Dieser Lernzettel zum Thema Hypothesentests ist für Abitur (Alter 17-19) geschrieben. Kurz gesagt geht es darum: Alternativtest, Signifikanztest, Fehler 1. und 2. Art, Entscheidungsregeln. Bevor du anfängst, wiederhole am besten Binomialverteilung und Erwartungswert und Normalverteilung, denn dieser Lernzettel baut darauf auf.
Hypothesentests Abitur Lernzettel: das lernst du
Einstieg: Ist der Würfel aus dem 3D-Drucker fair?
Die Informatik-AG eines Gymnasiums in Bremen hat mit dem 3D-Drucker eigene Spielwürfel hergestellt. Weil die Augen als Vertiefungen gedruckt sind, vermutet Emil, dass die Sechs zu häufig fällt: Die Seite mit sechs Vertiefungen ist leichter, die gegenüberliegende Eins schwerer. Er wirft einen Würfel \(120\)-mal und erhält \(27\) Sechsen statt der erwarteten \(20\). Ist das ein Beweis für einen gezinkten Würfel – oder kann so etwas auch bei einem fairen Würfel zufällig passieren?
Genau diese Frage beantwortet ein Hypothesentest. Er legt vorher eine Regel fest, ab welcher Trefferzahl man der Annahme „der Würfel ist fair“ nicht mehr glaubt, und er kontrolliert dabei die Wahrscheinlichkeit, sich zu irren. Hypothesentests werden in Medizin, Industrie, Umfrageforschung und Wissenschaft täglich eingesetzt.
Idee des Hypothesentests
Definition: Hypothesentest
Ein Hersteller behauptet, höchstens \(20\,\%\) seiner Geräte seien defekt. Ein Kunde misstraut dieser Aussage. Er prüft eine Stichprobe von 100 Geräten und fragt sich, ab welcher Zahl defekter Geräte er der Behauptung nicht mehr glauben sollte. Genau diese Frage beantwortet ein Hypothesentest: Mit einer Stichprobe wird entschieden, ob eine Annahme (die Nullhypothese \(H_0\)) über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit \(p\) beibehalten oder zugunsten der Gegenhypothese \(H_1\) verworfen wird. Die Zufallsgröße \(X\) (Trefferzahl in der Stichprobe) ist unter \(H_0\) binomialverteilt, \(X\sim B(n;p_0)\).
Fehler 1. und 2. Art
Da die Entscheidung nur auf einer Stichprobe beruht, kann sie falsch sein. Es gibt zwei Fehlerarten:
- Fehler 1. Art: Man lehnt \(H_0\) ab, obwohl \(H_0\) wahr ist. Wahrscheinlichkeit \(\alpha=P_{p_0}(X\in\text{Ablehnungsbereich})\).
- Fehler 2. Art: Man nimmt \(H_0\) an, obwohl \(H_1\) wahr ist. Wahrscheinlichkeit \(\beta=P_{p_1}(X\notin\text{Ablehnungsbereich})\), berechnet für einen konkreten Wert \(p_1\) aus \(H_1\).
Beispiel (Medikament): \(H_0\): „Das Medikament wirkt nicht besser als das alte.“ Fehler 1. Art: Man hält das Medikament für besser, obwohl es das nicht ist – ein unwirksames Mittel kommt auf den Markt. Fehler 2. Art: Man hält ein besseres Medikament für nicht besser – eine Chance wird verpasst. Die Nullhypothese wählt man so, dass der schwerwiegendere Fehler der Fehler 1. Art ist; denn nur dessen Wahrscheinlichkeit \(\alpha\) wird kontrolliert.
Merke: Fehler 1. und 2. Art
Fehler 1. Art: \(H_0\) wird abgelehnt, obwohl sie wahr ist (Wahrscheinlichkeit \(\le\alpha\)). Fehler 2. Art: \(H_0\) wird nicht abgelehnt, obwohl sie falsch ist (Wahrscheinlichkeit \(\beta\)).
