^2\alpha\), que es la relación fundamental. La identidad es cierta siempre que los denominadores no se anulen.

5. Solución del ejercicio 5

   1. Aplicamos la fórmula del seno de la suma con valores conocidos: \(\operatorname{sen}75^\circ=\operatorname{sen}45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\operatorname{sen}30^\circ=\frac{\sqrt2}2\cdot\frac{\sqrt3}2+\frac{\sqrt2}2\cdot\frac12=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\approx0{,}966\).
   2. \(\tan105^\circ=\tan(60^\circ+45^\circ)=\dfrac{\sqrt3+1}{1-\sqrt3\cdot1}\). Racionalizamos multiplicando por \(1+\sqrt3\): \(\dfrac{(\sqrt3+1)^2}{1-3}=\dfrac{4+2\sqrt3}{-2}=-(2+\sqrt3)\). Es negativa porque \(105^\circ\) está en el segundo cuadrante.
   3. Como son agudos, \(\cos a=\sqrt{1-\frac9{25}}=\frac45\) y \(\operatorname{sen}b=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\frac{12}{13}\). Entonces \(\cos(a+b)=\frac45\cdot\frac5{13}-\frac35\cdot\frac{12}{13}=\frac{20-36}{65}=-\frac{16}{65}\) y \(\operatorname{sen}(a+b)=\frac35\cdot\frac5{13}+\frac45\cdot\frac{12}{13}=\frac{63}{65}\).
   4. Seno positivo y coseno negativo: \(a+b\) está en el segundo cuadrante.

6. Solución del ejercicio 6

   1. Por la relación fundamental, y siendo \(\alpha\) agudo (coseno positivo): \(\cos\alpha=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac9{25}}=\frac35\).
   2. Fórmulas del ángulo doble: \(\operatorname{sen}2\alpha=2\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha=2\cdot\frac45\cdot\frac35=\frac{24}{25}\); \(\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\operatorname{sen}^2\alpha=\frac9{25}-\frac{16}{25}=-\frac7{25}\); \(\tan2\alpha=\frac{24/25}{-7/25}=-\frac{24}{7}\).
   3. Fórmulas del ángulo mitad: \(\cos\frac\alpha2=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}=\sqrt{\frac{1+3/5}{2}}=\sqrt{\frac45}=\frac{2\sqrt5}5\) y \(\operatorname{sen}\frac\alpha2=\sqrt{\frac{1-3/5}{2}}=\sqrt{\frac15}=\frac{\sqrt5}5\). Tomamos el signo positivo porque \(\frac\alpha2\) es agudo.
   4. \(\operatorname{sen}2\alpha>0\) y \(\cos2\alpha<0\): \(2\alpha\) está en el segundo cuadrante.

7. Solución del ejercicio 7

   1. \(\tan45^\circ=\frac hx\Rightarrow h=x\); \(\tan30^\circ=\frac{h}{x+20}\Rightarrow h=\frac{x+20}{\sqrt3}\).
   2. \(x\sqrt3=x+20\Rightarrow x=\frac{20}{\sqrt3-1}=10(\sqrt3+1)\). Por tanto, \(h=10(\sqrt3+1)\) m.
   3. \(h\approx27{,}32\) m. Distancia de \(A\): \(x+20\approx47{,}32\) m.
   4. Con un solo ángulo hay dos incógnitas, la altura y la distancia al pie, y el pie de la torre no es accesible; la segunda medida da la ecuación que falta.

8. Solución del ejercicio 8

   1. Los ángulos de un triángulo suman \(180^\circ\): \(C=180^\circ-70^\circ-60^\circ=50^\circ\).
   2. Teorema del seno: cada lado es proporcional al seno del ángulo opuesto. \(AC\) se opone a \(B=60^\circ\) y \(AB=10\) a \(C=50^\circ\): \(AC=\frac{10\operatorname{sen}60^\circ}{\operatorname{sen}50^\circ}\approx11{,}31\) km. Del mismo modo, \(BC=\frac{10\operatorname{sen}70^\circ}{\operatorname{sen}50^\circ}\approx12{,}27\) km.
   3. La distancia a la costa es la altura sobre \(AB\). En el triángulo rectángulo que forma con \(AC\): \(h=AC\cdot\operatorname{sen}70^\circ\approx11{,}31\cdot0{,}9397\approx10{,}62\) km.
   4. El mayor ángulo es \(A=70^\circ\) y su lado opuesto, \(BC\approx12{,}27\) km, es el mayor; el menor ángulo, \(C=50^\circ\), está opuesto al lado menor, \(AB=10\) km. Se cumple.

