Funciones elementales – matemáticas 1º Bachillerato CCSS: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. Es un polinomio: no hay restricciones. \(\text{Dom}\,f=\mathbb{R}\).
   2. El denominador no puede ser cero: \(x^2-9=0\) implica \(x=\pm3\). \(\text{Dom}\,g=\mathbb{R}\setminus\{-3,3\}\).
   3. El radicando debe ser no negativo: \(4x-8\ge0\) implica \(x\ge2\). \(\text{Dom}\,h=[2,+\infty)\).
   4. El argumento del logaritmo debe ser positivo: \(5-x\gt 0\) implica \(x\lt 5\). \(\text{Dom}\,k=(-\infty,5)\).

2. Solución del ejercicio 2

   1. La pendiente es el cociente entre la variación de \(y\) y la de \(x\): \(m=\dfrac{11-3}{5-1}=\dfrac{8}{4}=2\).
   2. Usamos la ecuación punto-pendiente con \(A(1,3)\): \(y-3=2(x-1)\), luego \(y=2x+1\). Comprobación con \(B\): \(2\cdot5+1=11\).
   3. Corte con el eje \(Y\): \(x=0\) da \(y=1\), punto \((0,1)\). Corte con el eje \(X\): \(2x+1=0\) da \(x=-\tfrac12\), punto \((-\tfrac12,0)\).
   4. Como la pendiente \(m=2\) es positiva, la función es creciente: por cada unidad que avanza \(x\), \(y\) aumenta 2. Además, \(f(10)=2\cdot10+1=21\).

3. Solución del ejercicio 3

   1. \(-x+7=2x-2\) implica \(9=3x\), luego \(x=3\) e \(y=-3+7=4\). Punto \((3,4)\).
   2. En \(r\): \(-3+7=4\) ✓. En \(s\): \(2\cdot3-2=4\) ✓.
   3. Pendientes \(-1\) y \(2\). Son distintas: no son paralelas (se cortan en un punto).
   4. La paralela tiene pendiente \(-1\) y corta en \(n=3\): \(y=-x+3\).

4. Solución del ejercicio 4

   1. \(x_v=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{4}{2}=2\) y \(y_v=f(2)=4-8+3=-1\). Vértice \((2,-1)\).
   2. Eje \(Y\): \(f(0)=3\), punto \((0,3)\). Eje \(X\): \(x^2-4x+3=0\) da \(x=1\) y \(x=3\), puntos \((1,0)\) y \((3,0)\).
   3. Eje de simetría: la recta \(x=2\). Como \(a=1\gt 0\), la parábola se abre hacia arriba y el vértice es un mínimo.
   4. \(f(-1)=8\); \(f(0)=3\); \(f(1)=0\); \(f(2)=-1\); \(f(3)=0\); \(f(4)=3\); \(f(5)=8\). Los valores se repiten simétricamente respecto de \(x=2\).

5. Solución del ejercicio 5

   1. \(f\): \(\tfrac14,\ \tfrac12,\ 1,\ 2,\ 4,\ 8\). \(g\): \(4,\ 2,\ 1,\ \tfrac12,\ \tfrac14,\ \tfrac18\).
   2. \(f\) crece porque la base \(2\gt 1\); \(g\) decrece porque la base \(\tfrac12\lt 1\).
   3. Ambas tienen la asíntota horizontal \(y=0\) (se acercan al eje \(X\) sin tocarlo) y pasan por \((0,1)\).
   4. \(2^x=32=2^5\) implica \(x=5\). \(2^x=\tfrac18=2^{-3}\) implica \(x=-3\).

6. Solución del ejercicio 6

   1. Un logaritmo es el exponente al que hay que elevar la base. \(\log_216=4\) porque \(2^4=16\); \(\log_3\tfrac19=-2\) porque \(3^{-2}=\tfrac19\); \(\log_51=0\) porque \(5^0=1\).
   2. La suma de logaritmos es el logaritmo del producto: \(\log2+\log50=\log(2\cdot50)=\log100=2\).
   3. Como \(\ln e^a=a\), resulta \(\ln e^3=3\) y \(\ln e=1\), luego \(\ln e^3-\ln e=3-1=2\).
   4. Por la definición de logaritmo, \(x+2=3^2=9\), así que \(x=7\). Para \(2^x=7\) tomamos logaritmos neperianos: \(x\ln2=\ln7\), luego \(x=\dfrac{\ln7}{\ln2}=\dfrac{1{,}9459}{0{,}6931}=2{,}807\). Comprobación: \(2^{2{,}807}\approx7\).

