Vectores en el plano – matemáticas 1º Bachillerato Ciencias: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. Las coordenadas de un vector son las del extremo menos las del origen: \(\overrightarrow{AB}=B-A=(4-1,\,6-2)=(3,4)\). Su módulo es \(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\).
   2. El opuesto cambia el signo de las dos coordenadas: \(\overrightarrow{BA}=(-3,-4)\). Tiene el mismo módulo y la misma dirección, pero sentido contrario.
   3. Si \(\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}\), entonces \(D=C+\overrightarrow{AB}=(-2+3,\,0+4)=(1,4)\).
   4. Como \(\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}\), los segmentos \(AB\) y \(CD\) son paralelos, de la misma longitud y con el mismo sentido: el cuadrilátero \(ABDC\) es un paralelogramo.

2. Solución del ejercicio 2

   1. Se opera coordenada a coordenada: \(\vec u+\vec v=(2-3,\,-1+4)=(-1,3)\). Para la combinación, \(2\vec u=(4,-2)\) y \(3\vec v=(-9,12)\), así que \(2\vec u-3\vec v=(4+9,\,-2-12)=(13,-14)\).
   2. \(|\vec u|=\sqrt{4+1}=\sqrt5\approx2{,}24\) y \(|\vec v|=\sqrt{9+16}=5\).
   3. Dividimos \(\vec v\) entre su módulo: \(\frac{\vec v}{|\vec v|}=\left(-\frac35,\frac45\right)\). Comprobación: \(\sqrt{\frac9{25}+\frac{16}{25}}=1\).
   4. \(|\vec u+\vec v|=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}\approx3{,}16\) y \(|\vec u|+|\vec v|\approx2{,}24+5=7{,}24\). Se cumple la desigualdad triangular: un lado de un triángulo nunca supera la suma de los otros dos.

3. Solución del ejercicio 3

   1. Dos vectores forman base si no son paralelos, es decir, si sus coordenadas no son proporcionales: \(\frac13\ne\frac{2}{-1}\). Equivalentemente, \(1\cdot(-1)-2\cdot3=-7\ne0\).
   2. Buscamos \(x\), \(y\) con \(x(1,2)+y(3,-1)=(7,0)\). Igualando coordenadas: \(x+3y=7\) y \(2x-y=0\). De la segunda, \(y=2x\); sustituyendo, \(7x=7\), luego \(x=1\) e \(y=2\). Así \(\vec w=\vec a+2\vec b\).
   3. No forman base: \((2,4)=-2\cdot(-1,-2)\), así que son paralelos y solo generan una dirección.
   4. Las coordenadas de \(\vec w\) en la base \(\{\vec a,\vec b\}\) son los coeficientes de la combinación: \((1,2)\), aunque en la base canónica sean \((7,0)\).

4. Solución del ejercicio 4

   1. Las coordenadas deben ser proporcionales: \(\frac k2=\frac63=2\), luego \(k=4\). Comprobación: \((4,6)=2(2,3)\).
   2. Tres puntos están alineados si \(\overrightarrow{AB}\) y \(\overrightarrow{AC}\) son paralelos. \(\overrightarrow{AB}=(2,3)\) y \(\overrightarrow{AC}=(6,9)=3\overrightarrow{AB}\): sí están alineados.
   3. \(\overrightarrow{PA}=(1-0,\,1-m)=(1,1-m)\) debe ser paralelo a \(\overrightarrow{AB}=(2,3)\): \(\frac12=\frac{1-m}{3}\), luego \(1-m=\frac32\) y \(m=-\frac12\).
   4. Comparamos los cocientes: \(\frac{4}{-6}=-\frac23\) y \(\frac{-6}{9}=-\frac23\). Son iguales, así que sí son paralelos: \((4,-6)=-\frac23(-6,9)\), con sentidos opuestos.

5. Solución del ejercicio 5

   1. Multiplicamos coordenada a coordenada y sumamos: \(\vec u\cdot\vec v=3\cdot5+4\cdot(-2)=15-8=7\).
   2. Despejamos el coseno: \(|\vec u|=5\) y \(|\vec v|=\sqrt{25+4}=\sqrt{29}\). \(\cos\alpha=\frac{7}{5\sqrt{29}}\approx0{,}2600\), luego \(\alpha\approx74{,}93^\circ\). Es agudo porque el producto escalar es positivo.
   3. Intercambiando las coordenadas y cambiando un signo se obtiene un perpendicular del mismo módulo: \((-4,3)\). Comprobación: \(3\cdot(-4)+4\cdot3=0\) y \(\sqrt{16+9}=5\).
   4. Dos vectores son perpendiculares si su producto escalar es 0: \(3k+2\cdot(-6)=0\), es decir, \(3k-12=0\), luego \(k=4\).

