Funciones lineales, cuadráticas y de proporcionalidad inversa – matemáticas 4º ESO: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. \(y=-2x+5\). La ordenada en el origen es el término independiente.
   2. \(m=\dfrac{9-3}{4-1}=2\). Con \((1,3)\): \(3=2+n\), \(n=1\). \(y=2x+1\). La pendiente es el cociente entre la variación de \(y\) y la de \(x\). Comprobación con \((4,9)\): \(8+1=9\).
   3. \(m=\dfrac{-3-1}{2-(-2)}=-1\). Con \((2,-3)\): \(-3=-2+n\), \(n=-1\). \(y=-x-1\). Comprobación con \((-2,1)\): \(2-1=1\).
   4. Misma pendiente \(3\): \(4=6+n\), \(n=-2\). \(y=3x-2\). Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente. Comprobación: \(6-2=4\).

2. Solución del ejercicio 2

   1. Verdadera: \(4x-8=0\) da \(x=2\). Un punto del eje \(X\) tiene ordenada cero.
   2. Verdadera: tienen la misma pendiente \(2\) y distinta ordenada. Dos rectas con la misma pendiente nunca se cortan.
   3. Verdadera: \(x+3=-x+7\) da \(x=2\) e \(y=5\). Comprobación: \(2+3=5\) y \(-2+7=5\).
   4. Verdadera: \(2y=-3x+6\), \(y=-\dfrac{3}{2}x+3\). Despejamos \(y\) para leer la pendiente y la ordenada en el origen.

3. Solución del ejercicio 3

   1. Vértice en \(x=\dfrac{4}{2}=2\): \(y=4-8+3=-1\), vértice \((2,-1)\) (mínimo). Eje \(x=2\). Cortes: \((0,3)\) y \(x^2-4x+3=0\) da \((1,0)\) y \((3,0)\).
   2. \(x=\dfrac{-2}{-2}=1\): \(y=-1+2+3=4\), vértice \((1,4)\) (máximo). Eje \(x=1\). Cortes: \((0,3)\); \(x^2-2x-3=0\) da \((-1,0)\) y \((3,0)\).
   3. \(x=0\): vértice \((0,-8)\). Eje \(x=0\). Cortes: \((0,-8)\) y \(x^2=4\) da \((-2,0)\) y \((2,0)\).
   4. \(x=-1\): \(y=1-2+2=1\), vértice \((-1,1)\). Eje \(x=-1\). \(\Delta=4-8<0\): no corta al eje \(X\); corte con \(Y\) en \((0,2)\).

4. Solución del ejercicio 4

   1. Vértice en \(x=\dfrac{2}{2}=1\), \(y=1-2-3=-4\): \((1,-4)\). Eje \(x=1\). Usamos \(x_v=-\dfrac{b}{2a}\) y sustituimos para hallar \(y_v\).
   2. \(x=-2\): \(5\); \(x=-1\): \(0\); \(x=0\): \(-3\); \(x=1\): \(-4\); \(x=2\): \(-3\); \(x=3\): \(0\); \(x=4\): \(5\). Los valores son simétricos respecto de \(x=1\).
   3. Eje \(Y\): \((0,-3)\). Eje \(X\): \(x^2-2x-3=(x-3)(x+1)=0\): \((-1,0)\) y \((3,0)\).
   4. Recorrido \([-4,+\infty)\). Decrece en \((-\infty,1)\) y crece en \((1,+\infty)\). Como \(a=1>0\), las ramas van hacia arriba y el vértice es un mínimo.

5. Solución del ejercicio 5

   1. \(y=12,\ 6,\ 4,\ 3,\ 2,\ 1\). Dividimos 12 entre cada valor de \(x\).
   2. Se reduce a la mitad: \(12/(2x)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{12}{x}\). Es la característica de la proporcionalidad inversa.
   3. \(\dfrac{12}{x}=2{,}5\), \(x=\dfrac{12}{2{,}5}=4{,}8\). Despejamos \(x\) multiplicando en cruz.
   4. Asíntotas: \(x=0\) (vertical) e \(y=0\) (horizontal). Dominio \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\). La función no está definida en \(x=0\).

6. Solución del ejercicio 6

   1. Las diferencias son constantes (\(+3\)): lineal, \(y=3x+2\). Comprobación: \(3\cdot1+2=5\).
   2. El producto \(xy=12\) es constante: proporcionalidad inversa, \(y=\dfrac{12}{x}\).
   3. Las diferencias son \(1,3,5\) (segundas diferencias constantes \(2\)): cuadrática, \(y=x^2+1\). Comprobación: \(2^2+1=5\).
   4. El producto \(xy=16\) es constante: proporcionalidad inversa, \(y=\dfrac{16}{x}\).

