Números reales, vectores y relaciones – matemáticas 1º Bachillerato Ciencias: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. \(\sqrt{16}=4\) y \(\frac{\sqrt8}{\sqrt2}=\sqrt4=2\) son naturales (y por tanto enteros y racionales). \(-\frac{12}{4}=-3\) es entero. \(0{,}\overline{3}=\frac13\) y \(-2{,}5=-\frac52\) son racionales. \(\sqrt7\) y \(\pi\) son irracionales.
   2. \(0{,}\overline{3}\) es periódico y se escribe como la fracción \(\frac13\). \(\pi\) tiene infinitas cifras decimales sin periodo, así que no es cociente de enteros.
   3. Racional: \(1{,}415=\frac{283}{200}\). Irracional: \(\sqrt2\approx1{,}41421\ldots\), que está entre los dos.
   4. No: \(\sqrt2+(-\sqrt2)=0\), que es racional. La suma de un racional y un irracional sí es siempre irracional.

2. Solución del ejercicio 2

   1. Llamamos \(x=0{,}1818\ldots\). Como el periodo tiene dos cifras, multiplicamos por 100: \(100x=18{,}1818\ldots\). Al restar desaparece la parte periódica: \(99x=18\), así que \(x=\frac{18}{99}=\frac{2}{11}\).
   2. Hay una cifra no periódica (2) y una periódica (5). Multiplicamos por 100 y por 10 para dejar el periodo justo detrás de la coma: \(100x=125{,}55\ldots\) y \(10x=12{,}55\ldots\). Restando, \(90x=113\) y \(x=\frac{113}{90}\).
   3. \(10x=23{,}33\ldots\) y \(x=2{,}33\ldots\); restando, \(9x=21\), luego \(x=\frac{21}{9}=\frac73\). Comprobación: \(7:3=2{,}33\ldots\).
   4. \(x=0{,}99\ldots\) y \(10x=9{,}99\ldots\). Restando, \(9x=9\), luego \(x=1\). No es una aproximación: \(0{,}\overline9\) y 1 son dos escrituras del mismo número.

3. Solución del ejercicio 3

   1. \(A\) incluye \(-3\) (corchete) pero no 2 (paréntesis): \(-3\le x\lt 2\). \(B\) no incluye 0 pero sí 6: \(0\lt x\le6\). En la recta se dibuja punto relleno en los extremos incluidos y hueco en los excluidos.
   2. La intersección son los números que están en los dos intervalos: \(A\cap B=(0,2)\). La unión, los que están en alguno de ellos: \(A\cup B=[-3,6]\).
   3. Una desigualdad estricta da extremo abierto y una no estricta, extremo cerrado: \((-2,5]\) y \([3,+\infty)\). En el infinito el intervalo siempre es abierto, porque \(\infty\) no es un número.
   4. El complementario de \(B\) son los reales que no están en \(B\): \(\mathbb{R}\setminus B=(-\infty,0]\cup(6,+\infty)\). El 0 entra porque \(B\) no lo contenía.

4. Solución del ejercicio 4

   1. \(|x-3|\le2\) significa que la distancia de \(x\) a 3 es como mucho 2: \(-2\le x-3\le2\). Sumando 3, \(1\le x\le5\), es decir, \([1,5]\).
   2. Un valor absoluto mayor que 5 da dos casos: \(2x+1\gt 5\), de donde \(x\gt 2\), o \(2x+1\lt -5\), de donde \(x\lt -3\). Solución: \((-\infty,-3)\cup(2,+\infty)\).
   3. Buscamos los puntos que están a la misma distancia de 0 y de 4: el punto medio, \(x=2\). Algebraicamente, elevando al cuadrado, \(x^2=(x-4)^2\), que da \(0=-8x+16\) y \(x=2\).
   4. El entorno de centro 2 y radio 0,5 contiene los puntos a menos de 0,5 de 2: \(E(2;0{,}5)=(1{,}5;\,2{,}5)=\{x:|x-2|\lt 0{,}5\}\).

5. Solución del ejercicio 5

   1. Descomponemos: \(72=2^3\cdot3^2=2^2\cdot3^2\cdot2\), así que \(\sqrt{72}=2\cdot3\sqrt2=6\sqrt2\). Para la raíz cúbica buscamos cubos: \(54=3^3\cdot2\), luego \(\sqrt[3]{54}=3\sqrt[3]2\).
   2. Simplificamos cada término: \(\sqrt{50}=5\sqrt2\), \(\sqrt{18}=3\sqrt2\) y \(\sqrt8=2\sqrt2\). Son radicales semejantes y se suman sus coeficientes: \(5\sqrt2+3\sqrt2-2\sqrt2=6\sqrt2\).
   3. Las raíces del mismo índice se multiplican y se dividen dentro de una sola: \(\sqrt{12\cdot27}=\sqrt{324}=18\) y \(\sqrt{\frac{90}{10}}=\sqrt9=3\).
   4. Para introducir un factor se eleva al índice: \(3\sqrt2=\sqrt{3^2\cdot2}=\sqrt{18}\) y \(2\sqrt[3]5=\sqrt[3]{2^3\cdot5}=\sqrt[3]{40}\).