7. Solución del ejercicio 7

   1. \(A(x)=8+0{,}9x\) y \(B(x)=20+0{,}6x\) (rectas afines con ordenada en el origen 8 y 20).
   2. Con 20 m³: \(A=26\) € y \(B=32\) €. Con 50 m³: \(A=53\) € y \(B=50\) €.
   3. \(8+0{,}9x=20+0{,}6x\) implica \(0{,}3x=12\), luego \(x=40\) m³ (coste 44 € en las dos).
   4. Con 60 m³: \(A=62\) € y \(B=56\) €. Conviene B (desde 40 m³ la compañía B es más barata).

8. Solución del ejercicio 8

   1. \(I(p)=200p-20p^2\) (una parábola que se abre hacia abajo).
   2. \(I(2)=2\cdot160=320\) €. \(I(8)=8\cdot40=320\) €. Dan lo mismo por simetría respecto del vértice.
   3. Vértice: \(p=-\dfrac{200}{2\cdot(-20)}=5\) €. \(I(5)=5\cdot100=500\) €. Ingreso máximo de 500 € con 100 cuadernos vendidos.
   4. \(I(p)=0\) implica \(p=0\) o \(p=10\). A 10 € no se vende ningún cuaderno.

9. Solución del ejercicio 9

   1. \(V(1)=17\,000\) €. \(V(3)=20\,000\cdot0{,}614125=12282{,}50\) €. \(V(5)=20\,000\cdot0{,}443705=8874{,}11\) €.
   2. Pérdida: \(20\,000-8874{,}11=11125{,}89\) €, es decir, el \(55{,}6\,\%\) del valor inicial.
   3. \(0{,}85^t=0{,}5\) implica \(t=\dfrac{\ln0{,}5}{\ln0{,}85}=\dfrac{-0{,}6931}{-0{,}1625}=4{,}27\) años.
   4. Como la base \(0{,}85\lt 1\), \(V(t)\) decrece y se aproxima a 0 sin llegar nunca: el coche siempre vale algo (matemáticamente) aunque cada vez menos.

10. Solución del ejercicio 10

    1. Sustituimos en la fórmula: \(N(0)=500\cdot3^0=500\); \(N(2)=500\cdot3^1=1\,500\); \(N(6)=500\cdot3^3=13\,500\) bacterias.
    2. \(N(5)=500\cdot3^{2{,}5}=500\cdot15{,}588=7794\). A las 5 horas habrá unas 7 794 bacterias.
    3. Planteamos \(500\cdot3^{t/2}=40\,500\). Dividiendo entre 500: \(3^{t/2}=81=3^4\). Igualando exponentes, \(t/2=4\) y \(t=8\) horas.
    4. Duplicarse significa \(3^{t/2}=2\). Tomando logaritmos, \(\dfrac t2=\dfrac{\ln2}{\ln3}=0{,}631\), así que \(t=1{,}262\) horas, es decir, aproximadamente 1 h 16 min. El tiempo de duplicación no depende de la cantidad inicial.

11. Solución del ejercicio 11

    1. \(D(2)=120-30=90\) kg y \(O(2)=20+20=40\) kg: la demanda supera a la oferta (faltan aguacates).
    2. \(120-15p=10p+20\) implica \(100=25p\), luego \(p=4\) €/kg.
    3. \(D(4)=120-60=60\) kg y \(O(4)=40+20=60\) kg. Se intercambian 60 kg al día.
    4. \(D(6)=30\) kg y \(O(6)=80\) kg: la oferta supera la demanda en 50 kg (exceso de oferta), y habrá presión a la baja del precio.