Der Signifikanztest
Definition: Ablehnungsbereich
Beim Signifikanztest legt man das Signifikanzniveau \(\alpha\) fest (häufig \(5\,\%\) oder \(1\,\%\)) und bestimmt den Ablehnungsbereich so, dass die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art höchstens \(\alpha\) beträgt. Beim rechtsseitigen Test (\(H_0:p\le p_0\), \(H_1:p>p_0\)) besteht er aus großen Trefferzahlen: \(\{k,k+1,\dots,n\}\) mit der kleinsten Zahl \(k\), für die \(P(X\ge k)\le\alpha\) gilt, wenn \(X\sim B(n;p_0)\). Beim linksseitigen Test (\(H_1:p\lt p_0\)) besteht er aus kleinen Trefferzahlen \(\{0,\dots,k\}\) mit der größten Zahl \(k\), für die \(P(X\le k)\le\alpha\) ist. Beim zweiseitigen Test (\(H_1:p\neq p_0\)) verteilt man \(\alpha\) auf beide Seiten, höchstens \(\frac\alpha2\) je Seite.
Beispiel
\(H_0:p\le0{,}2\), \(H_1:p>0{,}2\), \(n=100\), \(\alpha=5\,\%\). Unter \(p_0=0{,}2\) ist \(X\sim B(100;0{,}2)\), \(\mu=20\). Es gilt \(P(X\ge28)\approx0{,}0342\le0{,}05\), aber \(P(X\ge27)>0{,}05\). Der Ablehnungsbereich ist \(\{28,\dots,100\}\). Die tatsächliche Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art beträgt also nur etwa \(3{,}4\,\%\). Zählt der Kunde 27 defekte Geräte, kann er \(H_0\) nicht verwerfen; bei 30 defekten verwirft er sie.
Satz: Annahme- und Ablehnungsbereich
Bei einem rechtsseitigen Test mit \(H_0\colon p\le p_0\) wird \(H_0\) abgelehnt, wenn \(X\ge k\) gilt. Der kleinste Wert \(k\) mit \(P_{p_0}(X\ge k)\le\alpha\) legt den Ablehnungsbereich fest; \(\alpha\) ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art.
Fehler 2. Art berechnen
Angenommen, der wahre Wert ist \(p_1=0{,}3\). Der Fehler 2. Art besteht darin, dass \(X\) trotzdem im Annahmebereich \(\{0,\dots,27\}\) liegt: \(\beta=P_{0{,}3}(X\le27)\approx0{,}2964\). Je näher \(p_1\) an \(p_0\) liegt, desto größer ist \(\beta\). Verkleinert man \(\alpha\), wird der Ablehnungsbereich kleiner, und \(\beta\) wächst. Beide Fehler lassen sich nur gleichzeitig verkleinern, indem man den Stichprobenumfang \(n\) erhöht.
Beispiel 1: Zweiseitiger Test
Eine Münze soll auf Fairness geprüft werden: \(H_0:p=0{,}5\), \(H_1:p\neq0{,}5\), \(n=100\), \(\alpha=5\,\%\). Wegen der zwei Seiten sucht man links die größte Zahl \(k_1\) mit \(P(X\le k_1)\le0{,}025\) und rechts die kleinste Zahl \(k_2\) mit \(P(X\ge k_2)\le0{,}025\). Es ergibt sich \(k_1=39\) und \(k_2=61\). Der Ablehnungsbereich ist \(\{0,\dots,39\}\cup\{61,\dots,100\}\); der Annahmebereich \(\{40,\dots,60\}\). Wegen der Symmetrie der Verteilung (\(p_0=0{,}5\)) sind beide Randwahrscheinlichkeiten gleich groß, etwa je \(1{,}8\,\%\).
Vorgehen im Abitur
So gehst du vor
- Zufallsgröße beschreiben und \(H_0\), \(H_1\) mit \(p\) formulieren.
