Derivadas – matemáticas 1º Bachillerato CCSS: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. Escribimos \(f(x)=5x^3-2x^{-1}+x^{1/2}\) y aplicamos la regla de la potencia a cada término: \(f^{\prime}(x)=15x^2+\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\). La derivada de \(-2x^{-1}\) es \(2x^{-2}\) y la de \(x^{1/2}\) es \(\tfrac12x^{-1/2}\); la derivada solo existe para \(x\gt 0\).
   2. Regla del cociente con \(u=x^2+3\), \(v=x-1\): \(g^{\prime}(x)=\dfrac{2x(x-1)-(x^2+3)\cdot1}{(x-1)^2}=\dfrac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}\). Comprobación del numerador: \(2x^2-2x-x^2-3=x^2-2x-3=(x-3)(x+1)\); la derivada no existe en \(x=1\).
   3. Derivada del logaritmo por la regla de la cadena, \((\ln u)^{\prime}=\dfrac{u^{\prime}}{u}\): \(h^{\prime}(x)=\dfrac{6x}{3x^2+1}\). Aquí \(u=3x^2+1\) y \(u^{\prime}=6x\); como \(3x^2+1\gt 0\), \(h\) está definida en todo \(\mathbb{R}\).
   4. Regla del producto: \(k^{\prime}(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}e^{x}+\sqrt{x}\,e^{x}\). Sacando factor común, \(k^{\prime}(x)=e^{x}\,\dfrac{1+2x}{2\sqrt{x}}\). Para sacar factor común se escribe \(\sqrt{x}=\dfrac{2x}{2\sqrt{x}}\).

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. \(f^{\prime}(x)=\dfrac1x+2x\).
   2. Punto: \(f(1)=0+1=1\). Pendiente: \(f^{\prime}(1)=1+2=3\). Tangente: \(y-1=3(x-1)\), es decir, \(y=3x-2\).
   3. Resolvemos \(\dfrac1x+2x=3\); multiplicando por \(x\): \(1+2x^2=3x\), es decir, \(2x^2-3x+1=0\), con soluciones \(x=1\) y \(x=\dfrac12\). La pendiente vale 3 en los puntos \((1,1)\) y \(\left(\frac12,\frac14-\ln2\right)\). Comprobación: \(f^{\prime}(\tfrac12)=2+1=3\).
   4. \(\dfrac1x+2x=0\) lleva a \(2x^2=-1\), que no tiene solución real; además \(f^{\prime}(x)\gt 0\) para todo \(x\gt 0\). Por tanto, no hay ningún punto con tangente horizontal.

3. Solución del ejercicio 3 (4 puntos)

   1. \(f^{\prime}(x)=6x^2-18x+12=6(x^2-3x+2)=6(x-1)(x-2)\). Sus raíces son \(x=1\) y \(x=2\).
   2. Estudiamos el signo de \(f^{\prime}\) en cada intervalo: positivo en \((-\infty,1)\), negativo en \((1,2)\) y positivo en \((2,+\infty)\). Por tanto, \(f\) crece en \((-\infty,1)\cup(2,+\infty)\) y decrece en \((1,2)\).
   3. En \(x=1\) la función pasa de crecer a decrecer: máximo relativo en \((1,5)\), porque \(f(1)=2-9+12=5\). En \(x=2\) pasa de decrecer a crecer: mínimo relativo en \((2,4)\), porque \(f(2)=16-36+24=4\).

4. Solución del ejercicio 4 (4 puntos)

   1. Derivamos término a término: \(B^{\prime}(q)=-0{,}02q+3\).
   2. El máximo se busca donde la derivada se anula: \(-0{,}02q+3=0\), luego \(q=\dfrac{3}{0{,}02}=150\) bicicletas.
   3. \(B(150)=-0{,}01\cdot22\,500+450-50=-225+450-50=175\) €. El beneficio máximo es de 175 € al mes.
   4. \(B^{\prime}\gt 0\) si \(q\lt 150\) y \(B^{\prime}\lt 0\) si \(q\gt 150\): el beneficio crece y después decrece. También basta observar que \(B\) es una parábola con coeficiente principal negativo. Es un máximo.

5. Solución del ejercicio 5 (4 puntos)

   1. \(V(2)=-8+48=40\) y \(V(6)=-216+432=216\) (cientos de euros), es decir, 4 000 € y 21 600 €.
   2. \(V^{\prime}(t)=-3t^2+24t\) y \(V^{\prime}(2)=-12+48=36\): el segundo día las ventas aumentan a un ritmo de unos 3 600 € por día.
   3. \(-3t^2+24t=-3t(t-8)=0\) implica \(t=0\) o \(t=8\). Máximo en \(t=8\): \(V(8)=-512+768=256\), es decir, 25 600 €. Comprobación: \(V^{\prime}\) pasa de positiva a negativa en \(t=8\), luego es un máximo.
   4. \(V^{\prime}\gt 0\) en \((0,8)\) (crecen) y \(V^{\prime}\lt 0\) en \((8,12)\) (decrecen).

Total : 20 puntos