Derivadas – matemáticas 1º Bachillerato Ciencias: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. Entre 0 y 1 h: \(\dfrac{18-0}{1-0}=18\). Entre 1 y 3 h: \(\dfrac{66-18}{3-1}=\dfrac{48}{2}=24\).
   2. Son velocidades medias: 18 km/h en la primera hora y 24 km/h entre la 1 h y las 3 h. La tasa de variación media mide cuántos kilómetros se recorren, por término medio, en cada hora.
   3. Ha ido más deprisa en el segundo tramo (24 km/h frente a 18 km/h). No podemos conocer la velocidad exacta a las 2 h: haría falta la derivada, es decir, el límite de las velocidades medias en intervalos cada vez más pequeños.

2. Solución del ejercicio 2

   1. \(f(1)=3-1=2\). Desarrollamos el cuadrado: \(f(1+h)=3(1+h)^2-(1+h)=3+6h+3h^2-1-h=2+5h+3h^2\). Restando, \(f(1+h)-f(1)=5h+3h^2\).
   2. Dividimos entre \(h\), sacando factor común: \(\dfrac{5h+3h^2}{h}=\dfrac{h(5+3h)}{h}=5+3h\), válido para \(h\neq0\). Así desaparece la indeterminación \(\frac00\).
   3. Cuando \(h\to0\), el término \(3h\) se anula: \(\lim_{h\to0}(5+3h)=5\). Por tanto, \(f'(1)=5\): la pendiente de la tangente en \(x=1\) es 5.
   4. Con las reglas, \(f'(x)=6x-1\) y \(f'(1)=6-1=5\). Coincide con el resultado obtenido por la definición.

3. Solución del ejercicio 3

   1. Derivamos término a término con \((x^n)'=nx^{n-1}\): \(f'(x)=15x^2-8x+7\). La constante \(-2\) tiene derivada nula.
   2. Escribimos las potencias: \(g(x)=x^{1/2}+3x^{-1}\). Entonces \(g'(x)=\dfrac12x^{-1/2}-3x^{-2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{3}{x^2}\), definida para \(x\gt 0\).
   3. La exponencial \(e^x\) es su propia derivada y \((\ln x)'=\dfrac1x\): \(h'(x)=e^x-\dfrac{4}{x}\).
   4. Usamos \((\operatorname{sen}x)'=\cos x\) y \((\cos x)'=-\operatorname{sen}x\), y las constantes multiplicativas se mantienen: \(k'(x)=2\cos x-\operatorname{sen}x\).

4. Solución del ejercicio 4

   1. Regla del producto con \(u=x^2+1\) y \(v=x-3\): \(f'=2x(x-3)+(x^2+1)\cdot1=2x^2-6x+x^2+1=3x^2-6x+1\). Se comprueba desarrollando antes: \(f=x^3-3x^2+x-3\).
   2. Regla del cociente: \(g'=\dfrac{1\cdot(x-1)-(x+1)\cdot1}{(x-1)^2}=\dfrac{x-1-x-1}{(x-1)^2}=\dfrac{-2}{(x-1)^2}\). Es siempre negativa: \(g\) decrece en cada intervalo de su dominio.
   3. Regla del producto: \(h'=1\cdot e^x+x\,e^x=e^x(1+x)\), sacando factor común \(e^x\).
   4. Regla del cociente con \(u=\ln x\) y \(v=x\): \(k'=\dfrac{\frac1x\cdot x-\ln x\cdot1}{x^2}=\dfrac{1-\ln x}{x^2}\), que se anula en \(x=e\).

5. Solución del ejercicio 5

   1. La función exterior es \(u^5\) y la interior \(u=3x-2\), con \(u'=3\). Derivamos la exterior en la interior y multiplicamos por la derivada de la interior: \(f'=5(3x-2)^4\cdot3=15(3x-2)^4\).
   2. Exterior \(\ln u\) e interior \(u=x^2+1\), con \(u'=2x\): \(g'=\dfrac{1}{x^2+1}\cdot2x=\dfrac{2x}{x^2+1}\).
   3. Exterior \(\sqrt u\), cuya derivada es \(\dfrac{1}{2\sqrt u}\), e interior \(4x+1\), con derivada 4: \(h'=\dfrac{4}{2\sqrt{4x+1}}=\dfrac{2}{\sqrt{4x+1}}\).
   4. Exterior \(e^u\) e interior \(-x^2\), con derivada \(-2x\): \(k'=e^{-x^2}\cdot(-2x)=-2x\,e^{-x^2}\).