6. Solución del ejercicio 6

   1. \(\vec u\cdot\vec v=4\cdot3+3\cdot4=24\) y \(|\vec v|=5\). La proyección escalar es \(\frac{24}{5}=4{,}8\).
   2. El vector proyección tiene esa longitud y la dirección de \(\vec v\): \(4{,}8\cdot\frac{(3,4)}{5}=(2{,}88;\,3{,}84)\).
   3. La componente perpendicular es lo que queda al restar la proyección: \((4,3)-(2{,}88;\,3{,}84)=(1{,}12;\,-0{,}84)\). Comprobación: \(1{,}12\cdot3+(-0{,}84)\cdot4=3{,}36-3{,}36=0\), así que es perpendicular a \(\vec v\).
   4. Como \(\vec u\cdot\vec v=|\vec u||\vec v|\cos\alpha\), si el ángulo es obtuso el coseno es negativo y la proyección también: la «sombra» cae en sentido contrario a \(\vec v\).

7. Solución del ejercicio 7

   1. La fuente está en el punto medio, media de las coordenadas: \(M=\left(\frac{2+8}2,\frac{3+7}2\right)=(5,5)\).
   2. \(\overrightarrow{AB}=(6,4)\). Los bancos están a un tercio y a dos tercios del camino: \(P_1=A+\frac13\overrightarrow{AB}=(2+2,\,3+\frac43)=\left(4,\frac{13}3\right)\) y \(P_2=A+\frac23\overrightarrow{AB}=\left(6,\frac{17}3\right)\).
   3. Si \(A'\) es el simétrico de \(A\) respecto de \(B\), entonces \(B\) es el punto medio de \(AA'\): \(A'=2B-A=(16-2,\,14-3)=(14,11)\).
   4. \(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}\approx7{,}21\) unidades; como cada unidad son 100 m, el paseo mide unos 721 m.

8. Solución del ejercicio 8

   1. \(\vec v_p=(0,4)\) y \(\vec v_c=(1{,}5;\,0)\). Resultante \((1{,}5;\,4)\).
   2. \(\sqrt{2{,}25+16}\approx4{,}27\) m/s. Ángulo: \(\arctan\frac{1{,}5}{4}\approx20{,}56^\circ\).
   3. Avanza 4 m/s hacia la otra orilla: \(\frac{80}{4}=20\) s. Desplazamiento: \(1{,}5\cdot20=30\) m.
   4. La componente en \(X\) debe compensar la corriente: \((-1{,}5;\,y)\) con \(1{,}5^2+y^2=16\), \(y=\sqrt{13{,}75}\approx3{,}71\) m/s. Tardaría \(\frac{80}{3{,}71}\approx21{,}57\) s.

9. Solución del ejercicio 9

   1. \(\vec F=(50\cos30^\circ,\,-50\,\text{sen}\,30^\circ)\approx(43{,}30;\,-25)\), porque empuja hacia abajo, y \(\vec d=(20,0)\).
   2. \(W=43{,}30\cdot20+(-25)\cdot0\approx866{,}03\) J.
   3. \(50\cdot20\cdot\cos30^\circ=1\,000\cdot\frac{\sqrt3}2\approx866{,}03\) J. Coincide.
   4. \(W=0\): la componente vertical de la fuerza no ayuda a mover el carro en horizontal; solo lo aprieta contra el suelo.

10. Solución del ejercicio 10

    1. Los desplazamientos sucesivos se suman: \(\vec a+\vec b=(300-100,\,400+200)=(200,600)\). El dron termina en el punto \((200,600)\).
    2. La distancia en línea recta es el módulo del desplazamiento total: \(\sqrt{200^2+600^2}=\sqrt{400\,000}\approx632{,}46\) m.
    3. El recorrido real es la suma de los módulos: \(|\vec a|=\sqrt{90\,000+160\,000}=500\) m y \(|\vec b|=\sqrt{50\,000}\approx223{,}61\) m, en total \(723{,}61\) m. Es mayor que 632,46 m, como exige la desigualdad triangular.
    4. Para volver debe seguir el vector opuesto al desplazamiento total: \((-200,-600)\).