9. Solución del ejercicio 9

   1. Conocemos dos lados y el ángulo que forman, así que usamos el teorema del coseno: \(AB^2=450^2+600^2-2\cdot450\cdot600\cos75^\circ\approx202\,500+360\,000-139\,762\approx422\,738\). Por tanto, \(AB\approx650{,}18\) m.
   2. Despejamos el coseno del ángulo \(A\), opuesto a \(CB=600\): \(\cos A=\frac{450^2+650{,}18^2-600^2}{2\cdot450\cdot650{,}18}\approx0{,}4533\), luego \(A\approx63{,}05^\circ\).
   3. Por la suma de ángulos: \(B=180^\circ-75^\circ-63{,}05^\circ\approx41{,}95^\circ\). Es el menor ángulo y está opuesto al lado menor, \(CA=450\) m.
   4. Días de obra: \(\frac{650{,}18}{4{,}5}\approx144{,}5\). Hacen falta unos 145 días.

10. Solución del ejercicio 10

    1. Con dos lados y el ángulo comprendido: \(S=\frac12\cdot40\cdot55\cdot\operatorname{sen}65^\circ\approx1\,100\cdot0{,}9063\approx996{,}94\) m².
    2. El semiperímetro es \(p=\frac{13+14+15}{2}=21\). Por Herón: \(S=\sqrt{21\cdot(21-13)(21-14)(21-15)}=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=\sqrt{7\,056}=84\) dam².
    3. Primera: \(996{,}94\) m² \(\approx0{,}0997\) ha. Segunda: \(84\) dam² \(=8\,400\) m² \(=0{,}84\) ha.
    4. Superficie total \(\approx0{,}0997+0{,}84=0{,}9397\) ha. Valor: \(0{,}9397\cdot25\,000\approx23\,492\) €.

11. Solución del ejercicio 11

    1. \(\text{sen}\,B=\frac{b\,\text{sen}\,A}{a}=\frac{10\,\text{sen}\,40^\circ}{8}\approx0{,}8035\).
    2. Hay dos ángulos entre \(0^\circ\) y \(180^\circ\) con ese seno: \(B_1\approx53{,}46^\circ\) y \(B_2=180^\circ-53{,}46^\circ=126{,}54^\circ\). Los dos son válidos porque \(40^\circ+126{,}54^\circ<180^\circ\).
    3. Caso 1: \(C\approx86{,}54^\circ\) y \(c=\frac{8\,\text{sen}\,86{,}54^\circ}{\text{sen}\,40^\circ}\approx12{,}42\) m. Caso 2: \(C\approx13{,}46^\circ\) y \(c\approx2{,}90\) m.
    4. Saber si el ángulo \(B\) es agudo u obtuso, o conocer aproximadamente el lado \(c\).

12. Solución del ejercicio 12

    1. Los ángulos del triángulo \(ABT\) suman \(180^\circ\): \(T=180^\circ-62^\circ-48^\circ=70^\circ\).
    2. Teorema del seno: \(AT\) se opone al ángulo \(B=48^\circ\) y \(AB=50\) al ángulo \(T=70^\circ\). Entonces \(AT=\frac{50\operatorname{sen}48^\circ}{\operatorname{sen}70^\circ}\approx39{,}54\) m.
    3. La anchura es la altura del triángulo sobre \(AB\). En el triángulo rectángulo con hipotenusa \(AT\): \(h=AT\cdot\operatorname{sen}62^\circ\approx39{,}54\cdot0{,}8829\approx34{,}91\) m.
    4. Del mismo modo, \(BT=\frac{50\operatorname{sen}62^\circ}{\operatorname{sen}70^\circ}\approx46{,}98\) m, y \(46{,}98\cdot\operatorname{sen}48^\circ\approx34{,}91\) m. Coincide: el río mide unos 35 m de ancho.