12. Solución del ejercicio 12

    1. Sustituimos en \(F=1{,}8C+32\): \(F(0)=32\) °F; \(F(25)=45+32=77\) °F; \(F(100)=180+32=212\) °F, la temperatura de ebullición del agua.
    2. Para hallar la inversa despejamos \(C\): restamos 32 y dividimos entre 1,8, de modo que \(C=\dfrac{F-32}{1{,}8}\).
    3. \(C(50)=\dfrac{50-32}{1{,}8}=\dfrac{18}{1{,}8}=10\) °C y \(C(104)=\dfrac{104-32}{1{,}8}=\dfrac{72}{1{,}8}=40\) °C.
    4. Buscamos \(C=F\): \(C=1{,}8C+32\), luego \(-0{,}8C=32\) y \(C=-40\). A \(-40\) grados las dos escalas marcan lo mismo; gráficamente, la recta corta a la bisectriz \(y=x\) en ese punto.

13. Solución del ejercicio 13

    1. \(C(1)=2-16+60=46\) €; \(C(3)=18-48+60=30\) €; \(C(6)=72-96+60=36\) €.
    2. Vértice: \(x=\dfrac{16}{4}=4\) cientos, es decir, 400 barras. \(C(4)=32-64+60=28\) €.
    3. Sí: aunque se produjera poco, hay costes fijos (alquiler, luz, personal). El término independiente 60 son los costes fijos.
    4. \(2x^2-16x+60=60\) implica \(2x(x-8)=0\), luego \(x=0\) o \(x=8\) (800 barras).

14. Solución del ejercicio 14

    1. Calculamos el cociente de intensidades: \(\dfrac{10^{-6}}{10^{-12}}=10^6\). Entonces \(L=10\log10^6=10\cdot6=60\) dB, el nivel típico de una conversación.
    2. \(\dfrac{10^{-1}}{10^{-12}}=10^{11}\), luego \(L=10\log10^{11}=110\) dB, un nivel que puede dañar el oído.
    3. Con intensidad \(10I\): \(L'=10\log\dfrac{10I}{I_0}=10\left(\log10+\log\dfrac I{I_0}\right)=10+L\). Al multiplicar la intensidad por 10, el nivel sube 10 dB.
    4. Despejamos: \(85=10\log\dfrac I{I_0}\) implica \(\log\dfrac I{I_0}=8{,}5\), es decir, \(\dfrac I{I_0}=10^{8{,}5}\). Así \(I=10^{8{,}5}\cdot10^{-12}=10^{-3{,}5}\approx3{,}16\cdot10^{-4}\) W/m².

15. Solución del ejercicio 15

    1. \(C_1(x)=40+0{,}2x\); \(C_2(x)=25+0{,}3x\); \(C_3(x)=60\) si \(x\le150\) y \(C_3(x)=60+0{,}4(x-150)\) si \(x\gt 150\).
    2. Costes (oferta 1 / 2 / 3): 50 km: 50 / 40 / 60; 100 km: 60 / 55 / 60; 150 km: 70 / 70 / 60; 200 km: 80 / 85 / 80; 300 km: 100 / 115 / 120.
    3. \(40+0{,}2x=25+0{,}3x\) implica \(15=0{,}1x\), luego \(x=150\) km (coste 70 €).
    4. Con 120 km: 64 / 61 / 60. La más barata es la 3 (60 €). Con 300 km: 100 / 115 / 120. La más barata es la 1 (100 €).
    5. Con 220 km: oferta 1 \(=84\) €; oferta 2 \(=91\) €; oferta 3 \(=60+0{,}4\cdot70=88\) €. Elegiría la 1 (84 €) y se ahorra 7 € respecto de la 2.

16. Solución del ejercicio 16

    1. Perímetro \(2x+2y=60\) da \(y=30-x\). \(S(x)=x(30-x)=30x-x^2\).
    2. \(S(5)=125\); \(S(10)=200\); \(S(15)=225\); \(S(20)=200\); \(S(25)=125\) m\(^2\).
    3. \(x_v=-\dfrac{30}{2\cdot(-1)}=15\) y \(S(15)=225\) m\(^2\). Dimensiones: \(15\times15\) m.
    4. Dominio: \(0\lt x\lt 30\). \(30x-x^2=200\) implica \(x^2-30x+200=0\), con \(x=10\) o \(x=20\) (el mismo huerto girado).
    5. Para \(x=15\), el otro lado es \(30-15=15\): los dos lados coinciden, es decir, es un cuadrado. Entre todos los rectángulos de igual perímetro, el cuadrado tiene el mayor área.