11. Solución del ejercicio 11

    1. \(\overrightarrow{BC}=(1,3)\), así que \(D=A+(1,3)=(2,4)\).
    2. Punto medio de \(AC\): \(\left(\frac72,3\right)\). Punto medio de \(BD\): \(\left(\frac72,3\right)\). Coinciden.
    3. \(\vec u=(4,1)\) y \(\vec v=(1,3)\): \(S=|4\cdot3-1\cdot1|=11\) m².
    4. \(\vec u\cdot\vec v=4+3=7\ne0\): los lados no son perpendiculares, no es un rectángulo.

12. Solución del ejercicio 12

    1. Extremo menos origen: \(\overrightarrow{AB}=(4,0)\), \(\overrightarrow{AC}=(1,3)\), \(\overrightarrow{BA}=(-4,0)\) y \(\overrightarrow{BC}=(1-4,\,3-0)=(-3,3)\).
    2. El ángulo en un vértice es el que forman los vectores que salen de él. En \(A\): \(\cos A=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}=\frac{4}{4\sqrt{10}}\approx0{,}3162\), luego \(A\approx71{,}57^\circ\). En \(B\): \(\cos B=\frac{12}{4\sqrt{18}}=\frac{\sqrt2}2\), luego \(B=45^\circ\).
    3. Los ángulos suman \(180^\circ\): \(C=180^\circ-71{,}57^\circ-45^\circ=63{,}43^\circ\).
    4. Lados: \(|AB|=4\), \(|AC|=\sqrt{10}\approx3{,}16\) y \(|BC|=\sqrt{18}\approx4{,}24\) dam. Perímetro \(\approx11{,}40\) dam, es decir, unos 114 m.

13. Solución del ejercicio 13

    1. El peso actúa hacia abajo: \(\vec P=(0,-80)\). Sumamos las tres fuerzas: \(\vec T_1+\vec T_2+\vec P=(-30+30+0,\,40+40-80)=(0,0)\). La resultante es nula, así que la lámpara está en equilibrio.
    2. \(|\vec T_1|=|\vec T_2|=\sqrt{30^2+40^2}=\sqrt{2\,500}=50\) N. Cada cable soporta 50 N, aunque entre los dos solo sostienen 80 N de peso, porque parte de la tensión es horizontal y se compensa.
    3. Con la vertical, el cateto opuesto es 30 y el contiguo 40: \(\tan\theta=\frac{30}{40}\), luego \(\theta\approx36{,}87^\circ\).
    4. \(\cos\alpha=\frac{\vec T_1\cdot\vec T_2}{|\vec T_1||\vec T_2|}=\frac{-900+1\,600}{50\cdot50}=0{,}28\), luego \(\alpha\approx73{,}74^\circ\), el doble de \(36{,}87^\circ\), como se espera por simetría.

14. Solución del ejercicio 14

    1. Restamos \(P\) a cada poste: \((0,-3{,}66)-(16,0)=(-16,-3{,}66)\) y \((0,3{,}66)-(16,0)=(-16,3{,}66)\).
    2. El producto escalar es \(256-13{,}40=242{,}60\) y cada vector mide \(\sqrt{256+13{,}40}\approx16{,}41\). Entonces \(\cos\alpha\approx\frac{242{,}60}{269{,}40}\approx0{,}9005\), luego \(\alpha\approx25{,}77^\circ\).
    3. Desde \(Q\) los vectores son \((-16,-11{,}66)\) y \((-16,-4{,}34)\), de módulos \(\approx19{,}80\) y \(\approx16{,}58\). \(\cos\beta=\frac{256+50{,}60}{19{,}80\cdot16{,}58}\approx0{,}9341\), luego \(\beta\approx20{,}91^\circ\).
    4. El jugador en \(P\) ve la portería con un ángulo mayor (\(25{,}77^\circ\) frente a \(20{,}91^\circ\)), así que geométricamente tiene más opciones: estar centrado amplía el ángulo de tiro.

15. Solución del ejercicio 15

    1. \(\overrightarrow{AB}=(4,2)\), \(\overrightarrow{BC}=(-1,2)\), \(\overrightarrow{DC}=(4,2)\) y \(\overrightarrow{AD}=(-1,2)\).
    2. \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) y \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\): los lados opuestos son iguales y paralelos.
    3. \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=-4+4=0\): el ángulo en \(B\) es recto. Un paralelogramo con un ángulo recto es un rectángulo.
    4. \(|\overrightarrow{AC}|=|(3,4)|=5\) y \(|\overrightarrow{BD}|=|(-5,0)|=5\).
    5. Lados \(\sqrt{20}\) y \(\sqrt5\) unidades: área \(\sqrt{100}=10\) unidades², es decir, \(10\cdot100=1\,000\) m². El anuncio es correcto. No es un cuadrado, porque los lados miden \(\sqrt{20}\ne\sqrt5\).