6. Solución del ejercicio 6

   1. Con una sola raíz cuadrada, multiplicamos arriba y abajo por ella: \(\dfrac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3\). En el segundo, multiplicamos por \(\sqrt5\): \(\dfrac{5\sqrt5}{2\cdot5}=\dfrac{\sqrt5}{2}\).
   2. Con una resta, multiplicamos por el conjugado \(\sqrt5+1\); en el denominador aparece una suma por diferencia: \(\dfrac{4(\sqrt5+1)}{(\sqrt5)^2-1^2}=\dfrac{4(\sqrt5+1)}{4}=\sqrt5+1\).
   3. Multiplicamos por \(\sqrt3-\sqrt2\): \(\dfrac{\sqrt3-\sqrt2}{3-2}=\sqrt3-\sqrt2\approx1{,}732-1{,}414=0{,}318\).
   4. Para que el denominador sea una raíz cúbica exacta multiplicamos por \(\sqrt[3]{2}\), porque \(4\cdot2=8=2^3\): \(\dfrac{2\sqrt[3]2}{\sqrt[3]8}=\dfrac{2\sqrt[3]2}{2}=\sqrt[3]2\).

7. Solución del ejercicio 7

   1. El denominador del exponente es el índice de la raíz y el numerador, la potencia: \(8^{2/3}=(\sqrt[3]8)^2=2^2=4\). El exponente negativo indica el inverso: \(16^{-3/4}=\dfrac1{(\sqrt[4]{16})^3}=\dfrac1{2^3}=\dfrac18\).
   2. Conviene hacer primero la raíz, que es exacta: \((\sqrt[3]{27})^4=3^4=81\).
   3. Pasamos a potencias de la misma base y sumamos exponentes: \(2^{1/2}\cdot2^{1/3}=2^{1/2+1/3}=2^{5/6}=\sqrt[6]{2^5}=\sqrt[6]{32}\).
   4. Escribimos \(\sqrt[4]8=2^{3/4}\) y \(\sqrt2=2^{1/2}\), y restamos exponentes: \(2^{3/4-1/2}=2^{1/4}=\sqrt[4]2\).

8. Solución del ejercicio 8

   1. Dividimos lado largo entre lado corto: \(\frac{297}{210}\approx1{,}4143\), mientras que \(\sqrt2\approx1{,}4142\). Coinciden con tres decimales; la pequeña diferencia se debe a que las medidas se redondean al milímetro.
   2. El área de A0 es lado corto por lado largo: \(x\cdot x\sqrt2=1\), así que \(x^2=\frac1{\sqrt2}=2^{-1/2}\). Tomando la raíz positiva, \(x=2^{-1/4}\) m.
   3. \(x=2^{-1/4}\approx0{,}8409\) m y el lado largo, \(x\sqrt2=2^{-1/4}\cdot2^{1/2}=2^{1/4}\approx1{,}1892\) m.
   4. Al doblar por la mitad del lado largo, la nueva hoja tiene lados \(\frac{x\sqrt2}{2}\) y \(x\). Su cociente es \(\dfrac{x}{x\sqrt2/2}=\dfrac{2}{\sqrt2}=\sqrt2\): la misma proporción que la hoja original.

9. Solución del ejercicio 9

   1. Tiempo \(=\) distancia entre velocidad: \(t=\dfrac{1{,}496\cdot10^8}{3\cdot10^5}\approx0{,}4987\cdot10^3=4{,}987\cdot10^2\) s, unos 499 s. Dividiendo entre 60, unos 8,3 minutos.
   2. Multiplicamos los años luz por la distancia de un año luz: \(4{,}24\cdot9{,}46\cdot10^{12}\approx40{,}11\cdot10^{12}=4{,}011\cdot10^{13}\) km.
   3. Horas de viaje: \(\dfrac{4{,}011\cdot10^{13}}{900}\approx4{,}457\cdot10^{10}\) h. Dividiendo entre 8 760 h por año: \(\approx5{,}09\cdot10^6\) años, más de cinco millones de años.
   4. En notación científica son significativas todas las cifras de la mantisa: 1, 4, 9 y 6, es decir, cuatro cifras significativas.