7. Solución del ejercicio 7

   1. \(x^2-x-2=0\), \((x-2)(x+1)=0\): \(x=2\) o \(x=-1\). Igualamos las dos expresiones de \(y\) y pasamos todo a un miembro.
   2. Puntos \((2,4)\) y \((-1,1)\). Sustituimos cada \(x\) en \(y=x^2\).
   3. \(x^2-2x+1=(x-1)^2=0\): una sola solución \(x=1\); punto \((1,1)\). La recta es tangente a la parábola.
   4. \(x^2-2x+5=0\), \(\Delta=4-20<0\): ninguno; la recta no corta a la parábola. El discriminante negativo indica que no hay puntos comunes.

8. Solución del ejercicio 8

   1. \(C(x)=8+1{,}25x\).
   2. \(C(0)=8\); \(C(10)=20{,}50\); \(C(25)=39{,}25\) €. Sustituimos cada valor en la función.
   3. \(8+1{,}25x=46\), \(x=30{,}4\) \(m^3\). Restamos 8 y dividimos entre 1,25.
   4. La pendiente \(1{,}25\) es el precio por \(m^3\); la ordenada \(8\) es la cuota fija. No es de proporcionalidad directa porque no pasa por el origen.

9. Solución del ejercicio 9

   1. \(I(x)=30+12x\) y \(P(x)=20x\).
   2. Semana \(0\): \(30\) y \(0\); \(2\): \(54\) y \(40\); \(4\): \(78\) y \(80\); \(6\): \(102\) y \(120\); \(8\): \(126\) y \(160\).
   3. \(30+12x=20x\), \(8x=30\), \(x=3{,}75\) semanas, con \(75\) €. En semanas completas, Pablo supera a Irene a partir de la semana \(4\).
   4. Semana \(12\): Irene \(174\) € y Pablo \(240\) €. Pablo tiene \(66\) € más.

10. Solución del ejercicio 10

    1. \(y(0)=20\) m y \(y(10)=20-5=15\) m. Sustituimos \(x=0\) y \(x=10\).
    2. \(20-0{,}05x^2=0\), \(x^2=400\), \(x=\pm20\): anchura \(40\) m. La anchura es la distancia entre los dos puntos de corte.
    3. \(10=20-0{,}05x^2\), \(x^2=200\), \(x=\pm\sqrt{200}\approx\pm14{,}14\): anchura \(\approx28{,}3\) m.
    4. \(12=20-0{,}05x^2\), \(x^2=160\), \(x\approx\pm12{,}65\): anchura libre \(\approx25{,}3\) m.

11. Solución del ejercicio 11

    1. \(A(x)=30x-2x^2\) con \(0\lt x<15\). El área es el producto de los dos lados.
    2. Vértice en \(x=\dfrac{-30}{-4}=7{,}5\) m, \(A=7{,}5\cdot15=112{,}5\) m\(^2\): es el área máxima. Como \(a<0\), el vértice es un máximo.
    3. \(A(3)=72\); \(A(5)=100\); \(A(7{,}5)=112{,}5\); \(A(10)=100\); \(A(12)=72\) m\(^2\). Los valores son simétricos respecto de \(x=7{,}5\).
    4. Lados perpendiculares \(7{,}5\) m y lado paralelo \(15\) m: huerto de \(7{,}5\times15\). Respuesta: 7,5 m por 15 m, con 112,5 m\(^2\).

12. Solución del ejercicio 12

    1. \(P(x)=\dfrac{600}{x}\).
    2. \(60;\ 50;\ 40;\ 30;\ 24;\ 20\) €. Dividimos 600 entre cada número de personas.
    3. \(\dfrac{600}{x}\le22\) da \(x\ge27{,}3\): hacen falta al menos \(28\) personas. Como las personas son enteras, redondeamos hacia arriba.
    4. Cuantas más personas, menos paga cada una, pero el coste total no cambia. Con \(24\): \(\dfrac{600}{24}=25\) €.

13. Solución del ejercicio 13

    1. \(v=60\): \(4\) h; \(v=80\): \(3\) h; \(v=100\): \(2{,}4\) h; \(v=120\): \(2\) h. Dividimos 240 entre cada velocidad.
    2. Sí: \(v\cdot t=240\) es constante.
    3. Con \(120\) km/h: \(2\) h. A mayor velocidad, menor tiempo.
    4. \(\dfrac{240}{v}<2{,}5\) da \(v>96\) km/h. Despejamos \(v\) multiplicando por \(v\) y dividiendo entre 2,5.

14. Solución del ejercicio 14

    1. \(h(0)=1\) m. Vértice en \(t=\dfrac{-20}{-10}=2\) s, \(h(2)=-20+40+1=21\) m.
    2. Alcanza el máximo a los \(2\) s: \(21\) m.
    3. \(-5t^2+20t+1=0\), \(t=\dfrac{-20\pm\sqrt{400+20}}{-10}\); la raíz positiva es \(t\approx4{,}05\) s. Respuesta: vuelve al suelo a los 4,05 s aproximadamente.
    4. \(-5t^2+20t+1>16\) da \(t^2-4t+3<0\), \((t-1)(t-3)<0\): entre \(1\) y \(3\) s. Respuesta: está a más de 16 m entre el primer y el tercer segundo.