16. Solución del ejercicio 16

    1. \((0,250)+(50,0)=(50,250)\), con módulo \(\sqrt{2\,500+62\,500}\approx254{,}95\) km/h.
    2. \(\arctan\frac{50}{250}\approx11{,}31^\circ\) hacia el este.
    3. La velocidad respecto del aire debe ser \((-50,y)\) con \(50^2+y^2=250^2\): \(y\approx244{,}95\). Ángulo con el norte: \(\text{arcsen}\,\frac{50}{250}\approx11{,}54^\circ\) hacia el oeste.
    4. Velocidad respecto del suelo \((0;\,244{,}95)\), unos 244,95 km/h. Duración: \(\frac{600}{244{,}95}\approx2{,}45\) h, unas 2 h 27 min.
    5. Parte de la velocidad de la avioneta se gasta en compensar el viento, y solo la componente norte, menor que 250 km/h, la hace avanzar.

17. Solución del ejercicio 17

    1. No son paralelos, porque \(3\cdot2-1\cdot1=5\ne0\); por tanto, forman una base y cualquier punto se alcanza combinándolos.
    2. Planteamos \(a(3,1)+b(1,2)=(10,5)\): \(3a+b=10\) y \(a+2b=5\). De la primera, \(b=10-3a\); sustituyendo, \(a+20-6a=5\), luego \(a=3\) y \(b=1\).
    3. Coste: \(3\cdot2+1\cdot3=9\) céntimos.
    4. En línea recta, \(\sqrt{10^2+5^2}=\sqrt{125}\approx11{,}18\). El robot recorre \(3|\vec u|+|\vec v|=3\sqrt{10}+\sqrt5\approx9{,}49+2{,}24=11{,}72\), algo más.
    5. \(3a+b=4\) y \(a+2b=8\) dan \(a=0\) y \(b=4\): sí, son números enteros, así que basta con hacer 4 veces el movimiento \(\vec v\).

18. Solución del ejercicio 18

    1. \(G=\left(\frac{2+8+5}{3},\frac{1+3+8}{3}\right)=(5,4)\).
    2. \(M=\left(\frac{13}2,\frac{11}2\right)\). \(\overrightarrow{AM}=(4{,}5;\,4{,}5)\), con longitud \(\approx6{,}36\) unidades (636 m).
    3. \(\overrightarrow{AG}=(3,3)=\frac23(4{,}5;\,4{,}5)\).
    4. \(|AG|=\sqrt{18}\approx4{,}24\); \(|BG|=|(-3,1)|=\sqrt{10}\approx3{,}16\); \(|CG|=|(0,-4)|=4\). No están a la misma distancia: A camina más.
    5. El circuncentro, que está a la misma distancia de los tres, o el punto que minimiza la suma de las distancias.

19. Solución del ejercicio 19

    1. \(3\cdot5\cdot\cos60^\circ=7{,}5\).
    2. \((\vec u+\vec v)\cdot(\vec u+\vec v)=\vec u\cdot\vec u+2\,\vec u\cdot\vec v+\vec v\cdot\vec v=|\vec u|^2+2\,\vec u\cdot\vec v+|\vec v|^2\).
    3. \(|\vec u+\vec v|^2=9+25+15=49\Rightarrow7\). \(|\vec u-\vec v|^2=9+25-15=19\Rightarrow\sqrt{19}\approx4{,}36\).
    4. \(\vec u-\vec v\) es el tercer lado del triángulo de lados 3 y 5 con ángulo \(60^\circ\): \(c^2=3^2+5^2-2\cdot3\cdot5\cos60^\circ\), que es justo el teorema del coseno.

20. Solución del ejercicio 20

    1. Los perpendiculares a \((3,4)\) son \(k(-4,3)\), de módulo \(5|k|\). Con \(k=\pm2\): \((-8,6)\) y \((8,-6)\).
    2. \(P(x,0)\): \(\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=(1-x)(5-x)+3=0\Rightarrow x^2-6x+8=0\Rightarrow x=2\) o \(x=4\). Puntos \((2,0)\) y \((4,0)\).
    3. Con \(P(2,0)\): \(|PA|^2=1+9=10\), \(|PB|^2=9+1=10\) y \(|AB|^2=16+4=20=10+10\).
    4. Sobre la circunferencia de diámetro \(AB\) (arco capaz de \(90^\circ\)), de centro \((3,2)\) y radio \(\sqrt5\), que corta al eje \(X\) en esos dos puntos.