Ebenen im Raum – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Lernzettel zum Herunterladen als PDF

Wie beschreibt man eine Ebene?

Parameterform

Normalenvektor und Kreuzprodukt

Normalen- und Koordinatenform

Normalenform: \(\vec n\circ(\vec x-\vec p)=0\). Ausmultiplizieren ergibt die Koordinatenform \(n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=d\) mit \(d=\vec n\circ\vec p\). Beispiel: \(\vec n=(2|-1|3)^T\), \(P(1|2|0)\): \(d=2-2+0=0\), also \(E:\ 2x_1-x_2+3x_3=0\). Die Koeffizienten vor \(x_1,x_2,x_3\) sind die Koordinaten eines Normalenvektors. Eine Punktprobe geschieht durch Einsetzen: Für \(E:\ x_1+2x_2-x_3=2\) gilt für \(Q(2|1|2)\): \(2+2-2=2\) \(\checkmark\), also \(Q\in E\); für \(P(1|2|1)\): \(1+4-1=4\neq2\), also \(P\notin E\).

Ebene durch drei Punkte

Gegeben sind \(A(1|0|0)\), \(B(0|2|0)\), \(C(0|0|3)\). Spannvektoren: \(\overrightarrow{AB}=(-1|2|0)^T\), \(\overrightarrow{AC}=(-1|0|3)^T\). Kreuzprodukt: \(\vec n=\begin{pmatrix}2\cdot3-0\cdot0\\0\cdot(-1)-(-1)\cdot3\\(-1)\cdot0-2\cdot(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\3\\2\end{pmatrix}\). \(d=\vec n\circ\vec a=6\). Koordinatenform: \(6x_1+3x_2+2x_3=6\). Kontrolle mit \(B\): \(6\) \(\checkmark\), mit \(C\): \(6\) \(\checkmark\).

Spurpunkte und Lage im Koordinatensystem

Fehlt in der Koordinatenform eine Koordinate, ist die Ebene parallel zur zugehörigen Achse. So ist \(x_1+x_2=2\) parallel zur \(x_3\)-Achse. Eine Gleichung wie \(x_3=4\) beschreibt eine zur \(x_1x_2\)-Ebene parallele Ebene, \(x_1=0\) ist die \(x_2x_3\)-Ebene selbst.

Von der Koordinatenform zur Parameterform

Gegeben ist \(E:\ x_1+2x_2+x_3=4\). Man wählt drei Punkte der Ebene, am einfachsten die Spurpunkte \(A(4|0|0)\), \(B(0|2|0)\) und \(C(0|0|4)\). Die Spannvektoren sind \(\overrightarrow{AB}=(-4|2|0)^T\) und \(\overrightarrow{AC}=(-4|0|4)^T\). Damit ist \(E:\ \vec x=(4|0|0)^T+r(-4|2|0)^T+s(-4|0|4)^T\). Die Probe erfolgt durch Einsetzen von \(r=1,\,s=0\) (Punkt \(B\)) und \(r=0,\,s=1\) (Punkt \(C\)) in die Koordinatenform. Hat die Ebene keine drei Spurpunkte (zum Beispiel weil sie durch den Ursprung geht), wählen Sie andere einfache Punkte, indem Sie zwei Koordinaten frei wählen und die dritte ausrechnen.

Umformungen im Überblick

Weitere Beispiele

Ebenen im Schrägbild darstellen

Um sich eine Ebene vorzustellen, zeichnet man ihre Spurpunkte auf den Koordinatenachsen in ein Schrägbild und verbindet sie zu einem Dreieck. Die Seiten dieses Dreiecks sind die Spurgeraden, also die Schnittgeraden der Ebene mit den Koordinatenebenen. Liegt ein Spurpunkt „unendlich weit“ entfernt, weil eine Koordinate in der Koordinatenform fehlt, verlaufen zwei Spurgeraden parallel zu der entsprechenden Achse.

Auf welcher Seite liegt ein Punkt?

Setzt man einen Punkt in die linke Seite der Koordinatenform ein, erhält man eine Zahl. Ist sie gleich \(d\), liegt der Punkt in der Ebene. Ist sie größer, liegt er auf der Seite, in die der Normalenvektor zeigt; ist sie kleiner, auf der anderen Seite. So lässt sich zum Beispiel prüfen, ob ein Schornstein über eine Dachfläche hinausragt oder ob zwei Punkte auf derselben Seite einer Wand liegen.

Besondere Ebenen erkennen

Viele Ebenen in Anwendungen stehen senkrecht oder waagerecht. Eine Wand parallel zur \(x_3\)-Achse hat eine Gleichung ohne \(x_3\), etwa \(x_1+x_2=10\). Ein waagerechter Boden in \(3\) m Höhe ist \(x_3=3\). Die Koordinatenebenen selbst sind \(x_1=0\), \(x_2=0\) und \(x_3=0\). Wer diese Formen erkennt, spart sich lange Rechnungen.

Welche Darstellung wofür?

Jede Darstellungsform einer Ebene hat ihre Stärken. Die Parameterform eignet sich, wenn Punkte der Ebene erzeugt werden sollen, etwa beim Zeichnen oder beim Beschreiben einer begrenzten Fläche wie eines Dreiecks mit Bedingungen an die Parameter. Die Koordinatenform ist ideal für Punktproben, Spurpunkte, Schnitte mit Geraden und Abstandsberechnungen, weil man nur einsetzen muss. Die Normalenform verbindet beide Sichtweisen und zeigt direkt die Richtung, in die die Ebene „schaut“. In Abituraufgaben lohnt es sich deshalb fast immer, eine gegebene Parameterform zuerst in die Koordinatenform umzuwandeln. Dazu berechnet man das Kreuzprodukt der Spannvektoren, kürzt den Normalenvektor auf möglichst kleine ganze Zahlen und setzt einen Punkt ein. Eine kurze Probe mit einem zweiten Punkt der Ebene schützt vor Vorzeichenfehlern, die beim Kreuzprodukt besonders häufig vorkommen. Wer zusätzlich die Spurpunkte einzeichnet, erhält eine anschauliche Vorstellung von der Lage der Ebene im Raum. Diese Arbeitsweise spart in der Prüfung viel Zeit und schafft Sicherheit bei allen folgenden Teilaufgaben.