Geometría analítica en el plano – matemáticas 1º Bachillerato Ciencias: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. Restamos las coordenadas del origen a las del extremo: \(\overrightarrow{AB}=(4-(-2),5-1)=(6,4)\). La pendiente es el cociente entre la segunda y la primera componente: \(m=\dfrac{4}{6}=\dfrac23\).
   2. Con el punto \(A(-2,1)\) y la pendiente: \(y-1=\dfrac23(x+2)\). Despejando \(y\): \(y=\dfrac23x+\dfrac43+1=\dfrac23x+\dfrac73\), que es la ecuación explícita.
   3. Multiplicamos la explícita por 3 para quitar denominadores: \(3y=2x+7\). Pasando todo a un miembro, \(2x-3y+7=0\).
   4. Un punto pertenece a la recta si cumple su ecuación: \(2\cdot1-3\cdot3+7=2-9+7=0\). Sí pertenece.

2. Solución del ejercicio 2

   1. La ecuación vectorial expresa cada punto como el punto conocido más un múltiplo del director: \((x,y)=(1,2)+\lambda(3,-1)\). Separando coordenadas obtenemos las paramétricas: \(x=1+3\lambda\), \(y=2-\lambda\), con \(\lambda\in\mathbb{R}\).
   2. Despejamos \(\lambda\) en cada paramétrica e igualamos: \(\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y-2}{-1}\).
   3. Multiplicamos en cruz: \(-(x-1)=3(y-2)\), es decir, \(-x+1=3y-6\), y ordenando, \(x+3y-7=0\). Despejando \(y\), la explícita es \(y=-\dfrac13x+\dfrac73\), con pendiente \(-\frac13=\frac{-1}{3}\), coherente con el vector director.
   4. Sustituimos \(\lambda=2\) en las paramétricas: \(x=1+6=7\) e \(y=2-2=0\). El punto es \((7,0)\).

3. Solución del ejercicio 3

   1. Despejamos \(y\): \(-2y=-3x-6\), luego \(y=\dfrac32x+3\). La pendiente es \(\dfrac32\) y la ordenada en el origen, 3.
   2. En \(Ax+By+C=0\), el vector normal es \(\vec n=(A,B)=(3,-2)\). Un vector director es \(\vec v=(-B,A)=(2,3)\), perpendicular a \(\vec n\) porque \(3\cdot2+(-2)\cdot3=0\).
   3. Con \(x=0\): \(-2y+6=0\), \(y=3\), punto \((0,3)\). Con \(y=0\): \(3x+6=0\), \(x=-2\), punto \((-2,0)\).
   4. Sustituimos: \(3\cdot2-2\cdot6+6=6-12+6=0\). El punto \((2,6)\) cumple la ecuación, así que sí está en la recta.

4. Solución del ejercicio 4

   1. Comparamos: \(\dfrac24=\dfrac{-1}{-2}=\dfrac12\), pero \(\dfrac31=3\ne\dfrac12\). Los coeficientes de \(x\) e \(y\) son proporcionales y el término independiente no: las rectas son paralelas.
   2. \(\dfrac12=\dfrac12=\dfrac{-6}{-12}\): todos los coeficientes son proporcionales; las rectas son coincidentes.
   3. \(\dfrac13\ne\dfrac{-2}{1}\): son secantes. De \(x=2y-1\) en \(3x+y-4=0\): \(6y-3+y-4=0\Rightarrow y=1\) y \(x=1\). Se cortan en \((1,1)\).

5. Solución del ejercicio 5

   1. Despejando \(y\), \(r\) tiene pendiente \(m_1=1\) y \(s\) (\(y=-3x+1\)) tiene \(m_2=-3\). Entonces \(\operatorname{tg}\alpha=\left|\dfrac{-3-1}{1+1\cdot(-3)}\right|=\left|\dfrac{-4}{-2}\right|=2\), y con la calculadora \(\alpha=\operatorname{arctg}2\approx63{,}43^\circ\).
   2. \(\vec u\cdot\vec w=1\cdot1+1\cdot(-3)=-2\); \(|\vec u|=\sqrt2\) y \(|\vec w|=\sqrt{10}\). \(\cos\alpha=\dfrac{2}{\sqrt{20}}\approx0{,}4472\), luego \(\alpha\approx63{,}43^\circ\). Coincide con el apartado a); el valor absoluto garantiza que obtenemos el ángulo agudo.
   3. Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es \(-1\): \(m_1m_2=-1\). Una perpendicular a \(y=2x+1\) tiene pendiente \(-\dfrac12\), por ejemplo \(y=-\dfrac12x\).

