Razones trigonométricas (Matemáticas B) – matemáticas 4º ESO: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. \(\cos\alpha=\dfrac{12}{13}\) y \(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{5}{12}\). Calculamos el coseno con la relación fundamental: \(1-\dfrac{25}{169}=\dfrac{144}{169}\).
   2. \(\alpha=\operatorname{arcsen}\dfrac{5}{13}\approx22{,}62^\circ\). El complementario mide \(67{,}38^\circ\) con seno \(\dfrac{12}{13}\) y coseno \(\dfrac{5}{13}\). En el ángulo complementario se intercambian el seno y el coseno.

   Criterios de corrección: en a) 1 punto por el coseno, obtenido con la relación fundamental, y 1 punto por la tangente \(\dfrac{5}{12}\). En b) 1 punto por el ángulo de unos 22,62° y 1 punto por las razones del complementario, en el que seno y coseno se intercambian.

2. Solución del ejercicio 2 (3 puntos)

   1. \(\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}=1\). Sustituimos los valores notables y operamos.
   2. \(1+\sqrt3\cdot\dfrac{\sqrt3}{3}=1+1=2\). Las tangentes de 60° y 30° son inversas, así que su producto vale 1.

   Criterios de corrección: en a) 0,75 puntos por sustituir los cuatro valores notables y 0,75 por el resultado 1, que es el seno de \(60^\circ+30^\circ=90^\circ\). En b) 0,75 puntos por \(\operatorname{tg}45^\circ=1\) y 0,75 por ver que el producto de las tangentes de 60° y 30° vale 1, de modo que el total es 2.

3. Solución del ejercicio 3 (4 puntos)

   1. \(90^\circ-28^\circ=62^\circ\). Los ángulos agudos suman 90°.
   2. \(c=\dfrac{8}{\operatorname{sen}28^\circ}\approx17{,}04\) cm. El cateto conocido es opuesto al ángulo y buscamos la hipotenusa: usamos el seno.
   3. \(b=\dfrac{8}{\operatorname{tg}28^\circ}\approx15{,}05\) cm. El otro cateto es el contiguo: usamos la tangente.

   Criterios de corrección: en a) 1 punto por los 62°. En b) 1,5 puntos por relacionar el cateto opuesto de 8 cm con la hipotenusa mediante el seno. En c) 1,5 puntos por la tangente. Comprobación con Pitágoras: \(8^2+15{,}05^2\approx290{,}5\approx17{,}04^2\).

4. Solución del ejercicio 4 (3 puntos)

   1. \(h=25\operatorname{tg}52^\circ\approx32\) m. La altura es el cateto opuesto y los 25 m el contiguo: usamos la tangente.
   2. \(d=\dfrac{25}{\cos52^\circ}\approx40{,}61\) m. La distancia a la cima es la hipotenusa: usamos el coseno.

   Criterios de corrección: en a) 0,75 puntos por elegir la tangente y 0,75 por la altura de unos 32 m. En b) 0,75 puntos por elegir el coseno y 0,75 por la distancia de unos 40,61 m. Comprobación con Pitágoras: \(25^2+32^2=1\,649\) y \(40{,}61^2\approx1\,649\).

5. Solución del ejercicio 5 (6 puntos)

   1. Con los dos puntos alineados con el pie de la altura \(h\).
   2. \(h\left(\dfrac{1}{\operatorname{tg}20^\circ}-\dfrac{1}{\operatorname{tg}35^\circ}\right)=150\). Con \(\dfrac{1}{\operatorname{tg}20^\circ}\approx2{,}7475\) y \(\dfrac{1}{\operatorname{tg}35^\circ}\approx1{,}4281\): \(h=\dfrac{150}{1{,}3193}\approx113{,}7\) m.
   3. \(BC=\dfrac{h}{\operatorname{sen}35^\circ}\approx198{,}2\) m.
   4. El cerro se eleva unos 114 m sobre el valle. Comprobación: \(x_B\approx162{,}4\) m y \(x_A\approx312{,}4\) m, y su diferencia es \(150\) m.

   Criterios de corrección: las expresiones valen 1 punto, la ecuación y la altura 3 puntos, la distancia de \(B\) a la cima 1 punto y la interpretación 1 punto.

Total : 20 puntos