17. Solución del ejercicio 17

    1. Cada 6 horas la cantidad se reduce a la mitad: \(Q(6)=200\) mg; \(Q(12)=100\) mg; \(Q(24)=400\cdot0{,}5^4=25\) mg.
    2. \(Q(9)=400\cdot0{,}5^{9/6}=400\cdot0{,}5^{1{,}5}=400\cdot0{,}35355=141{,}4\) mg.
    3. \(400\cdot0{,}5^{t/6}=25\) implica \(0{,}5^{t/6}=\dfrac{1}{16}=0{,}5^4\). Igualando exponentes, \(\dfrac t6=4\) y \(t=24\) horas.
    4. \(400\cdot0{,}5^{t/6}=50\) implica \(0{,}5^{t/6}=\dfrac18=0{,}5^3\), luego \(t=18\) horas. Como a partir de ese momento la cantidad es menor que la dosis efectiva, debe tomar la siguiente dosis como máximo a las 18 horas.

18. Solución del ejercicio 18

    1. \(C(5)=8000\cdot1{,}035^5=9501{,}49\) € y \(C(10)=8000\cdot1{,}035^{10}=11284{,}79\) €.
    2. Planteamos \(8000\cdot1{,}035^t=12\,000\), es decir, \(1{,}035^t=1{,}5\). Tomando logaritmos, \(t=\dfrac{\ln1{,}5}{\ln1{,}035}=\dfrac{0{,}4055}{0{,}0344}=11{,}79\) años; se alcanza durante el año 12.
    3. \(1{,}035^t=2\) implica \(t=\dfrac{\ln2}{\ln1{,}035}=20{,}15\) años.
    4. Con interés simple, duplicar exige \(8000\cdot0{,}035\cdot t=8000\), es decir, \(0{,}035t=1\) y \(t=28{,}57\) años. El interés compuesto duplica el capital unos 8,4 años antes.

19. Solución del ejercicio 19

    1. \(B(p)=400p-20p^2-600\).
    2. \(B(5)=2000-500-600=900\); \(B(10)=4000-2000-600=1400\); \(B(12)=4800-2880-600=1320\); \(B(15)=6000-4500-600=900\); \(B(20)=8000-8000-600=-600\) €.
    3. Vértice: \(p=\dfrac{400}{40}=10\) €. \(B(10)=1400\) €.
    4. \(-20p^2+400p-600\ge0\) implica \(p^2-20p+30\le0\), con raíces \(p=10\pm\sqrt{70}=1{,}63\) y \(18{,}37\). No hay pérdidas para \(1{,}63\le p\le18{,}37\).
    5. Con \(p=10\): \(400-200=200\) personas. No se llenan las 250 plazas, pero el beneficio es el mayor posible.

20. Solución del ejercicio 20

    1. En \(x=0\) la potencia vale 1, así que \(f(0)=a=3\). Luego \(f(2)=3b^2=12\), de donde \(b^2=4\) y, como \(b\gt 0\), \(b=2\). La función es \(f(x)=3\cdot2^x\).
    2. \(f(3)=3\cdot2^3=24\) y \(f(-1)=3\cdot2^{-1}=1{,}5\).
    3. Despejamos \(x\) en \(y=3\cdot2^x\): \(2^x=\dfrac y3\), luego \(x=\log_2\dfrac y3\). Intercambiando los nombres de las variables, \(f^{-1}(x)=\log_2\dfrac{x}{3}\), definida para \(x\gt 0\).
    4. \(f^{-1}(48)=\log_2 16=4\). Comprobación: \(f(4)=3\cdot16=48\), así que \(f(f^{-1}(48))=48\), como debe ocurrir con una función y su inversa.