13. Solución del ejercicio 13

    1. En el paralelogramo de fuerzas, la resultante es la diagonal y forma un triángulo con una fuerza y el lado paralelo a la otra. Los ángulos consecutivos de un paralelogramo suman \(180^\circ\), así que el ángulo opuesto a la resultante mide \(180^\circ-60^\circ=120^\circ\).
    2. Teorema del coseno: \(R^2=300^2+400^2-2\cdot300\cdot400\cos120^\circ=90\,000+160\,000+120\,000=370\,000\), porque \(\cos120^\circ=-\frac12\). Por tanto, \(R\approx608{,}28\) N.
    3. Teorema del seno: \(\operatorname{sen}\theta=\frac{400\operatorname{sen}120^\circ}{608{,}28}\approx0{,}5695\), luego \(\theta\approx34{,}72^\circ\). La resultante se inclina hacia la fuerza mayor.
    4. En la misma dirección las fuerzas se suman: \(700\) N. Perpendiculares, por Pitágoras: \(\sqrt{300^2+400^2}=500\) N.

14. Solución del ejercicio 14

    1. La pendiente es la tangente del ángulo de inclinación: \(\tan\alpha=0{,}08\), luego \(\alpha=\operatorname{arctg}0{,}08\approx4{,}57^\circ\).
    2. Para subir 0,6 m con una pendiente del 8 % hace falta una distancia horizontal de \(\frac{0{,}6}{0{,}08}=7{,}5\) m.
    3. La rampa es la hipotenusa del triángulo rectángulo de catetos 7,5 m y 0,6 m: \(\sqrt{7{,}5^2+0{,}6^2}\approx7{,}52\) m.
    4. Con 5 m horizontales, la pendiente sería \(\frac{0{,}6}{5}=0{,}12\), es decir, un 12 %, con \(\alpha\approx6{,}84^\circ\). Supera el 8 %, así que no cumple la norma; habría que hacer la rampa en zigzag para ganar longitud.

15. Solución del ejercicio 15

    1. Los puntos \(P\), \(Q\) y el pie de la vertical \(H\) están alineados, con \(PH=5+x\) y \(QH=x\).
    2. \(h=x\tan55^\circ\) y \(h=(5+x)\tan40^\circ\).
    3. \(x(\tan55^\circ-\tan40^\circ)=5\tan40^\circ\Rightarrow x=\frac{5\cdot0{,}8391}{1{,}4281-0{,}8391}\approx7{,}12\) km y \(h=x\tan55^\circ\approx10{,}17\) km.
    4. \(QA=\frac{h}{\text{sen}\,55^\circ}\approx\frac{10{,}17}{0{,}8192}\approx12{,}42\) km.
    5. El ángulo en \(Q\) del triángulo \(PQA\) es \(180^\circ-55^\circ=125^\circ\) y en \(A\), \(180^\circ-40^\circ-125^\circ=15^\circ\). \(QA=\frac{5\,\text{sen}\,40^\circ}{\text{sen}\,15^\circ}\approx12{,}42\) km. Coincide.

16. Solución del ejercicio 16

    1. \(AB^2=800^2+1\,200^2-2\cdot800\cdot1\,200\cos35^\circ\approx507\,228\), así que \(AB\approx712{,}20\) m.
    2. \(\cos A=\frac{800^2+712{,}2^2-1\,200^2}{2\cdot800\cdot712{,}2}\approx-0{,}2569\Rightarrow A\approx104{,}89^\circ\).
    3. El teorema del seno da \(\text{sen}\,A\approx0{,}9665\), que corresponde a \(75{,}11^\circ\) o a \(104{,}89^\circ\). Como \(A\) está opuesto al lado mayor (1 200 m), es el ángulo mayor y debe ser el obtuso. El coseno no tiene esa ambigüedad.
    4. \(B=180^\circ-35^\circ-104{,}89^\circ\approx40{,}11^\circ\).
    5. \(712{,}2\cdot1{,}1\cdot18\approx14\,102\) €.

