Normalverteilung – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Lösungen zur Klassenarbeit zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1 (6 BE/Punkte)

   Lösungsweg und Bewertung: Für jede Wahrscheinlichkeit wird zuerst standardisiert und dann \(\Phi\) abgelesen; Intervalle ergeben sich als Differenz zweier Werte (drei BE). Die Anzahl der Saftäpfel ist Anteil mal Gesamtzahl (eine BE). Für die schwersten fünf Prozent bestimmt man das \(95\,\%\)-Quantil und rechnet mit \(x=\mu+z\sigma\) zurück (zwei BE).

   a) \(\Phi(-1{,}5)\approx0{,}0668\). (1 BE)
   b) \(\Phi(1{,}5)-\Phi(-1)\approx0{,}9332-0{,}1587=0{,}7745\). (2 BE)
   c) \(\Phi(-2)\approx0{,}0228\); \(5\,000\cdot0{,}0228\approx114\) Äpfel. (1 BE)
   d) \(c=150+1{,}645\cdot10\approx166{,}4\) g. (2 BE)

2. Lösung zu Aufgabe 2 (5 BE/Punkte)

   Lösungsweg und Bewertung: Zuerst werden Erwartungswert und Standardabweichung berechnet und die Laplace-Bedingung \(\sigma>3\) geprüft (zwei BE). Dann wird mit der Normalverteilung genähert; die Grenzen werden mit der Stetigkeitskorrektur um eine halbe Einheit nach außen verschoben, standardisiert und eingesetzt (drei BE). Der exakte Wert dient zum Vergleich. Zwischenschritt: Die \(z\)-Werte sind \(\frac{10{,}5}{7{,}07}\approx1{,}48\) und \(\frac{-5{,}5}{7{,}07}\approx-0{,}78\). Häufiger Fehler: die Stetigkeitskorrektur an der unteren Grenze nach innen statt nach außen zu verschieben.

   a) \(\mu=100\), \(\sigma=\sqrt{50}\approx7{,}07>3\): erfüllt. (2 BE)
   b) \(\Phi\left(\frac{110{,}5-100}{7{,}07}\right)-\Phi\left(\frac{94{,}5-100}{7{,}07}\right)\approx0{,}7129\) (exakt: \(0{,}7129\)). (3 BE)

3. Lösung zu Aufgabe 3 (4 BE/Punkte)

   Lösungsweg und Bewertung: Für die aktuelle Einstellung wird die Grenze \(1\,000\) standardisiert und der Anteil abgelesen (eine BE). Für die neue Einstellung bleibt \(\sigma\) fest; aus der Bedingung \(\Phi(z)\le0{,}01\) folgt der zugehörige \(z\)-Wert, und die Ungleichung wird nach \(\mu\) aufgelöst (drei BE). Ein Antwortsatz nennt den Sollwert. Kontrolle: Bei \(\mu\approx1\,011{,}6\) g liegt die Grenze \(1\,000\) g genau \(2{,}326\) Standardabweichungen unter dem Mittelwert, wie für \(1\,\%\) gefordert.

   a) \(\Phi(-1)\approx0{,}1587\). (1 BE)
   b) \(\frac{1000-\mu}5\le-2{,}326\Rightarrow\mu\ge1000+2{,}326\cdot5\approx1011{,}6\) g. (3 BE)

4. Lösung zu Aufgabe 4 (3 BE/Punkte)

   Lösungsweg und Bewertung: Die gegebene Wahrscheinlichkeit wird in \(\Phi\left(\frac6\sigma\right)=0{,}8413\) umgeschrieben; der zugehörige \(z\)-Wert ist \(1\), also folgt \(\sigma\) direkt (zwei BE). Mit diesem \(\sigma\) wird die Intervallwahrscheinlichkeit symmetrisch um \(\mu\) berechnet (eine BE). Einheiten und Rundung werden im Antwortsatz angegeben. Zwischenschritt: \(P(X\ge26)=1-\Phi\left(\frac6\sigma\right)=0{,}1587\) ergibt \(\Phi\left(\frac6\sigma\right)=0{,}8413\). Die Grenzen \(17\) und \(23\) liegen dann \(\pm0{,}5\sigma\) von \(\mu\) entfernt. Häufig wird das Gegenereignis vergessen.

   a) \(\Phi\left(\frac6\sigma\right)=0{,}8413\Rightarrow\frac6\sigma=1\Rightarrow\sigma=6\). (2 BE)
   b) \(2\Phi(0{,}5)-1\approx0{,}3829\). (1 BE)

5. Lösung zu Aufgabe 5 (2 BE/Punkte)

   Lösungsweg und Bewertung: Die Ableitung entsteht mit der Kettenregel; der Faktor \(-x\) kommt aus der inneren Ableitung, und die Nullstelle der Ableitung liefert den Hochpunkt (eine BE). Die zweite Ableitung mit der Produktregel ergibt den Faktor \(x^2-1\); seine Nullstellen mit Vorzeichenwechsel sind die Wendestellen (eine BE).

   a) Kettenregel: \(\varphi^{\prime}(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-x^2/2}\cdot(-x)=-x\varphi(x)\); \(\varphi^{\prime}=0\Leftrightarrow x=0\), Hochpunkt \((0|0{,}3989)\). (1 BE)
   b) \(\varphi^{\prime\prime}(x)=(x^2-1)\varphi(x)=0\Leftrightarrow x=\pm1\), mit Vorzeichenwechsel. (1 BE)

Gesamt : 20 Punkte