- Verteilung unter \(H_0\) angeben: \(X\sim B(n;p_0)\).
- Ablehnungsbereich über Tabelle oder Taschenrechner bestimmen und die Ungleichung \(P(X\ge k)\le\alpha\) bzw. \(P(X\le k)\le\alpha\) prüfen.
- Entscheidungsregel formulieren, Stichprobenergebnis einordnen und die Entscheidung im Sachzusammenhang begründen.
Der Alternativtest
Definition: Alternativtest
Beim Alternativtest stehen zwei konkrete Werte zur Wahl: \(H_0:p=p_0\) gegen \(H_1:p=p_1\). Man legt eine Entscheidungsregel fest, zum Beispiel „Entscheidung für \(H_1\), wenn \(X\ge k\)“, und berechnet beide Fehlerwahrscheinlichkeiten \(\alpha=P_{p_0}(X\ge k)\) und \(\beta=P_{p_1}(X\lt k)\). Vergrößert man \(k\), sinkt \(\alpha\) und \(\beta\) steigt.
Weitere Beispiele
Beispiel 2: Rechtsseitiger Test
Ein Würfel soll auf zu viele Sechsen getestet werden (\(n=100\), \(H_0\colon p\le\tfrac16\), \(\alpha=5\,\%\)). Es gilt \(P(X\ge24)\approx0{,}0379\) und \(P(X\ge23)\approx0{,}0631\). Wie lautet die Entscheidungsregel?
Das kleinste \(k\) mit \(P(X\ge k)\le0{,}05\) ist \(k=24\). Ablehnungsbereich \(\{24;\dots;100\}\): Bei mindestens 24 Sechsen wird \(H_0\) abgelehnt.
Den Ablehnungsbereich Schritt für Schritt bestimmen
Bei einem linksseitigen Test sucht man das größte \(k\), für das \(P(X\le k)\le\alpha\) gilt. Mit dem Taschenrechner erstellt man eine Wertetabelle von \(P(X\le k)\) in der Nähe von \(\mu-2\sigma\) und liest die Grenze ab. Notieren Sie im Abitur stets beide Nachbarwerte: den letzten, der noch unter \(\alpha\) liegt, und den ersten, der darüber liegt. Nur so ist die Wahl der Grenze begründet.
Beispiel 4: Linksseitiger Test zur Keimfähigkeit
Ein Saatguthersteller garantiert eine Keimfähigkeit von mindestens \(90\,\%\). Eine Gärtnerei vermutet, dass sie geringer ist, und sät \(200\) Samen. Bestimmen Sie die Entscheidungsregel für \(\alpha=5\,\%\).
\(H_0:p\ge0{,}9\), \(H_1:p<0{,}9\); \(X\sim B(200;0{,}9)\) im Grenzfall \(p=0{,}9\). Es ist \(P(X\le172)\approx0{,}0434\le0{,}05\) und \(P(X\le173)\approx0{,}0672>0{,}05\). Ablehnungsbereich: \(\{0;\dots;172\}\). Keimen höchstens \(172\) Samen, reklamiert die Gärtnerei mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens \(5\,\%\).
Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art
Der Fehler 2. Art lässt sich nur berechnen, wenn man einen konkreten Wert \(p_1\) aus der Gegenhypothese annimmt. Dann ist \(\beta\) die Wahrscheinlichkeit, dass die Testgröße trotzdem im Annahmebereich landet. Je weiter \(p_1\) von \(p_0\) entfernt ist, desto kleiner ist \(\beta\): Große Abweichungen entdeckt der Test leicht, kleine kaum. Die Zahl \(1-\beta\) heißt Güte oder Trennschärfe des Tests.
Beispiel 5: Fehler 2. Art beim Saatgut
Wie groß ist beim Test aus Beispiel 4 die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art, wenn die Keimfähigkeit in Wahrheit nur \(85\,\%\) beträgt?