10. Solución del ejercicio 10

    1. Pasamos 1 cm a metros, \(10^{-2}\) m, y dividimos entre la longitud de una bacteria: \(\dfrac{10^{-2}}{2\cdot10^{-6}}=0{,}5\cdot10^4=5\,000\) bacterias.
    2. Como 1 L equivale a \(10^6\) mm³, 5 L son \(5\cdot10^6\) mm³.
    3. Multiplicamos el volumen por los glóbulos que hay en cada mm³: \(5\cdot10^6\cdot5\cdot10^6=25\cdot10^{12}=2{,}5\cdot10^{13}\) glóbulos rojos. Al pasar a notación científica, la mantisa debe estar entre 1 y 10.
    4. Longitud total: \(2{,}5\cdot10^{13}\cdot7{,}5\cdot10^{-6}=18{,}75\cdot10^7\) m \(=1{,}875\cdot10^8\) m. Dividiendo entre 1 000, \(1{,}875\cdot10^5\) km: casi la mitad de la distancia a la Luna.

11. Solución del ejercicio 11

    1. \(E_a=|2{,}348-2{,}35|=0{,}002\) m (2 mm). \(E_a=|11{,}95-11{,}9|=0{,}05\) cm (0,5 mm).
    2. \(E_r=\frac{0{,}002}{2{,}348}\approx0{,}085\,\%\). \(E_r=\frac{0{,}05}{11{,}95}\approx0{,}418\,\%\).
    3. La primera: aunque su error absoluto es mayor, su error relativo es casi cinco veces menor. La calidad se mide con el error relativo.
    4. \(|x-1{,}80|\le0{,}001\): \(x\in[1{,}799;\,1{,}801]\) m.

12. Solución del ejercicio 12

    1. \(-0{,}2\le x-50\le0{,}2\Rightarrow x\in[49{,}8;\,50{,}2]\).
    2. Se aceptan B (49,9), C (50,15) y E (50,2, justo en el extremo, que está incluido). Se rechazan A (49,75) y D (50,25).
    3. Ninguno. El más cercano es B, pero \(|49{,}9-50|=0{,}1\) no es estrictamente menor que 0,1: queda justo en el borde, que está excluido. Los demás se alejan 0,15 mm o más. La máquina debe ajustarse.
    4. \(|x-50|>0{,}2\), es decir, \((-\infty;\,49{,}8)\cup(50{,}2;+\infty)\).

13. Solución del ejercicio 13

    1. La temperatura puede alejarse de 4 °C como mucho 1,5 °C: \(|T-4|\le1{,}5\), que equivale a \(-1{,}5\le T-4\le1{,}5\), es decir, \(T\in[2{,}5;\,5{,}5]\).
    2. Comparamos cada valor con el intervalo: el martes (5,8 °C) supera 5,5 y el jueves (2,2 °C) está por debajo de 2,5. Esos dos días la temperatura estuvo fuera del rango recomendado.
    3. Media: \(\frac{4{,}1+5{,}8+3{,}6+2{,}2+4{,}8}{5}=\frac{20{,}5}{5}=4{,}1\) °C. Su distancia a 4 °C es \(|4{,}1-4|=0{,}1\) °C: la media es buena aunque haya días fuera del rango, porque los excesos se compensan.
    4. \(|T-4|\le0{,}8\) equivale a \(3{,}2\le T\le4{,}8\), es decir, \([3{,}2;\,4{,}8]\).

14. Solución del ejercicio 14

    1. El error absoluto es la diferencia, en valor absoluto, con el valor exacto. \(|3{,}14159-3{,}14|\approx0{,}00159\). \(\frac{22}7=3{,}142857\ldots\), con error \(\approx0{,}00126\). \(\frac{355}{113}=3{,}1415929\ldots\), con error \(\approx2{,}7\cdot10^{-7}\).
    2. El error relativo es el absoluto dividido entre el valor exacto. 3,14: \(\frac{0{,}00159}{3{,}14159}\approx0{,}051\,\%\). \(\frac{22}7\): \(\frac{0{,}00126}{3{,}14159}\approx0{,}040\,\%\).
    3. De mejor a peor, según su error: \(\frac{355}{113}\), \(\frac{22}{7}\) y \(3{,}14\). La aproximación china acierta seis decimales.
    4. La longitud es \(L=2\pi r=100\pi\). Al usar 3,14 el error se multiplica por 100: \(100\cdot0{,}00159\approx0{,}16\) m, unos 16 cm.

