Polinomios, ecuaciones e inecuaciones – matemáticas 1º Bachillerato CCSS: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. Se suman los términos semejantes: \(2x^3+(-3+1)x^2+(1-2)x+(-4+3)=2x^3-2x^2-x-1\).
   2. Se cambia el signo de \(Q\) y se suma: \(2x^3+(-3-1)x^2+(1+2)x+(-4-3)=2x^3-4x^2+3x-7\).
   3. Se multiplica cada término de \(P\) por \(Q\): \(2x^5-4x^4+6x^3-3x^4+6x^3-9x^2+x^3-2x^2+3x-4x^2+8x-12\). Agrupando: \(2x^5-7x^4+13x^3-15x^2+11x-12\), de grado \(3+2=5\).
   4. \((x-3)^2=x^2-6x+9\) y \((x+3)(x-3)=x^2-9\). La diferencia es \(x^2-6x+9-x^2+9=-6x+18\).

2. Solución del ejercicio 2

   1. Coeficientes \(2,\,-5,\,4,\,-7\) y \(a=2\). Se baja el 2; \(2\cdot2=4\) y \(-5+4=-1\); \(-1\cdot2=-2\) y \(4-2=2\); \(2\cdot2=4\) y \(-7+4=-3\). Cociente \(2x^2-x+2\) y resto \(-3\).
   2. \(P(2)=2\cdot8-5\cdot4+4\cdot2-7=16-20+8-7=-3\), que coincide con el resto.
   3. \(x^4:x^2=x^2\); restamos \(x^2(x^2+1)=x^4+x^2\) y queda \(2x^2-x+2\). \(2x^2:x^2=2\); restamos \(2x^2+2\) y queda \(-x\). Cociente \(x^2+2\) y resto \(-x\).
   4. \((x^2+1)(x^2+2)+(-x)=x^4+2x^2+x^2+2-x=x^4+3x^2-x+2\) ✓.

3. Solución del ejercicio 3

   1. Divisible entre \(x-2\) significa \(P(2)=0\): \(8+4k-8+12=0\), es decir, \(4k=-12\) y \(k=-3\).
   2. Coeficientes \(1,\,-3,\,-4,\,12\) con \(a=2\): \(1\); \(-3+2=-1\); \(-4-2=-6\); \(12-12=0\). Cociente \(x^2-x-6\).
   3. \(x^2-x-6=0\) da \(x=\dfrac{1\pm5}{2}\), es decir, \(3\) y \(-2\). Así \(P(x)=(x-2)(x-3)(x+2)\).
   4. Raíces: \(2\), \(3\) y \(-2\). \(P(-1)=-1-3+4+12=12\).

4. Solución del ejercicio 4

   1. Factor común \(x\) y diferencia de cuadrados: \(x(x^2-9)=x(x-3)(x+3)\).
   2. Bicuadrado: con \(t=x^2\), \(t^2-5t+4=0\) da \(t=1\) y \(t=4\). Entonces \((x^2-1)(x^2-4)=(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)\).
   3. Factor común \(2x\) y cuadrado de una diferencia: \(2x(x^2-4x+4)=2x(x-2)^2\).
   4. Las posibles raíces enteras dividen a 6. \(P(1)=1-2-5+6=0\); Ruffini da \(x^2-x-6=(x-3)(x+2)\). Así \((x-1)(x-3)(x+2)\).

5. Solución del ejercicio 5

   1. Incompleta: \(x^2=4\), luego \(x=2\) o \(x=-2\).
   2. \(x=\dfrac{7\pm\sqrt{49-40}}{2}=\dfrac{7\pm3}{2}\): \(x=5\) y \(x=2\).
   3. Con \(t=x^2\): \(t^2-13t+36=0\), \(t=\dfrac{13\pm5}{2}\), es decir, \(t=9\) y \(t=4\). Entonces \(x=\pm3\) y \(x=\pm2\): cuatro soluciones.
   4. Discriminante \(\Delta=9-4\cdot2\cdot5=-31\lt 0\): no tiene soluciones reales.

