Geraden im Raum – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Lernzettel zum Herunterladen als PDF

Vektoren im Raum

Parameterform einer Geraden

Eine Gerade \(g\) im Raum ist durch einen Punkt \(A\) und eine Richtung \(\vec u\) festgelegt: \(g:\ \vec x=\vec a+r\cdot\vec u\) mit \(r\in\mathbb{R}\). Jeder Wert von \(r\) liefert genau einen Punkt der Geraden. Verläuft die Gerade durch zwei Punkte \(A\) und \(B\), nimmt man \(\vec u=\overrightarrow{AB}\). Beispiel: Durch \(A(1|2|3)\) und \(B(3|2|7)\) geht \(g:\ \vec x=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}\). Für \(r=0\) erhält man \(A\), für \(r=1\) den Punkt \(B\), für \(0\lt r<1\) Punkte der Strecke \(AB\). Für \(r=\frac12\) ergibt sich der Mittelpunkt \((2|2|5)\).

Punktprobe

Ob ein Punkt \(P\) auf \(g\) liegt, prüft man durch Einsetzen: \(\vec p=\vec a+r\vec u\). Man bestimmt \(r\) aus einer Zeile und kontrolliert die beiden anderen. Beispiel: \(P(5|2|11)\) liegt auf der Geraden oben, denn aus \(1+2r=5\) folgt \(r=2\), und \(2=2\), \(3+4\cdot2=11\) stimmen. Dagegen liegt \(Q(2|3|5)\) nicht auf \(g\), weil die zweite Zeile \(2=3\) einen Widerspruch ergibt.

Lagebeziehungen zweier Geraden

Für \(g:\ \vec x=\vec a+r\vec u\) und \(h:\ \vec x=\vec b+s\vec v\) gibt es vier Möglichkeiten:

Teilverhältnis und Punkte auf Strecken

Ein Punkt \(T\) teilt die Strecke \(\overline{AB}\) im Verhältnis \(m:n\) (von \(A\) aus), wenn \(\vec t=\vec a+\frac{m}{m+n}\,\overrightarrow{AB}\) gilt. Für \(m=n\) erhält man den Mittelpunkt. Für den Dreiecksschwerpunkt \(S\) mit den Ecken \(A,B,C\) gilt \(\vec s=\frac13(\vec a+\vec b+\vec c)\). Solche Aufgaben tauchen im Abitur als Teilaufgabe zu Körpern wie Pyramiden oder Quadern auf.

Spurpunkte

Anwendung: Bewegungen im Raum

Zwei Flugobjekte bewegen sich auf Geraden \(\vec x=\vec a+t\vec u\) und \(\vec x=\vec b+t\vec v\) mit derselben Zeit \(t\). Schneiden sich die Bahnen, müssen die Parameter nicht gleich sein: Nur wenn \(r=s\) im Schnittpunkt gilt, begegnen sich die Objekte tatsächlich. Dies prüft man nach der Berechnung des Schnittpunkts.

Weitere Beispiele

Der Parameter als Zeit: Bewegungen beschreiben

In vielen Anwendungsaufgaben steht der Parameter für die Zeit. Dann ist der Stützvektor die Startposition und der Richtungsvektor die Verschiebung in einer Zeiteinheit. Die Länge \(|\vec u|\) ist die Geschwindigkeit. Fragen nach dem Ort zu einem Zeitpunkt löst man durch Einsetzen, Fragen nach dem Zeitpunkt, zu dem eine Koordinate einen bestimmten Wert erreicht, durch eine einzige Gleichung. Achten Sie darauf, ob negative Zeiten im Sachzusammenhang sinnvoll sind: Meist ist nur \(t\ge0\) zugelassen, und die Gerade wird zum Strahl.

Begegnen sich zwei Objekte?

Schneiden sich zwei Bahnen, heißt das noch nicht, dass die Objekte zusammenstoßen. Sie müssten den Schnittpunkt zur selben Zeit erreichen. Deshalb verwendet man zwei verschiedene Parameter \(r\) und \(s\), wenn man nach dem gemeinsamen Punkt der Bahnen fragt, aber denselben Parameter \(t\), wenn man prüfen will, ob sich die Objekte treffen. Den Abstand der Objekte zur Zeit \(t\) berechnet man als Betrag des Verbindungsvektors \(|\vec x_1(t)-\vec x_2(t)|\); sein Minimum findet man mit der Differenzialrechnung.

Systematisch zur Lagebeziehung

Ein festes Prüfschema vermeidet Fehler. Zuerst vergleicht man nur die Richtungsvektoren: Sind sie Vielfache voneinander, kommen nur „identisch“ oder „echt parallel“ in Frage, und eine einzige Punktprobe entscheidet. Erst wenn die Richtungen verschieden sind, setzt man gleich und löst das Gleichungssystem. Wer gleich mit dem Gleichungssystem beginnt, erhält bei parallelen Geraden unendlich viele oder keine Lösungen und muss das Ergebnis erst mühsam deuten.

Geraden im Schrägbild zeichnen

Um eine Gerade im Schrägbild darzustellen, berechnet man zwei gut sichtbare Punkte, am besten Spurpunkte, und verbindet sie. Ein Spurpunkt mit der \(x_1x_2\)-Ebene liegt „auf dem Boden“ des Koordinatensystems und lässt sich leicht einzeichnen. Liegen beide Punkte zu nah beieinander, wählt man größere Parameterwerte. Bei der Kontrolle einer Rechnung ist eine solche Skizze sehr hilfreich: Zwei Geraden, die im Bild parallel aussehen, können trotzdem windschief sein, weil das Schrägbild Tiefe nur andeutet. Entscheidend ist daher immer die Rechnung, die Skizze dient nur der Orientierung und der Plausibilitätsprüfung.