Geometría analítica: la recta (Matemáticas B) – matemáticas 4º ESO: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. \(\overrightarrow{PQ}=(3,4)\) y \(|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{9+16}=5\). Restamos las coordenadas del origen a las del extremo; el módulo es la raíz de la suma de los cuadrados de las componentes.
   2. \(\overrightarrow{PQ}=(3,-4)\) y \(|\overrightarrow{PQ}|=5\). Las componentes cambian de signo respecto del primer caso, pero el módulo es el mismo: \(\sqrt{9+16}=5\).
   3. \(\overrightarrow{PQ}=(5,12)\) y \(|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{25+144}=13\). Como \(P\) es el origen, las componentes del vector coinciden con las coordenadas de \(Q\).
   4. \(\overrightarrow{PQ}=(6,8)\) y \(|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{36+64}=10\). Comprobación: el vector es el doble de \((3,4)\), así que su módulo es el doble de 5.

2. Solución del ejercicio 2

   1. \(M=\left(\dfrac{2+8}{2},\dfrac{-4+6}{2}\right)=(5,1)\). Hacemos la media de las abscisas y la media de las ordenadas.
   2. \(\dfrac{-3+x}{2}=1\) da \(x=5\) y \(\dfrac{4+y}{2}=2\) da \(y=0\): \(B(5,0)\). Despejamos cada coordenada de \(B\) de la fórmula del punto medio. Comprobación: \(\left(\dfrac{-3+5}{2},\dfrac{4+0}{2}\right)=(1,2)\).
   3. \(A_1=2M-A=(6-2,2+4)=(4,6)\). \(M\) es el punto medio entre \(A\) y su simétrico, por eso \(A_1=2M-A\).
   4. \(G=\left(\dfrac{0+6+3}{3},\dfrac{0+0+9}{3}\right)=(3,3)\). El baricentro es el punto donde se cortan las tres medianas.

3. Solución del ejercicio 3

   1. \(\vec u+\vec v=(-1,3)\) y \(\vec u-\vec v=(5,-5)\). Sumamos y restamos componente a componente.
   2. \(2\vec u-\vec v=(4,-2)-(-3,4)=(7,-6)\). Primero multiplicamos \(\vec u\) por 2 y después restamos \(\vec v\).
   3. \(|\vec u|=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\approx2{,}24\) y \(|\vec v|=\sqrt{9+16}=5\). El módulo es la raíz de la suma de los cuadrados de las componentes.
   4. \(\dfrac{\vec v}{|\vec v|}=\left(-\dfrac{3}{5},\dfrac{4}{5}\right)\), de módulo \(1\). Dividimos cada componente entre el módulo, 5; el vector obtenido tiene la misma dirección y sentido que \(\vec v\).

4. Solución del ejercicio 4

   1. \((x,y)=(1,2)+t(3,-2)\); paramétricas \(x=1+3t\), \(y=2-2t\). El parámetro \(t\) recorre todos los puntos de la recta.
   2. \(\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y-2}{-2}\). Despejamos \(t\) en las dos paramétricas e igualamos.
   3. \(-2(x-1)=3(y-2)\), es decir \(2x+3y-8=0\). Multiplicamos en cruz y pasamos todo a un miembro.
   4. Pendiente \(m=\dfrac{-2}{3}\). Con \(t=1\): \((4,0)\); \(2\cdot4+0-8=0\). Pertenece. La pendiente es el cociente entre las componentes del vector director.

5. Solución del ejercicio 5

   1. Vector \((3,6)\), pendiente \(2\): \(y-3=2(x+1)\), \(y=2x+5\), o \(2x-y+5=0\). Comprobación con \(B\): \(4-9+5=0\).
   2. Pendiente \(\dfrac{0-4}{6-0}=-\dfrac{2}{3}\): \(y=-\dfrac{2}{3}x+4\), o \(2x+3y-12=0\). Comprobación con \(A\): \(0+12-12=0\).
   3. Los dos puntos tienen \(x=2\): recta vertical \(x=2\) (no es función). Su pendiente no existe porque el vector director es \((0,-6)\).
   4. Los dos puntos tienen \(y=1\): recta horizontal \(y=1\). Su pendiente es 0.