6. Solución del ejercicio 6

   1. Común denominador \(4x(x+2)\): \(4(x+2)+4x=3x(x+2)\), \(8x+8=3x^2+6x\), \(3x^2-2x-8=0\), \(x=\dfrac{2\pm10}{6}\): \(x=2\) y \(x=-\dfrac43\). Ninguna anula los denominadores; las dos son válidas.
   2. Elevamos al cuadrado: \(x+7=x^2+2x+1\), \(x^2+x-6=0\), \(x=2\) o \(x=-3\). Comprobación: \(x=2\): \(\sqrt9=3=2+1\) ✓; \(x=-3\): \(\sqrt4=2\neq-2\) ✗. Solución: \(x=2\).
   3. \(2^{x+1}=2\cdot2^x\), luego \(3\cdot2^x=24\), \(2^x=8\) y \(x=3\).
   4. \(\log[x(x-3)]=\log10\), luego \(x^2-3x-10=0\), con \(x=5\) o \(x=-2\). Como debe ser \(x\gt 3\), la única solución es \(x=5\).

7. Solución del ejercicio 7

   1. \(3x-x\le7+5\), \(2x\le12\), \(x\le6\). Solución: \((-\infty,6]\).
   2. Raíces: \(x=2\) y \(x=3\). La parábola se abre hacia arriba, así que es negativa entre las raíces: \((2,3)\).
   3. Raíces \(\pm2\); la parábola es positiva o nula fuera de ellas: \((-\infty,-2]\cup[2,+\infty)\).
   4. Numerador nulo en \(x=1\) y denominador nulo en \(x=-3\) (excluido). Tabla de signos: en \((-\infty,-3)\) el cociente es \(+\); en \((-3,1)\) es \(-\); en \((1,+\infty)\) es \(+\). Solución: \((-\infty,-3)\cup[1,+\infty)\).

8. Solución del ejercicio 8

   1. \(V(x)=x(30-2x)(20-2x)=4x^3-100x^2+600x\) cm³.
   2. \(V(2)=2\cdot26\cdot16=832\) cm³; \(V(5)=5\cdot20\cdot10=1\,000\) cm³.
   3. Las medidas deben ser positivas: \(x\gt 0\) y \(20-2x\gt 0\), es decir, \(0\lt x\lt 10\).
   4. \(4x^3-100x^2+600x-1\,000=0\), que dividido entre 4 es \(x^3-25x^2+150x-250=0\). Ruffini con \(x=5\) da \(x^2-20x+50=0\), con \(x=10\pm\sqrt{50}\): \(x\approx2{,}93\) y \(x\approx17{,}07\) (no válida). Soluciones: \(x=5\) cm y \(x\approx2{,}93\) cm.

9. Solución del ejercicio 9

   1. \(B(10)=-100+900-1\,400=-600\) (pérdidas de 600 000 €). \(B(40)=-1\,600+3\,600-1\,400=600\). \(B(80)=-6\,400+7\,200-1\,400=-600\).
   2. \(-x^2+90x-1\,400\gt 0\) equivale a \(x^2-90x+1\,400\lt 0\). Raíces: \(x=\dfrac{90\pm50}{2}\), \(20\) y \(70\). Hay beneficios si se producen entre 20 000 y 70 000 litros.
   3. Vértice en \(x=45\): \(B(45)=625\). Beneficio máximo de 625 000 € con 45 000 litros.
   4. \(-x^2+90x-1\,400\ge400\) implica \(x^2-90x+1\,800\le0\), con raíces \(30\) y \(60\): entre 30 000 y 60 000 litros.

10. Solución del ejercicio 10

    1. Las dimensiones exteriores son \(12+2x\) y \(8+2x\): \((12+2x)(8+2x)=165\).
    2. \(96+40x+4x^2=165\), es decir, \(4x^2+40x-69=0\). \(x=\dfrac{-40\pm\sqrt{1\,600+1\,104}}{8}=\dfrac{-40\pm52}{8}\): \(x=1{,}5\) m (la solución negativa no sirve).
    3. \(165-12\cdot8=165-96=69\) m².
    4. \(69\cdot25=1\,725\) €.