6. Solución del ejercicio 6

   1. \(f(2)=8-6+1=3\), luego el punto es \((2,3)\). Como \(f'(x)=3x^2-3\), la pendiente es \(f'(2)=12-3=9\).
   2. \(y-3=9(x-2)\), es decir, \(y=9x-15\).
   3. La pendiente de la normal es \(-\frac19\): \(y-3=-\frac19(x-2)\), es decir, \(y=-\dfrac{x}{9}+\dfrac{29}{9}\).
   4. Se anula la derivada: \(3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm1\). Los puntos son \((1,-1)\) y \((-1,3)\).

7. Solución del ejercicio 7

   1. \(s(4)=-64+144=80\) km. La velocidad media es la distancia entre el tiempo: \(\dfrac{80-0}{4}=20\) km/h.
   2. La velocidad instantánea es la derivada: \(v(t)=-3t^2+18t\). Entonces \(v(2)=-12+36=24\) km/h y \(v(4)=-48+72=24\) km/h: en esos dos instantes va igual de rápido.
   3. Derivamos la velocidad: \(v'(t)=-6t+18=0\) da \(t=3\). Como \(v''=-6<0\), es un máximo: \(v(3)=-27+54=27\) km/h a las 3 horas.
   4. La aceleración es \(a(t)=v'(t)=-6t+18\). Para \(t=2\), \(a=6>0\): la velocidad aumenta, el ciclista acelera. Para \(t=4\), \(a=-6<0\): la velocidad disminuye, frena. Coincide con que el máximo de velocidad está en \(t=3\).

8. Solución del ejercicio 8

   1. \(C(100)=0{,}02\cdot10\,000+300+500=200+300+500=1\,000\) €. Coste medio: \(1\,000:100=10\) €/kg.
   2. \(C'(x)=0{,}04x+3\), de modo que \(C'(100)=4+3=7\) €/kg.
   3. Mide el coste aproximado de fabricar un kilogramo más cuando ya se producen 100. Exactamente, \(C(101)-C(100)=1\,007{,}02-1\,000=7{,}02\) €. La derivada (7 €) es una buena aproximación.
   4. \(0{,}04x+3=11\Rightarrow0{,}04x=8\Rightarrow x=200\) kg.

9. Solución del ejercicio 9

   1. \(P(0)=1\,000\). \(P(2)=1\,000\,e^{0{,}6}\approx1\,822\) bacterias.
   2. Por la regla de la cadena, \(P'(t)=1\,000\,e^{0{,}3t}\cdot0{,}3=0{,}3\,P(t)\).
   3. \(P'(2)=0{,}3\cdot1\,822{,}1\approx546{,}6\) bacterias por hora.
   4. Cuantas más bacterias hay, más rápido aumenta la población: cada hora crece aproximadamente un 30 % de lo que hay en ese instante. Es el rasgo típico del crecimiento exponencial.

10. Solución del ejercicio 10

    1. \(f(e)=\ln e=1\), así que el punto es \((e,1)\). Como \(f'(x)=\frac1x\), la pendiente de la tangente es \(f'(e)=\frac1e\).
    2. La tangente es \(y-1=\frac1e(x-e)\), es decir, \(y=\frac{x}{e}-1+1=\frac{x}{e}\). Para \(x=0\) se obtiene \(y=0\), luego pasa por el origen.
    3. La normal es perpendicular a la tangente, así que su pendiente es la inversa cambiada de signo: \(-e\). Su ecuación es \(y-1=-e(x-e)\), es decir, \(y=-ex+e^2+1\). Con \(y=0\): \(x=\dfrac{e^2+1}{e}=e+\dfrac1e\approx3{,}09\). Corta al eje \(OX\) en \(\left(e+\frac1e,\,0\right)\).

