Geometría analítica: la recta (Matemáticas B) – matemáticas 4º ESO: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. \(\overrightarrow{AB}=(6,8)\) y \(|\overrightarrow{AB}|=10\). Restamos coordenadas y calculamos el módulo: \(\sqrt{36+64}=10\).
   2. \(M=(2,6)\). Simétrico de \(A\) respecto de \(B\): \(2B-A=(11,18)\). El simétrico de \(A\) respecto de \(B\) es el punto \(A'\) tal que \(B\) es el punto medio de \(AA'\).

   Criterios de corrección: en a) 1 punto por las componentes \((6,8)\) y 1 punto por el módulo 10. En b) 1 punto por el punto medio \((2,6)\) y 1 punto por el simétrico \((11,18)\); comprobación: el punto medio de \(A(-1,2)\) y \((11,18)\) es \((5,10)\), que es \(B\).

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. \((x,y)=(2,-1)+t(1,3)\); \(x=2+t\), \(y=-1+3t\); \(\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+1}{3}\).
   2. \(3(x-2)=y+1\), es decir \(3x-y-7=0\); explícita \(y=3x-7\). Multiplicamos en cruz en la ecuación continua y despejamos \(y\).

   Criterios de corrección: en a) 0,5 puntos por la ecuación vectorial, 1 por las paramétricas y 0,5 por la continua. En b) 1 punto por la general \(3x-y-7=0\) y 1 punto por la explícita \(y=3x-7\). Comprobación: con \(t=1\) se obtiene \((3,2)\), y \(3\cdot3-2-7=0\).

3. Solución del ejercicio 3 (3 puntos)

   1. \(d=\dfrac{|12+6+2|}{5}=4\). Sustituimos \(P\) en la recta y dividimos entre \(\sqrt{16+9}=5\).
   2. \(\dfrac{8}{4}=\dfrac{-6}{-3}=2\ne\dfrac{9}{2}\): son paralelas. Los coeficientes de \(x\) e \(y\) son proporcionales pero el término independiente no: las rectas no tienen puntos comunes.

   Criterios de corrección: en a) 1 punto por sustituir \(P(3,-2)\) en \(|4x-3y+2|\), que da 20, y 0,5 por dividir entre 5 y obtener 4. En b) 1 punto por comparar los coeficientes \(\dfrac{8}{4}=\dfrac{-6}{-3}=2\) y 0,5 por concluir que son paralelas, porque \(\dfrac{9}{2}\) es distinto de 2.

4. Solución del ejercicio 4 (3 puntos)

   1. Pendiente de la dada \(\dfrac{1}{2}\); la perpendicular tiene pendiente \(-2\): \(y-1=-2(x-3)\), es decir \(2x+y-7=0\).
   2. De \(x=2y-4\): \(4y-8+y-7=0\), \(y=3\), \(x=2\). Punto \((2,3)\). Comprobación: \(2-6+4=0\) y \(4+3-7=0\).

   Criterios de corrección: en a) 0,5 puntos por la pendiente \(\dfrac{1}{2}\) de la recta dada, 0,5 por la pendiente perpendicular \(-2\) y 0,5 por la ecuación. En b) 1 punto por resolver el sistema y 0,5 por el punto \((2,3)\), que es el pie de la perpendicular trazada desde \((3,1)\).

5. Solución del ejercicio 5 (6 puntos)

   1. \(AB=6\) hm, \(AC=BC=5\) hm. Perímetro \(16\) hm \(=1600\) m.
   2. \(\overrightarrow{AC}=(3,4)\): \(4(x-1)=3(y-1)\), es decir \(4x-3y-1=0\).
   3. \(d(B,AC)=\dfrac{|28-3-1|}{5}=4{,}8\) hm. Área \(=\dfrac{5\cdot4{,}8}{2}=12\) hm\(^2=120\,000\) m\(^2\).

   Criterios de corrección: los lados valen 2 puntos y se comprueba que el triángulo es isósceles, con \(AC=BC=5\) hm. La recta \(AC\) vale 2 puntos y la distancia con el área otros 2. Como comprobación, el área también se obtiene con la base \(AB=6\) y la altura 4: \(\dfrac{6\cdot4}{2}=12\) hm\(^2\).

Total : 20 puntos