11. Solución del ejercicio 11

    1. Precio inicial: \(\dfrac{1\,800}{x}\). Con 10 más: \(\dfrac{1\,800}{x+10}\).
    2. \(\dfrac{1\,800}{x}-\dfrac{1\,800}{x+10}=15\). Multiplicando por \(x(x+10)\): \(1\,800(x+10)-1\,800x=15x(x+10)\), \(18\,000=15x^2+150x\), es decir, \(x^2+10x-1\,200=0\).
    3. \(x=\dfrac{-10\pm\sqrt{100+4\,800}}{2}=\dfrac{-10\pm70}{2}\): \(x=30\) (la otra, \(-40\), no sirve). Eran 30 alumnos.
    4. Con 30: \(1\,800:30=60\) €. Con 40: \(1\,800:40=45\) €. La diferencia es \(60-45=15\) € ✓.

12. Solución del ejercicio 12

    1. \(A(x)=15+0{,}05x\); \(B(x)=0{,}12x\); \(C(x)=25\).
    2. \(15+0{,}05x\lt 0{,}12x\) implica \(15\lt 0{,}07x\), \(x\gt 214{,}29\). Desde 215 minutos A es más barata que B.
    3. C más barata que B: \(25\lt 0{,}12x\), \(x\gt 208{,}33\). C más barata que A: \(25\lt 15+0{,}05x\), \(x\gt 200\).
    4. Hasta 208 minutos conviene B y desde 209 minutos conviene C. Cuando A empieza a ganar a B (215 minutos), C ya es más barata que A. Por tanto, A nunca es la mejor opción.

13. Solución del ejercicio 13

    1. Pitágoras: \(x^2+y^2=25\). Superficie: \(xy=12\).
    2. \(y=\dfrac{12}{x}\): \(x^2+\dfrac{144}{x^2}=25\); multiplicando por \(x^2\): \(x^4-25x^2+144=0\).
    3. Con \(t=x^2\): \(t^2-25t+144=0\), \(t=\dfrac{25\pm7}{2}\), es decir, \(t=16\) y \(t=9\). Entonces \(x=\pm4\) y \(x=\pm3\); solo sirven las positivas.
    4. Si \(x=4\), \(y=3\); si \(x=3\), \(y=4\): es la misma pantalla de 4 dm por 3 dm. Perímetro: \(2(4+3)=14\) dm.

14. Solución del ejercicio 14

    1. El grande llena \(\dfrac1x\) y el pequeño \(\dfrac{1}{x+6}\) del depósito por hora.
    2. Juntos llenan \(\dfrac14\) por hora: \(\dfrac1x+\dfrac{1}{x+6}=\dfrac14\).
    3. Multiplicando por \(4x(x+6)\): \(4(x+6)+4x=x(x+6)\), \(8x+24=x^2+6x\), \(x^2-2x-24=0\), \(x=\dfrac{2\pm10}{2}\): \(x=6\) (la otra, \(-4\), no sirve). El grande tarda 6 h y el pequeño 12 h.
    4. \(\dfrac16+\dfrac1{12}=\dfrac{2+1}{12}=\dfrac14\) ✓.

15. Solución del ejercicio 15

    1. \(x=0\): 20 €, 600 entradas, 12 000 €. \(x=2\): 22 €, 560, 12 320 €. \(x=5\): 25 €, 500, 12 500 €. \(x=8\): 28 €, 440, 12 320 €. \(x=10\): 30 €, 400, 12 000 €.
    2. \(I(x)=(20+x)(600-20x)=12\,000+200x-20x^2\).
    3. Vértice: \(x=\dfrac{-200}{2\cdot(-20)}=5\). Precio de 25 €, 500 entradas y 12 500 € de ingresos.
    4. \(12\,000+200x-20x^2\ge12\,320\) implica \(20x^2-200x+320\le0\), es decir, \(x^2-10x+16\le0\), con raíces 2 y 8. Solución: \(2\le x\le8\), precios entre 22 € y 28 €.
    5. No: con \(x=30\) se venderían \(600-600=0\) entradas y los ingresos serían 0. El modelo solo tiene sentido para \(0\le x\lt 30\).