6. Solución del ejercicio 6

   1. Sustituimos \(P(2,-1)\) en el numerador de la fórmula: \(|3\cdot2+4\cdot(-1)-12|=|-10|=10\). El denominador es \(\sqrt{9+16}=5\). Por tanto, \(d=\dfrac{10}{5}=2\).
   2. Para \(Q(-3,2)\): \(|3\cdot(-3)+4\cdot2-12|=|-13|=13\), y \(d=\dfrac{13}{5}=2{,}6\).
   3. Para el origen: \(d(O,r)=\dfrac{|-12|}{5}=\dfrac{12}{5}=2{,}4\). Cortes con los ejes: con \(y=0\), \(x=4\); con \(x=0\), \(y=3\); puntos \((4,0)\) y \((0,3)\). La recta forma con los ejes un triángulo rectángulo de catetos 4 y 3, de área \(\dfrac{4\cdot3}{2}=6\). Comprobación: hipotenusa 5 y altura \(2{,}4\) dan \(\frac{5\cdot2{,}4}{2}=6\).

7. Solución del ejercicio 7

   1. Los coeficientes de \(x\) e \(y\) coinciden, pero los términos independientes no: son paralelas.
   2. Un punto de la primera es \((4,0)\). Su distancia a la segunda es \(\dfrac{|12+0+8|}{5}=\dfrac{20}{5}=4\).
   3. La del medio tiene como término independiente la media de \(-12\) y \(8\), es decir, \(-2\): \(3x+4y-2=0\). Está a 2 unidades de cada una.

8. Solución del ejercicio 8

   1. El punto medio es la media de las coordenadas: \(M=\left(\dfrac{-1+5}{2},\dfrac{3-1}{2}\right)=(2,1)\). El vector es \(\overrightarrow{AB}=(5-(-1),-1-3)=(6,-4)\).
   2. La mediatriz es perpendicular a \(AB\), así que \(\overrightarrow{AB}\) es su vector normal, y pasa por \(M\): \(6(x-2)-4(y-1)=0\), es decir, \(6x-4y-8=0\), y simplificando, \(3x-2y-4=0\).
   3. \(3\cdot0-2\cdot(-2)-4=0\): \(P\) está en la recta. Además \(d(P,A)=\sqrt{(0+1)^2+(-2-3)^2}=\sqrt{26}\) y \(d(P,B)=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}\): equidista de los extremos, como todo punto de la mediatriz.
   4. \(|AB|=\sqrt{6^2+(-4)^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\approx7{,}21\).

9. Solución del ejercicio 9

   1. Sendero A: pendiente \(\frac{5-2}{6-0}=\frac12\) y ordenada en el origen 2, así que \(y=\frac12x+2\), es decir, \(x-2y+4=0\). Sendero B: pendiente \(\frac{2-6}{5-1}=-1\), \(y-6=-(x-1)\), es decir, \(x+y-7=0\).
   2. Resolvemos el sistema. Restando la primera ecuación a la segunda: \(3y-11=0\), luego \(y=\frac{11}{3}\) y \(x=7-\frac{11}{3}=\frac{10}{3}\). Se cruzan en \(\left(\frac{10}{3},\frac{11}{3}\right)\).
   3. Distancia de \(R(6,0)\) a \(x-2y+4=0\): \(d=\dfrac{|6-0+4|}{\sqrt{1+4}}=\dfrac{10}{\sqrt5}=2\sqrt5\approx4{,}47\) km.
   4. Distancia entre dos puntos: \(\sqrt{\left(6-\frac{10}{3}\right)^2+\left(0-\frac{11}{3}\right)^2}=\sqrt{\frac{64}{9}+\frac{121}{9}}=\sqrt{\frac{185}{9}}\approx4{,}53\) km.

10. Solución del ejercicio 10

    1. \(\overrightarrow{AB}=(9-1,10-2)=(8,8)\). Su módulo es la longitud del tendido: \(|AB|=\sqrt{64+64}=\sqrt{128}=8\sqrt2\approx11{,}31\) km.
    2. Con 3 postes intermedios el segmento queda dividido en 4 tramos iguales, así que el vector entre postes consecutivos es \(\frac14(8,8)=(2,2)\).
    3. Sumamos ese vector sucesivamente a \(A\): \(P_1=(1,2)+(2,2)=(3,4)\), \(P_2=(5,6)\) y \(P_3=(7,8)\). Comprobación: \(P_3+(2,2)=(9,10)=B\).
    4. Cada tramo mide \(|(2,2)|=\sqrt8=2\sqrt2\approx2{,}83\) km. El cable cubre los 11,31 km, con un coste de \(11{,}31\cdot4\,500\approx50\,912\) €.