6. Solución del ejercicio 6

   1. \(3y=2x+6\), \(y=\dfrac{2}{3}x+2\); pendiente \(\dfrac{2}{3}\). Despejamos \(y\).
   2. Director \(\vec d=(3,2)\) (o \((B,-A)\) con signo adecuado); normal \(\vec n=(2,-3)\) (los coeficientes de \(x\) e \(y\)). Un vector director debe cumplir \(2\cdot3-3\cdot2=0\).
   3. Eje \(Y\): \((0,2)\). Eje \(X\): \(2x+6=0\), \(x=-3\): punto \((-3,0)\). Hacemos \(x=0\) y luego \(y=0\).
   4. Con \((0,2)\) y \((3,2)\) de director: \(x=3t\), \(y=2+2t\).

7. Solución del ejercicio 7

   1. Coeficientes: \(\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\ne\dfrac{-3}{-8}\). Paralelas.
   2. \(\dfrac{1}{3}=\dfrac{-2}{-6}=\dfrac{1}{3}\). Coincidentes (son la misma recta).
   3. \(\dfrac{2}{1}\ne\dfrac{1}{-1}\). Secantes: sumando, \(3x-3=0\), \(x=1\), \(y=3\). Punto \((1,3)\).
   4. Secantes: \(x=4-2y\) en la segunda: \(8-4y-y+3=0\), \(y=\dfrac{11}{5}\) y \(x=-\dfrac{2}{5}\). Pendientes \(-\dfrac{1}{2}\) y \(2\): su producto es \(-1\), luego son perpendiculares.

8. Solución del ejercicio 8

   1. \(d=\dfrac{|3+8-5|}{5}=\dfrac{6}{5}=1{,}2\). Sustituimos el punto en la ecuación de la recta y dividimos entre \(\sqrt{9+16}=5\).
   2. \(d=\dfrac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\approx2{,}83\). Sustituimos el origen y dividimos entre \(\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\).
   3. \(d=\dfrac{|10+12+3|}{13}=\dfrac{25}{13}\approx1{,}92\). El denominador es \(\sqrt{25+144}=13\).
   4. \(d=\dfrac{|1+1-2|}{\sqrt2}=0\): el punto está sobre la recta. Si la distancia es cero, el punto cumple la ecuación de la recta.

9. Solución del ejercicio 9

   1. \(\overrightarrow{AB}=(6,8)\), \(d=\sqrt{36+64}=10\) km. Tiempo \(\dfrac{10}{4}=2{,}5\) h. Restamos las coordenadas de \(A\) a las de \(B\) y calculamos el módulo; el tiempo es distancia entre velocidad.
   2. \(M=\left(\dfrac{2+8}{2},\dfrac{3+11}{2}\right)=(5,7)\). Hacemos la media de cada coordenada.
   3. \(AC=\sqrt{81+16}=\sqrt{97}\approx9{,}85\) km y \(BC=\sqrt{9+16}=5\) km. El refugio B está más cerca.
   4. \(P=10+9{,}85+5=24{,}85\) km. Respuesta: unos 24,85 km.

10. Solución del ejercicio 10

    1. \(AB=80\) m. \(AC=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}\approx6{,}7\) dam \(=67{,}1\) m. \(BC=\sqrt{25+36}=\sqrt{61}\approx7{,}8\) dam \(=78{,}1\) m. Usamos la fórmula de la distancia entre dos puntos y multiplicamos por 10 para pasar a metros.
    2. Perímetro \(\approx80+67{,}1+78{,}1=225{,}2\) m. Coste \(\approx225{,}2\cdot12=2702{,}4\) €.
    3. Base \(8\) dam y altura \(6\) dam: \(A=\dfrac{8\cdot6}{2}=24\) dam\(^2=2400\) m\(^2\). La altura es la ordenada de \(C\), porque \(AB\) está sobre el eje \(X\).
    4. Dirección \((3,6)\propto(1,2)\): \(y=2x\), es decir \(2x-y=0\) (el punto \(C\) la cumple: \(6-6=0\)).