11. Solución del ejercicio 11

    1. \(f(1)=2\) y \(\lim_{x\to1^-}f=2\). Hace falta \(\lim_{x\to1^+}(ax+b)=a+b=2\).
    2. Por la izquierda \(f'(x)=2x\), luego \(f'(1^-)=2\). Por la derecha \(f'(x)=a\). Debe ser \(a=2\).
    3. De \(a=2\) y \(a+b=2\) resulta \(b=0\). La función es \(f(x)=x^2+1\) si \(x\le1\) y \(f(x)=2x\) si \(x>1\).
    4. Con \(a=3\), \(b=-1\): \(a+b=2\), es continua. Pero \(f'(1^-)=2\ne3=f'(1^+)\), así que tiene un punto anguloso y no es derivable en 1.

12. Solución del ejercicio 12

    1. \(f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)\). Se anula en \(x=1\) y \(x=3\).
    2. Signo de \(f'\): positivo en \((-\infty,1)\), negativo en \((1,3)\) y positivo en \((3,+\infty)\). Crece en \((-\infty,1)\cup(3,+\infty)\) y decrece en \((1,3)\).
    3. Máximo relativo en \((1,5)\) (de creciente a decreciente) y mínimo relativo en \((3,1)\).
    4. \(f(0)=1\) y \(f(4)=64-96+36+1=5\). Comparamos los valores \(f(0)=1\), \(f(1)=5\), \(f(3)=1\) y \(f(4)=5\): el máximo absoluto vale 5 (en \(x=1\) y en \(x=4\)) y el mínimo absoluto vale 1 (en \(x=0\) y en \(x=3\)).

13. Solución del ejercicio 13

    1. Derivamos dos veces: \(f'(x)=3x^2-12x+9\) y \(f''(x)=6x-12\).
    2. Donde \(f''>0\) la gráfica es cóncava hacia arriba (convexa) y donde \(f''<0\), hacia abajo. Como \(6x-12>0\iff x>2\), se curva hacia arriba en \((2,+\infty)\) y hacia abajo en \((-\infty,2)\).
    3. En \(x=2\) la segunda derivada se anula y cambia de signo, y \(f(2)=8-24+18+1=3\). El punto de inflexión es \((2,3)\).
    4. Criterio de la segunda derivada: \(f''(1)=-6<0\), luego en \(x=1\) hay un máximo; \(f''(3)=6>0\), luego en \(x=3\) hay un mínimo. Es coherente con el estudio de la monotonía.

14. Solución del ejercicio 14

    1. El lado paralelo mide \(240-2x\). El área es \(A(x)=x(240-2x)=240x-2x^2\).
    2. Las longitudes deben ser positivas: \(x>0\) y \(240-2x>0\), es decir, \(0<x<120\).
    3. \(A'(x)=240-4x=0\Rightarrow x=60\) m.
    4. Dimensiones: \(60\) m por \(240-120=120\) m. Área: \(60\cdot120=7\,200\) m\(^2\). Es máximo porque \(A''(x)=-4<0\) (también \(A\) crece antes de 60 y decrece después).

15. Solución del ejercicio 15

    1. La base es un cuadrado de lado \(30-2x\) y la altura es \(x\): \(V(x)=x(30-2x)^2\), con \(0<x<15\).
    2. \(V'(x)=(30-2x)^2+x\cdot2(30-2x)(-2)=(30-2x)(30-6x)\). Se anula en \(x=15\) y en \(x=5\). Solo \(x=5\) está dentro del intervalo.
    3. Para \(x=5\): \(V=5\cdot20^2=2\,000\) cm\(^3\). Es máximo porque \(V'>0\) si \(x<5\) y \(V'<0\) si \(5<x<15\).
    4. La lámina tiene \(900\) cm\(^2\) y cuesta \(900\cdot0{,}004=3{,}60\) €. Las cuatro esquinas suman \(4\cdot25=100\) cm\(^2\) de desperdicio.