11. Solución del ejercicio 11

    1. Con \(A\) en el origen, el área es la mitad del valor absoluto del determinante formado por \(B\) y \(C\): \(S=\frac12|8\cdot7-3\cdot2|=\frac12|56-6|=25\) dam\(^2\).
    2. \(AB\) pasa por el origen con vector \((8,2)\), es decir, pendiente \(\frac14\): \(y=\frac x4\), o \(x-4y=0\). Distancia de \(C\): \(d(C,AB)=\dfrac{|3-4\cdot7|}{\sqrt{1+16}}=\dfrac{25}{\sqrt{17}}\approx6{,}06\) dam.
    3. La base mide \(|AB|=\sqrt{64+4}=\sqrt{68}\approx8{,}25\) dam y la altura es la distancia anterior: \(S=\frac12\cdot\sqrt{68}\cdot\frac{25}{\sqrt{17}}=\frac12\cdot2\cdot25=25\) dam\(^2\). Coincide.
    4. Como \(1\) dam\(^2=100\) m\(^2\), \(S=2\,500\) m\(^2\) y el precio es \(2\,500\cdot120=300\,000\) €.

12. Solución del ejercicio 12

    1. \((x-3)^2+(y-4)^2=25\). Desarrollando: \(x^2+y^2-6x-8y+9+16-25=0\), es decir, \(x^2+y^2-6x-8y=0\).
    2. \((1,2)\): \(d=\sqrt{4+4}=2{,}83<5\), con señal. \((8,10)\): \(d=\sqrt{25+36}=7{,}81>5\), sin señal. \((6,8)\): \(d=\sqrt{9+16}=5\), en el límite.
    3. \(d(O,C)=\sqrt{9+16}=5\). Efectivamente está en la circunferencia (se ve también porque la ecuación general no tiene término independiente).
    4. Con \(y=4\): \((x-3)^2=25\Rightarrow x=-2\) o \(x=8\). Tiene cobertura para \(-2\le x\le8\).

13. Solución del ejercicio 13

    1. Completamos cuadrados agrupando \(x\) e \(y\): \(x^2-6x=(x-3)^2-9\) e \(y^2+4y=(y+2)^2-4\). La ecuación queda \((x-3)^2+(y+2)^2=12+9+4=25\). Centro \((3,-2)\) y radio \(\sqrt{25}=5\).
    2. El centro equidista de los tres puntos. Por equidistar de \(A\) y \(B\) está en su mediatriz, \(x=2\); por equidistar de \(A\) y \(C\), en \(y=1\). Centro \((2,1)\) y radio \(d(A,\text{centro})=\sqrt{4+1}=\sqrt5\). Ecuación: \((x-2)^2+(y-1)^2=5\).
    3. \((4-2)^2+(2-1)^2=4+1=5\). Sí está: \((4,2)\) es el cuarto vértice del rectángulo de vértices \(A\), \(B\) y \(C\), y el centro es el punto medio de su diagonal.

14. Solución del ejercicio 14

    1. \(3^2+4^2=25\): \(P\) está en la circunferencia. La tangente es perpendicular al radio, así que \(\overrightarrow{OP}=(3,4)\) es su vector normal: \(3(x-3)+4(y-4)=0\), es decir, \(3x+4y-25=0\).
    2. \(d=\dfrac{|0+0-1|}{\sqrt{1+1}}=\dfrac{1}{\sqrt2}\approx0{,}71\). Como es menor que el radio 5, la recta es secante: corta a la circunferencia en dos puntos.
    3. Despejamos \(y=1-x\) y sustituimos: \(x^2+(1-x)^2=25\), es decir, \(2x^2-2x-24=0\), o \(x^2-x-12=0\), con \(x=4\) o \(x=-3\). Los puntos son \((4,-3)\) y \((-3,4)\).
    4. La cuerda es la distancia entre ellos: \(\sqrt{(4+3)^2+(-3-4)^2}=\sqrt{98}=7\sqrt2\approx9{,}90\).

15. Solución del ejercicio 15

    1. La distancia a \(F\) es \(\sqrt{(x-2)^2+y^2}\) y la distancia a la recta \(x=-2\) es \(|x+2|\). Igualamos y elevamos al cuadrado: \(x^2-4x+4+y^2=x^2+4x+4\). Simplificando, \(y^2=8x\).
    2. Con \(x=0\) se obtiene \(y=0\): el vértice es el origen, a mitad de camino entre el foco y la directriz. Con \(x=2\) (la abscisa del foco): \(y^2=16\), \(y=\pm4\); son los extremos del lado recto.
    3. Un diámetro de 8 m en el borde significa que el borde está en \(y=\pm4\). Entonces \(x=\frac{y^2}{8}=\frac{16}{8}=2\): la antena tiene 2 m de profundidad, y su foco queda justo a la altura del borde.