15. Solución del ejercicio 15

    1. \(y(0)=0{,}5\) m. Vértice en \(x=\dfrac{-2}{-1}=2\) m, \(y(2)=-2+4+0{,}5=2{,}5\) m.
    2. A \(2\) m del punto de salida.
    3. \(-0{,}5x^2+2x+0{,}5=0\), \(x^2-4x-1=0\), \(x=2+\sqrt{5}\approx4{,}24\) m.
    4. \(y(0)=0{,}5\); \(y(1)=2\); \(y(2)=2{,}5\); \(y(3)=2\); \(y(4)=0{,}5\). A \(3\) m el chorro está a \(2\) m de altura, que es menos que \(2{,}5\) m: el chorro no pasa por encima del bordillo, choca con él.

16. Solución del ejercicio 16

    1. \(I(p)=100p-4p^2\) con \(0\le p\le25\). El precio no puede hacer negativas las ventas: \(100-4p\ge0\).
    2. \(I(5)=100\cdot5-100=400\); \(I(10)=1000-400=600\); \(I(20)=2000-1600=400\) €.
    3. Vértice en \(p=\dfrac{100}{8}=12{,}5\) €: \(I=12{,}5\cdot50=625\) €. Como \(a=-4<0\), el vértice es un máximo.
    4. \(100p-4p^2\ge400\) da \(p^2-25p+100\le0\), \((p-5)(p-20)\le0\): entre \(5\) € y \(20\) €.
    5. \(B(p)=-4p^2+112p-300\), vértice en \(p=\dfrac{112}{8}=14\) €, con \(B(14)=11\cdot44=484\) €. Respuesta: el beneficio máximo, 484 €, se obtiene con un precio de 14 €.

17. Solución del ejercicio 17

    1. El trabajo total es \(12\cdot30=360\) obreros-día, luego \(d(n)=\dfrac{360}{n}\).
    2. \(60;\ 36;\ 30;\ 24;\ 18;\ 12\) días. Dividimos 360 entre cada número de obreros.
    3. \(\dfrac{360}{n}=18\) da \(n=20\) obreros.
    4. Con \(10\) obreros: \(\dfrac{360}{10}=36\) días, es decir \(6\) días más.
    5. \(\dfrac{360}{n}=20\) da \(n=18\) obreros: hacen falta \(6\) más. Respuesta: 6 obreros más.

18. Solución del ejercicio 18

    1. \(E(x)=2^x\) y \(L(x)=x+1\).
    2. \(E\): \(1,2,4,8,16,32\). \(L\): \(1,2,3,4,5,6\).
    3. Coinciden en \(x=0\) y \(x=1\); desde \(x=2\) (\(4>3\)) la exponencial es mayor y la diferencia crece.
    4. \(2^{10}=1024>1000\) y \(2^9=512<1000\): en \(10\) horas.
    5. Porque en la lineal se suma siempre lo mismo y en la exponencial se multiplica: cada hora el incremento de \(E\) duplica al de la hora anterior.

19. Solución del ejercicio 19

    1. \(-0{,}4x(x-6)=0\): \(x=0\) y \(x=6\). El salto mide \(6\) m. Sacamos factor común e igualamos cada factor a cero.
    2. Vértice en \(x=\dfrac{-2{,}4}{-0{,}8}=3\) m, \(y(3)=-3{,}6+7{,}2=3{,}6\) m.
    3. \(y(1)=2\) m e \(y(4)=-6{,}4+9{,}6=3{,}2\) m.
    4. \(-0{,}4x^2+2{,}4x>2\) da \(x^2-6x+5<0\), \((x-1)(x-5)<0\): entre \(1\) y \(5\) m.
    5. \(y(2)=-1{,}6+4{,}8=3{,}2\) m, que es más de \(2\) m: el delfín pasa por encima del aro. Respuesta: pasa por encima del aro.

20. Solución del ejercicio 20

    1. \(c=3\); \(a+b+3=0\) y \(9a+3b+3=0\). De la primera \(b=-a-3\); en la segunda \(9a-3a-9+3=0\), \(a=1\) y \(b=-4\). La parábola es \(y=x^2-4x+3\). Comprobación: \(9-12+3=0\).
    2. \(x(x-1)=6\), \(x^2-x-6=0\), \((x-3)(x+2)=0\). Puntos \((3,2)\) y \((-2,-3)\). Sustituimos \(y=x-1\) en \(xy=6\).
    3. \(x^2=2x+k\), \(x^2-2x-k=0\) tiene solución doble si \(\Delta=4+4k=0\): \(k=-1\) (la tangente es \(y=2x-1\)). Una recta tangente toca la parábola en un solo punto.
    4. \(k=3\cdot4=12\). Para \(x=-6\): \(y=\dfrac{12}{-6}=-2\). Multiplicamos las coordenadas para obtener \(k\).