16. Solución del ejercicio 16

    1. \(V=\pi r^2h=330\Rightarrow h=\dfrac{330}{\pi r^2}\).
    2. \(S=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r^2+2\pi r\cdot\dfrac{330}{\pi r^2}=2\pi r^2+\dfrac{660}{r}\).
    3. \(S'(r)=4\pi r-\dfrac{660}{r^2}=0\Rightarrow r^3=\dfrac{165}{\pi}\Rightarrow r\approx3{,}74\) cm. Es mínimo porque \(S''(r)=4\pi+\frac{1\,320}{r^3}>0\).
    4. \(h=\dfrac{330}{\pi\cdot3{,}745^2}\approx7{,}49\) cm y \(S\approx264{,}4\) cm\(^2\). Resulta \(h\approx2r\): la lata óptima es tan alta como el diámetro de su base.

17. Solución del ejercicio 17

    1. Entre 12 € y 20 € el precio sube 8 € y la demanda baja de 152 a 120 tartas, 32 menos: pendiente \(-4\) por euro. Con \(p=12\): \(200-48=152\); con \(p=20\): \(200-80=120\); con \(p=30\): \(200-120=80\); con \(p=40\): \(200-160=40\). Coincide con la tabla.
    2. \(I(p)=p(200-4p)=200p-4p^2\), \(I'(p)=200-8p=0\Rightarrow p=25\) €. Ingresos: \(25\cdot100=2\,500\) €.
    3. \(B(p)=(p-10)(200-4p)=-4p^2+240p-2\,000\), \(B'(p)=-8p+240=0\Rightarrow p=30\) €. Beneficio: \(20\cdot80=1\,600\) €.
    4. Con 25 € ingresa más (2 500 €), pero su beneficio es \(15\cdot100=1\,500\) €, menor que 1 600 €. Al subir el precio vende menos tartas y gasta menos en ingredientes: lo que cuenta es el beneficio, no los ingresos.

18. Solución del ejercicio 18

    1. \(f(1)=2\) y \(f'(x)=2x-4\), \(f'(1)=-2\). Tangente: \(y-2=-2(x-1)\), o sea \(y=-2x+4\). Cortes: \((0,4)\) y \((2,0)\).
    2. Triángulo rectángulo de catetos 2 y 4: área \(=\frac{2\cdot4}{2}=4\) unidades cuadradas.
    3. Pendiente 2: \(2x-4=2\Rightarrow x=3\); \(f(3)=2\). Tangente: \(y-2=2(x-3)\), es decir, \(y=2x-4\).
    4. La pendiente debería ser \(-\frac12\): \(2x-4=-\frac12\Rightarrow x=\frac74\), y \(f\left(\frac74\right)=\frac{49}{16}-7+5=\frac{17}{16}\). Sí existe: el punto \(\left(\frac74,\frac{17}{16}\right)\).

19. Solución del ejercicio 19

    1. \(v(t)=20-10t\). La velocidad inicial es \(v(0)=20\) m/s hacia arriba.
    2. \(v(t)=0\Rightarrow t=2\) s. \(h(2)=1{,}5+40-20=21{,}5\) m. Es máximo, pues \(h''=-10<0\).
    3. \(5t^2-20t-1{,}5=0\Rightarrow t=\dfrac{20\pm\sqrt{400+30}}{10}\). La solución positiva es \(t\approx4{,}07\) s.
    4. \(v(4{,}07)=20-40{,}7\approx-20{,}7\) m/s. Pasando a km/h: \(20{,}7\cdot3{,}6\approx74{,}5\) km/h. El signo negativo indica que el cohete va hacia abajo.

20. Solución del ejercicio 20

    1. \(f'(x)=3x^2+2ax+b\). Condiciones: \(f'(-1)=3-2a+b=0\) y \(f'(3)=27+6a+b=0\).
    2. Restando: \(24+8a=0\Rightarrow a=-3\), y entonces \(b=-9\). Resulta \(f(x)=x^3-3x^2-9x+1\).
    3. \(f(-1)=-1-3+9+1=6\) (máximo) y \(f(3)=27-27-27+1=-26\) (mínimo).
    4. \(f''(x)=6x-6=0\Rightarrow x=1\), que es el punto medio de \(-1\) y \(3\). Es una propiedad de todas las cúbicas.