16. Solución del ejercicio 16

    1. El semieje mayor es la mitad del eje mayor, \(a=5\), y el menor, \(b=3\). La ecuación es \(\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1\).
    2. \(c=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4\). Los focos están en \((\pm4,0)\), así que las fuentes están a \(2c=8\) m una de otra.
    3. Para \((0,3)\): \(d_1=\sqrt{(0-4)^2+3^2}=5\) y \(d_2=\sqrt{(0+4)^2+3^2}=5\). La suma es \(10=2a\), como exige la definición de elipse.
    4. Con \(x=3\): \(y^2=9\left(1-\frac{9}{25}\right)=\frac{144}{25}\), luego \(y=\pm\frac{12}{5}=\pm2{,}4\). La anchura vertical a 3 m del centro es \(2\cdot2{,}4=4{,}8\) m.

17. Solución del ejercicio 17

    1. Comparando con \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\): \(a^2=9\) y \(b^2=16\), luego \(a=3\), \(b=4\). En la hipérbola \(c^2=a^2+b^2\): \(c=\sqrt{9+16}=5\).
    2. Los vértices están sobre el eje \(X\) a distancia \(a\): \((\pm3,0)\). Los focos, a distancia \(c\): \((\pm5,0)\). Excentricidad \(e=\frac{c}{a}=\frac53\approx1{,}67\), mayor que 1, como en toda hipérbola.
    3. Las asíntotas son \(y=\pm\dfrac{b}{a}x=\pm\dfrac43x\): las ramas se acercan a ellas sin tocarlas.
    4. Sustituimos: \(\dfrac{25}{9}-\dfrac{(16/3)^2}{16}=\dfrac{25}{9}-\dfrac{256/9}{16}=\dfrac{25}{9}-\dfrac{16}{9}=1\). Sí pertenece.

18. Solución del ejercicio 18

    1. \(|AB|=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}\), \(|AC|=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}\), \(|BC|=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}\). Dos lados iguales: isósceles.
    2. \(\overrightarrow{BC}=(-4,4)\), pendiente \(-1\): \(y-3=-(x-7)\Rightarrow x+y-10=0\).
    3. \(h=d(A,BC)=\dfrac{|1+1-10|}{\sqrt2}=\dfrac{8}{\sqrt2}=4\sqrt2\approx5{,}66\). Área \(=\frac12\cdot4\sqrt2\cdot4\sqrt2=16\) unidades cuadradas. (Con el determinante: \(\frac12|6\cdot6-2\cdot2|=16\).)
    4. \(M=\left(\frac{7+3}{2},\frac{3+7}{2}\right)=(5,5)\). La mediana \(AM\) tiene dirección \((4,4)\), es decir, es la recta \(y=x\), perpendicular a \(BC\): coincide con la altura y la mediatriz, como corresponde a un triángulo isósceles.
    5. \(G=\left(\dfrac{1+7+3}{3},\dfrac{1+3+7}{3}\right)=\left(\dfrac{11}{3},\dfrac{11}{3}\right)\).

19. Solución del ejercicio 19

    1. \(\dfrac{|3x+4y-5|}{5}=\dfrac{|12x-5y+2|}{13}\) (las normas son \(\sqrt{9+16}=5\) y \(\sqrt{144+25}=13\)).
    2. \(13(3x+4y-5)=\pm5(12x-5y+2)\). Con el signo \(+\): \(39x+52y-65=60x-25y+10\Rightarrow21x-77y+75=0\). Con el signo \(-\): \(39x+52y-65=-60x+25y-10\Rightarrow99x+27y-55=0\).
    3. Pendientes: \(\frac{21}{77}=\frac{3}{11}\) y \(-\frac{99}{27}=-\frac{11}{3}\). Su producto es \(-1\): son perpendiculares.
    4. De \(3x+4y=5\) y \(12x-5y=-2\): \(x=\frac{17}{63}\) e \(y=\frac{22}{21}\). Sustituyendo en las dos bisectrices se obtiene 0 en ambas: el punto de corte pertenece a las dos.

20. Solución del ejercicio 20

    1. El centro equidista de \(A\) y \(B\), así que está en la mediatriz de \(AB\): el punto medio es \((2,2)\) y \(\overrightarrow{AB}=(2,0)\), luego la mediatriz es \(x=2\).
    2. La distancia del centro al eje \(OX\) es \(|k|\): el radio es \(r=|k|\).
    3. \((1-2)^2+(2-k)^2=k^2\Rightarrow1+4-4k+k^2=k^2\Rightarrow5=4k\Rightarrow k=\dfrac54\).
    4. Centro \(\left(2,\frac54\right)\), radio \(\frac54\): \((x-2)^2+\left(y-\dfrac54\right)^2=\dfrac{25}{16}\).