Annahmebereich \(\{173;\dots;200\}\), jetzt mit \(p_1=0{,}85\): \(\beta=P(X\ge173)=1-P(X\le172)\approx0{,}3166\). In etwa \(32\,\%\) der Fälle bemerkt die Gärtnerei die schlechtere Ware nicht. Eine größere Stichprobe würde \(\beta\) verkleinern.
Was ein Test aussagt – und was nicht
Ein Hypothesentest ist ein Entscheidungsverfahren unter Unsicherheit. Liegt das Ergebnis im Ablehnungsbereich, spricht man von einem signifikanten Ergebnis: Die Daten wären unter \(H_0\) sehr unwahrscheinlich. Das beweist nicht, dass \(H_0\) falsch ist. Liegt das Ergebnis im Annahmebereich, ist \(H_0\) ebenfalls nicht bewiesen; die Daten reichen nur nicht aus, um sie zu verwerfen. Deshalb legt man als \(H_1\) die Aussage fest, die man mit kontrollierter Irrtumswahrscheinlichkeit belegen möchte. Wer etwa zeigen will, dass ein neues Medikament besser wirkt, wählt „wirkt nicht besser“ als Nullhypothese. Wichtig ist außerdem die Reihenfolge: Hypothesen, \(n\) und \(\alpha\) werden vor dem Versuch festgelegt; die Regel nachträglich an das Ergebnis anzupassen, ist unwissenschaftlich.
Beispiel 6: Emils Würfel
Entscheiden Sie Emils Frage mit einem rechtsseitigen Test (\(n=120\), \(\alpha=5\,\%\)).
\(H_0:p\le\frac16\), \(H_1:p>\frac16\). Es gilt \(P(X\ge27)\approx0{,}0597>0{,}05\) und \(P(X\ge28)\approx0{,}0373\le0{,}05\). Ablehnungsbereich \(\{28;\dots;120\}\). Mit \(27\) Sechsen wird \(H_0\) knapp nicht abgelehnt; Emil sollte mehr Würfe machen.
Wusstest du? Die Teetrinkerin
Der englische Statistiker Ronald A. Fisher beschrieb 1935 eine Kollegin, die behauptete, am Geschmack zu erkennen, ob zuerst Milch oder zuerst Tee in die Tasse gegossen wurde. Fisher plante dazu ein Experiment mit acht Tassen und überlegte vorher, wie viele richtige Antworten nötig sind, damit Raten unwahrscheinlich wird. Daraus entstand die moderne Testtheorie, die heute zum Beispiel bei der Zulassung jedes Medikaments vorgeschrieben ist.
Der p-Wert als Alternative
Statt einen Ablehnungsbereich zu bestimmen, kann man auch fragen: Wie wahrscheinlich ist unter \(H_0\) ein Ergebnis, das mindestens so extrem ist wie das beobachtete? Diese Wahrscheinlichkeit heißt p-Wert. Ist sie kleiner oder gleich \(\alpha\), wird \(H_0\) abgelehnt. Beide Verfahren führen immer zur selben Entscheidung, der p-Wert zeigt aber zusätzlich, wie knapp sie ausgefallen ist.
Merke: Das Wichtigste auf einen Blick
- Nullhypothese \(H_0\) (bisherige Annahme, Behauptung, die man widerlegen will) und Gegenhypothese \(H_1\) (das, was man nachweisen möchte); Testgröße \(X\) = Anzahl der Treffer in einer Stichprobe vom Umfang \(n\).
- Fehler 1. Art: \(H_0\) wird abgelehnt, obwohl \(H_0\) wahr ist (Wahrscheinlichkeit höchstens \(\alpha\)). Fehler 2. Art: \(H_0\) wird beibehalten, obwohl \(H_1\) wahr ist (Wahrscheinlichkeit \(\beta\)).