16. Solución del ejercicio 16

    1. \(B(0)=-28\): sin producir hay pérdidas de 28 000 € (costes fijos). \(B(5)=-125+250-85-28=12\) y \(B(6)=-216+360-102-28=14\) miles de euros.
    2. \(B(4)=-64+160-68-28=0\). Ruffini con coeficientes \(-1,\,10,\,-17,\,-28\): \(-1\); \(10-4=6\); \(-17+24=7\); \(-28+28=0\). Cociente \(-x^2+6x+7\).
    3. \(-x^2+6x+7=0\) equivale a \(x^2-6x-7=0\), con \(x=7\) y \(x=-1\). Así \(B(x)=-(x+1)(x-4)(x-7)\).
    4. En \([0,8]\), \(x+1\gt 0\). El signo depende de \(-(x-4)(x-7)\): es positivo entre 4 y 7. Hay beneficios fabricando entre 400 y 700 bicicletas.
    5. \(B(8)=-512+640-136-28=-36\): con 800 bicicletas habría pérdidas de 36 000 €. Fabricar más no siempre es mejor porque los costes crecen más deprisa que los ingresos.

17. Solución del ejercicio 17

    1. \(10\,000\,u^2=11\,025\).
    2. \(u^2=1{,}1025\), \(u=1{,}05\) (la negativa no sirve). Tipo: \(r=5\,\%\).
    3. \(5\,000u^2+5\,000u=10\,918\).
    4. Dividiendo entre 5 000: \(u^2+u-2{,}1836=0\), \(u=\dfrac{-1+\sqrt{1+8{,}7344}}{2}=\dfrac{-1+3{,}12}{2}=1{,}06\). Tipo: \(6\,\%\).
    5. El segundo (6 % frente a 5 %). Habría tenido \(10\,000\cdot1{,}06^2=11\,236\) €, es decir, 211 € más.

18. Solución del ejercicio 18

    1. Perímetro \(2x+2y=100\), luego \(y=50-x\) y \(S(x)=x(50-x)=50x-x^2\).
    2. \(50x-x^2\ge600\) implica \(x^2-50x+600\le0\), con raíces \(x=20\) y \(x=30\). Solución: \(20\le x\le30\).
    3. Debe ser \(x\le28\) y también \(50-x\le28\), es decir, \(x\ge22\). Uniendo con lo anterior: \(22\le x\le28\).
    4. El máximo de \(S\) está en el vértice \(x=25\), que está permitido: parcela de \(25\times25\) m y \(S=625\) m².
    5. \(100\cdot12=1\,200\) €. No depende de las dimensiones, porque el perímetro es siempre 100 m.

19. Solución del ejercicio 19

    1. Tiempo real: \(\dfrac{120}{v}\) h. Con 5 km/h más: \(\dfrac{120}{v+5}\) h.
    2. \(\dfrac{120}{v}-\dfrac{120}{v+5}=2\). Multiplicando por \(v(v+5)\): \(600=2v^2+10v\), es decir, \(v^2+5v-300=0\).
    3. \(v=\dfrac{-5\pm\sqrt{25+1\,200}}{2}=\dfrac{-5\pm35}{2}\): \(v=15\) km/h (la negativa no sirve). Tarda \(\dfrac{120}{15}=8\) h.
    4. 8 h de pedaleo más 1 h de parada: llega a las 18:00, media hora antes de que anochezca.
    5. \(\dfrac{120}{v}+1\le8\) implica \(\dfrac{120}{v}\le7\), \(v\ge\dfrac{120}{7}=17{,}14\) km/h.

20. Solución del ejercicio 20

    1. \(P(1)=0\): \(1+a+b-6=0\), es decir, \(a+b=5\). \(P(-2)=0\): \(-8+4a-2b-6=0\), es decir, \(2a-b=7\).
    2. Sumando: \(3a=12\), \(a=4\) y \(b=1\).
    3. \(P(x)=x^3+4x^2+x-6\). Ruffini con \(1\): cociente \(x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\). Así \(P(x)=(x-1)(x+2)(x+3)\).
    4. Raíces \(-3,\,-2,\,1\). Signos: en \((-\infty,-3)\), \(-\); en \((-3,-2)\), \(+\); en \((-2,1)\), \(-\); en \((1,+\infty)\), \(+\). Solución: \((-3,-2)\cup(1,+\infty)\).