15. Solución del ejercicio 15

    1. \(\varphi=\frac{1+2{,}2361}{2}\approx1{,}6180\). Como \(\sqrt5\) es irracional, también lo son \(1+\sqrt5\) y su mitad.
    2. \(\varphi^2=\frac{1+2\sqrt5+5}{4}=\frac{6+2\sqrt5}{4}=\frac{3+\sqrt5}{2}\), y \(\varphi+1=\frac{1+\sqrt5+2}{2}=\frac{3+\sqrt5}{2}\). Son iguales.
    3. \(\frac{2}{1+\sqrt5}=\frac{2(\sqrt5-1)}{5-1}=\frac{\sqrt5-1}{2}=\frac{1+\sqrt5}{2}-1=\varphi-1\).
    4. \(\frac{85{,}6}{53{,}98}\approx1{,}5858\). Error relativo: \(\frac{1{,}6180-1{,}5858}{1{,}6180}\approx1{,}99\,\%\). Es casi áurea, pero no exactamente.
    5. No: su proporción es \(\sqrt2\approx1{,}414\), bastante lejos de \(1{,}618\). Los formatos DIN se eligen para conservar la forma al doblar, no por estética.

16. Solución del ejercicio 16

    1. \(d=\sqrt{105^2+68^2}=\sqrt{11\,025+4\,624}=\sqrt{15\,649}\). \(15\,649\) no tiene factores cuadrados (no es divisible entre 4, 9, 25, 49, 121…), así que no se simplifica.
    2. \(d\approx125{,}10\) m.
    3. \(E_a\approx|125{,}096-125|=0{,}096\) m; \(E_r\approx\frac{0{,}096}{125{,}096}\approx0{,}077\,\%\).
    4. \(20\cdot0{,}096\approx1{,}92\) m, menos de dos metros en 2,5 km.
    5. No: el campo se marca con líneas de 12 cm de anchura; una precisión de milésimas de milímetro no tiene sentido práctico.

17. Solución del ejercicio 17

    1. El ancho, el alto y la diagonal forman un triángulo rectángulo. Por Pitágoras, \((16k)^2+(10k)^2=10^2\), es decir, \(256k^2+100k^2=100\), o \(356k^2=100\).
    2. \(k^2=\frac{100}{356}\), luego \(k=\dfrac{10}{\sqrt{356}}\). Como \(356=4\cdot89\), \(\sqrt{356}=2\sqrt{89}\) y \(k=\dfrac{5}{\sqrt{89}}\). Racionalizando, \(k=\dfrac{5\sqrt{89}}{89}\).
    3. Ancho \(=16k=\frac{80}{\sqrt{89}}\approx8{,}480\) pulgadas; alto \(=10k=\frac{50}{\sqrt{89}}\approx5{,}300\) pulgadas.
    4. Multiplicamos por 2,54: ancho \(\approx21{,}54\) cm y alto \(\approx13{,}46\) cm. Son las medidas que necesita Marcos.
    5. Área exacta: \(\frac{80}{\sqrt{89}}\cdot\frac{50}{\sqrt{89}}=\frac{4\,000}{89}\approx44{,}94\) pulgadas cuadradas.

18. Solución del ejercicio 18

    1. \(u+v=(3-1,\,4+2)=(2,6)\).
    2. \(3u=(9,12)\). \(u-2v=(3+2,\,4-4)=(5,0)\).
    3. \(\sqrt{3^2+4^2}=5\) m.
    4. \(a+3b=7\) y \(2a-b=0\). De la segunda, \(b=2a\); sustituyendo, \(7a=7\), \(a=1\) y \(b=2\).
    5. Debe hacer una vez el movimiento \((1,2)\) y dos veces el \((3,-1)\) para llegar a \((7,0)\).

19. Solución del ejercicio 19

    1. \(|x-45|<30\Leftrightarrow x\in(15,75)\).
    2. \(|x-100|<20\Leftrightarrow x\in(80,120)\).
    3. Unión: \((15,75)\cup(80,120)\). Sin cobertura: \([0,15]\), \([75,80]\) y \([120,150]\).
    4. Para cubrir desde 120 hasta 150, la distancia al punto más lejano es \(\max(135-120,\,150-135)=15\) km; en sentido estricto necesita un radio algo mayor que 15 km.
    5. Quedan sin cobertura \([0,15]\) y \([75,80]\) (más los puntos frontera): \(15+5=20\) km.

20. Solución del ejercicio 20

    1. Con común denominador \((2-\sqrt3)(2+\sqrt3)=4-3=1\): la suma es \((2+\sqrt3)+(2-\sqrt3)=4\).
    2. \((2+\sqrt3)^2=4+4\sqrt3+3=7+4\sqrt3\). Como \(2+\sqrt3>0\), \(\sqrt{7+4\sqrt3}=2+\sqrt3\).
    3. Análogamente, \(\sqrt{7-4\sqrt3}=2-\sqrt3\) (positivo). La resta es \((2+\sqrt3)-(2-\sqrt3)=2\sqrt3\).
    4. Si \(\sqrt2=\frac pq\), entonces \(p^2=2q^2\), así que \(p^2\) es par y \(p\) también: \(p=2m\). Entonces \(4m^2=2q^2\), \(q^2=2m^2\) y \(q\) también es par. Contradicción con que la fracción sea irreducible.