11. Solución del ejercicio 11

    1. Pendiente \(\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}\): \(y=\dfrac{4}{3}x\), es decir \(4x-3y=0\). La recta pasa por el origen, así que su ordenada en el origen es cero.
    2. \(4\cdot9-3\cdot12=0\): sí pasa. Sustituimos el punto en la ecuación.
    3. \(d=\dfrac{|40-6|}{5}=\dfrac{34}{5}=6{,}8\) km. Aplicamos la fórmula de la distancia con \(A=4\), \(B=-3\) y \(C=0\); el denominador es 5.
    4. \(d=\sqrt{36+64}=10\) km. Respuesta: el dron está a 10 km del origen.

12. Solución del ejercicio 12

    1. \(d(P)=\dfrac{|15+24-12|}{5}=\dfrac{27}{5}=5{,}4\) km. \(d(Q)=\dfrac{|12+0-12|}{5}=0\): \(Q\) está en la carretera. Aplicamos la fórmula de la distancia con denominador \(\sqrt{9+16}=5\).
    2. La recta perpendicular por \(P\) tiene dirección \((3,4)\): \((5+3s,6+4s)\). Sustituyendo, \(3(5+3s)+4(6+4s)-12=0\), \(27+25s=0\), \(s=-\dfrac{27}{25}\). Pie: \(\left(\dfrac{44}{25},\dfrac{42}{25}\right)=(1{,}76;\ 1{,}68)\). La perpendicular tiene como dirección el vector normal de la carretera.
    3. \(\sqrt{(5-1{,}76)^2+(6-1{,}68)^2}=\sqrt{10{,}4976+18{,}6624}=\sqrt{29{,}16}=5{,}4\) km.
    4. \(\dfrac{5{,}4}{60}=0{,}09\) h, es decir \(5{,}4\) minutos. Respuesta: unos 5,4 minutos.

13. Solución del ejercicio 13

    1. Extremos \((0,8)\) y \((20,12)\). Pendiente \(\dfrac{4}{20}=0{,}2\): \(y=0{,}2x+8\). La pendiente es la diferencia de alturas entre la distancia horizontal.
    2. \(y(10)=2+8=10\) m. Sustituimos \(x=10\).
    3. \(L=\sqrt{20^2+4^2}=\sqrt{416}\approx20{,}4\) m. La longitud es la distancia entre los dos extremos.
    4. \(0{,}2x+8=9{,}5\), \(x=7{,}5\) m. Despejamos \(x\). Respuesta: a 7,5 m del primer poste.

14. Solución del ejercicio 14

    1. A: \(x-2y=0\). B: \(x+y-10=0\).
    2. \(x=2y\) en la segunda: \(3y=10\), \(y=\dfrac{10}{3}\), \(x=\dfrac{20}{3}\). Punto \(\left(\dfrac{20}{3},\dfrac{10}{3}\right)\approx(6{,}67;\ 3{,}33)\).
    3. A: \(\sqrt{\left(\dfrac{20}{3}\right)^2+\left(\dfrac{10}{3}\right)^2}=\dfrac{10\sqrt{5}}{3}\approx7{,}45\) km. B: \(\sqrt{\left(\dfrac{10}{3}\right)^2+\left(\dfrac{10}{3}\right)^2}=\dfrac{10\sqrt{2}}{3}\approx4{,}71\) km.
    4. A tarda \(\dfrac{7{,}45}{15}\approx0{,}50\) h y B tarda \(\dfrac{4{,}71}{10}\approx0{,}47\) h. No llegan a la vez (difieren unos \(2\) min), así que no chocan, pero conviene vigilar el paso.

15. Solución del ejercicio 15

    1. \(M_{BC}=(4,3)\) y \(M_{AC}=(1,3)\).
    2. Mediana desde \(A\): pasa por \((0,0)\) y \((4,3)\): \(3x-4y=0\). Desde \(B\): pasa por \((6,0)\) y \((1,3)\): pendiente \(-\dfrac{3}{5}\), \(3x+5y-18=0\).
    3. \(G=\left(\dfrac{0+6+2}{3},\dfrac{0+0+6}{3}\right)=\left(\dfrac{8}{3},2\right)\).
    4. \(3\cdot\dfrac{8}{3}-4\cdot2=0\) y \(3\cdot\dfrac{8}{3}+5\cdot2-18=0\). Cumple las dos.
    5. Área \(=\dfrac{6\cdot6}{2}=18\). La distancia de \(G\) a \(AB\) (\(y=0\)) es \(2\), un tercio de la altura \(6\).