17. Solución del ejercicio 17

    1. Los cinco triángulos iguales se reparten la vuelta completa: el ángulo central es \(\frac{360^\circ}{5}=72^\circ\). La apotema divide cada triángulo isósceles en dos rectángulos, con ángulo \(36^\circ\) en el centro.
    2. En ese triángulo rectángulo, el medio lado es el cateto opuesto a \(36^\circ\) y el radio, la hipotenusa: \(\frac\ell2=10\operatorname{sen}36^\circ\), así que \(\ell=20\operatorname{sen}36^\circ\approx11{,}76\) m.
    3. La apotema es el cateto contiguo: \(a=10\cos36^\circ\approx8{,}09\) m.
    4. Área de un polígono regular: \(S=\frac{\text{perímetro}\cdot a}{2}=\frac{5\cdot11{,}76\cdot8{,}09}{2}\approx237{,}76\) m². La barandilla rodea el perímetro: \(5\cdot11{,}76\approx58{,}78\) m.
    5. Cada triángulo tiene dos lados de 10 m que forman \(72^\circ\): \(5\cdot\frac12\cdot10^2\operatorname{sen}72^\circ=250\cdot0{,}9511\approx237{,}76\) m². Coincide.

18. Solución del ejercicio 18

    1. El primer tramo forma \(40^\circ\) con el norte; el segundo, \(180^\circ-70^\circ=110^\circ\). El giro es de \(70^\circ\), así que el ángulo interior es \(180^\circ-70^\circ=110^\circ\).
    2. \(d^2=30^2+20^2-2\cdot30\cdot20\cos110^\circ\approx1\,300+410{,}4=1\,710{,}4\Rightarrow d\approx41{,}36\) km.
    3. \(\text{sen}\,\theta=\frac{20\,\text{sen}\,110^\circ}{41{,}36}\approx0{,}4544\Rightarrow\theta\approx27{,}03^\circ\).
    4. Rumbo \(40^\circ+27{,}03^\circ\approx67^\circ\): N 67° E. Para volver, el contrario: S 67° O.
    5. \(\frac{41{,}36}{15}\approx2{,}76\) h, unas 2 h 45 min.

19. Solución del ejercicio 19

    1. La pendiente de una recta es la tangente de su inclinación: \(\alpha=\operatorname{arctg}2\approx63{,}43^\circ\) y \(\beta=\operatorname{arctg}\frac13\approx18{,}43^\circ\).
    2. \(\tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}=\dfrac{2-\frac13}{1+2\cdot\frac13}=\dfrac{5/3}{5/3}=1\). El ángulo cuya tangente es 1 es \(45^\circ\): las calles se cruzan formando \(45^\circ\).
    3. \(63{,}43^\circ-18{,}43^\circ=45^\circ\), lo mismo que con la fórmula.
    4. Si fueran perpendiculares, \(\tan\alpha\cdot\tan\beta=-1\) y el denominador \(1+\tan\alpha\tan\beta\) sería 0: la tangente no existe, lo que corresponde a un ángulo de \(90^\circ\).

20. Solución del ejercicio 20

    1. Escribimos \(3\alpha=2\alpha+\alpha\) y aplicamos el coseno de la suma: \(\cos2\alpha\cos\alpha-\operatorname{sen}2\alpha\operatorname{sen}\alpha\). Sustituyendo las fórmulas del ángulo doble, con \(c=\cos\alpha\): \((2c^2-1)c-2(1-c^2)c=2c^3-c-2c+2c^3=4c^3-3c\).
    2. Con \(\alpha=18^\circ\), \(2\alpha=36^\circ\) y \(3\alpha=54^\circ\), que suman \(90^\circ\). El seno de un ángulo es el coseno de su complementario: \(\operatorname{sen}36^\circ=\cos54^\circ\).
    3. Sustituimos: \(2sc=4c^3-3c\). Dividiendo entre \(c\ne0\): \(2s=4c^2-3=4(1-s^2)-3=1-4s^2\), es decir, \(4s^2+2s-1=0\).
    4. \(s=\frac{-2\pm\sqrt{4+16}}{8}=\frac{-1\pm\sqrt5}{4}\). Como \(\operatorname{sen}18^\circ>0\), \(\operatorname{sen}18^\circ=\frac{\sqrt5-1}{4}\approx0{,}309\), valor que confirma la calculadora.