- Rechtsseitiger Test (\(H_1:p>p_0\)): Ablehnungsbereich \(\{k;\dots;n\}\) mit kleinstem \(k\), für das \(P_{p_0}(X\ge k)\le\alpha\) gilt.
- Linksseitiger Test (\(H_1:p\lt p_0\)): Ablehnungsbereich \(\{0;\dots;k\}\) mit größtem \(k\), für das \(P_{p_0}(X\le k)\le\alpha\) gilt.
- Zweiseitiger Test (\(H_1:p\ne p_0\)): auf jeder Seite höchstens \(\frac\alpha2\).
- \(\beta\) berechnet man mit einem konkreten \(p_1\) aus \(H_1\) als Wahrscheinlichkeit des Annahmebereichs; kleineres \(\alpha\) bedeutet größeres \(\beta\), größeres \(n\) verkleinert beide.
- Ein Testergebnis ist kein Beweis: Das Ablehnen von \(H_0\) ist eine signifikante Aussage, das Beibehalten bedeutet nur, dass die Daten nicht gegen \(H_0\) sprechen.
- Die Entscheidungsregel wird vor der Stichprobe festgelegt; die Wahl der Nullhypothese richtet sich danach, welcher Fehler schwerer wiegt.
Achtung: Typische Fehler
- Hypothesen vertauschen: \(H_0\) enthält die Gleichheit (\(p=p_0\), \(p\le p_0\) oder \(p\ge p_0\)).
- Den Ablehnungsbereich mit der falschen Seite (links statt rechts) formulieren.
- Grenze des Ablehnungsbereichs falsch bestimmen (Verschiebung um 1 bei \(P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)\)).
- Fehler 1. und 2. Art verwechseln oder \(\beta\) mit der Wahrscheinlichkeit unter \(H_0\) berechnen.
- Das Ergebnis des Tests als Beweis auffassen: Ein Test liefert eine Entscheidung mit Irrtumswahrscheinlichkeit, keinen Beweis.
Ottos Tipp: Formuliere immer zuerst \(H_0\), \(H_1\), \(n\), \(\alpha\) und die Verteilung unter \(H_0\). Danach ist die Rechnung nur noch Routine!
Ottos Tipp
Formulieren Sie die Entscheidung immer in einem Antwortsatz mit dem Sachbezug, zum Beispiel: „Bei mindestens 24 Sechsen wird angenommen, dass der Würfel zu oft die Sechs zeigt.“
So nutzt du den Lernzettel Hypothesentests (Abitur)
Lies zuerst das Wichtigste oben, damit du weißt, worum es geht. Danach arbeitest du jede Definition und jedes Beispiel durch und deckst die Lösung zuerst ab. Anschließend übst du mit dem Arbeitsblatt zu Hypothesentests und vergleichst mit den Lösungen. Sobald du dich sicher fühlst, testest du dich mit dem Online-Test oder dem Quiz. Schließlich schreibst du die Klassenarbeit zu Hypothesentests und korrigierst sie mit den Lösungen zur Klassenarbeit.
Außerdem eignet sich das Kopfrechnen zum Aufwärmen, damit das Wissen frisch bleibt. Außerdem gehören alle Seiten dieses Kapitels zusammen, sodass du jederzeit wechseln kannst. Zum Beispiel lesen viele Schüler montags den Lernzettel, üben mittwochs und testen sich freitags. Kurz gesagt enthält dieser Lernzettel zu Hypothesentests (Abitur) alles, was du für das Thema brauchst.
Zusammenfassend gilt: Regelmäßiges Üben hilft mehr als eine lange Sitzung. Zum Beispiel reichen oft zehn Minuten am Tag. Außerdem sind Fehler nützlich, denn sie zeigen, was du wiederholen solltest. Sobald ein Verfahren leicht wirkt, versuchst du danach eine schwerere Aufgabe. Dadurch wächst dein Selbstvertrauen Schritt für Schritt.
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