16. Solución del ejercicio 16

    1. \(D=(1+6-5,\ 1+5-2)=(2,4)\).
    2. \(\overrightarrow{AB}=(4,1)\) y \(\overrightarrow{DC}=(6-2,5-4)=(4,1)\). Dos vectores iguales tienen las mismas componentes: los lados son paralelos e iguales.
    3. Punto medio de \(AC\): \((3{,}5;\ 3)\). Punto medio de \(BD\): \(\left(\dfrac{5+2}{2},\dfrac{2+4}{2}\right)=(3{,}5;\ 3)\). Los dos puntos medios coinciden.
    4. \(AB=\sqrt{17}\), \(AD=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}\): perímetro \(2(\sqrt{17}+\sqrt{10})\approx14{,}57\). Con \(\overrightarrow{AB}=(4,1)\) y \(\overrightarrow{AD}=(1,3)\): área \(=|4\cdot3-1\cdot1|=11\).

17. Solución del ejercicio 17

    1. \(M=(5,3)\) y \(\overrightarrow{AB}=(6,4)\).
    2. \((x-2)^2+(y-1)^2=(x-8)^2+(y-5)^2\) da \(-4x-2y+5=-16x-10y+89\), es decir \(12x+8y-84=0\) o \(3x+2y-21=0\).
    3. \(M\): \(15+6-21=0\). \((7,0)\): \(21+0-21=0\). Los dos están en la mediatriz (que es perpendicular a \(AB\): el vector \((3,2)\) es proporcional a \((6,4)\)).
    4. Desde \((7,0)\): \(d=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}\approx5{,}10\) m a las dos oficinas. Desde \(M\): \(d=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\approx3{,}61\) m.

18. Solución del ejercicio 18

    1. \(y=-\dfrac{2}{3}x+2\): pendiente \(-\dfrac{2}{3}\). Despejamos \(y\) en la ecuación general.
    2. Misma pendiente: \(2x+3y+C=0\) con \(2+3+C=0\), \(C=-5\): \(2x+3y-5=0\). Las rectas paralelas tienen los mismos coeficientes \(A\) y \(B\); hallamos \(C\) con el punto \(P\).
    3. Pendiente \(\dfrac{3}{2}\) (inversa y opuesta): \(3x-2y+C=0\) con \(3-2+C=0\), \(C=-1\): \(3x-2y-1=0\). El producto de las pendientes es \(-1\).
    4. \(d=\dfrac{|-6-(-5)|}{\sqrt{13}}=\dfrac{1}{\sqrt{13}}\approx0{,}28\). Usamos un punto de una recta y la distancia a la otra.

19. Solución del ejercicio 19

    1. \(AB=6\); \(AC=\sqrt{9+16}=5\); \(BC=\sqrt{9+16}=5\). Dos lados iguales: isósceles.
    2. \(P=6+5+5=16\).
    3. \(AB\) es la recta \(y=1\); \(d(C,AB)=4\). Área \(=\dfrac{6\cdot4}{2}=12\).
    4. \(AC\): pendiente \(\dfrac{4}{3}\), \(4x-3y-1=0\). \(d(B,AC)=\dfrac{|28-3-1|}{5}=\dfrac{24}{5}=4{,}8\). Área \(=\dfrac{5\cdot4{,}8}{2}=12\). Coincide.
    5. Sí: en un triángulo isósceles la altura sobre el lado desigual pasa por su punto medio \((4,1)\), que tiene la misma abscisa que \(C\).

20. Solución del ejercicio 20

    1. Paralela: \(\dfrac{k}{3}=\dfrac{2}{4}\), \(k=\dfrac{3}{2}\). Perpendicular: \(3k+8=0\), \(k=-\dfrac{8}{3}\).
    2. Un punto de la primera es \(\left(\dfrac{5}{3},0\right)\). Su distancia a la segunda es \(\dfrac{|5+0+10|}{5}=3\).
    3. La perpendicular a \(y=x\) por \(P\) es \(x+y-4=0\). Corte con \(y=x\): \(x=2\), punto \((2,2)\). Distancia: \(\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}\approx2{,}83\).
    4. Lados: \(4\); \(\sqrt{4+12}=4\); \(\sqrt{4+12}=4\). Los tres lados miden \(4\): es equilátero.