Hypothesentests – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Arbeitsblatt zum Herunterladen als PDF

Formulieren Sie jeweils Nullhypothese und Gegenhypothese und geben Sie an, ob der Test rechtsseitig, linksseitig oder zweiseitig ist.

a) Eine Partei möchte nachweisen, dass sie die \(5\,\%\)-Hürde überspringt.
b) Ein Verbraucherverband vermutet, dass weniger als die angegebenen \(20\,\%\) der Schokoladeneier eine Sonderfigur enthalten.
c) Es soll geprüft werden, ob eine Münze fair ist.
d) Ein Pharmaunternehmen will zeigen, dass sein neues Medikament bei mehr als \(70\,\%\) der Patienten wirkt.

Ein Rauchmelder „testet“ ständig die Hypothese \(H_0\): „Es brennt nicht.“ Bei zu viel Rauch in der Luft schlägt er Alarm.

a) Beschreiben Sie den Fehler 1. Art und den Fehler 2. Art.
b) Welcher Fehler ist hier schwerwiegender? Begründen Sie.
c) Wie sollte der Hersteller die Empfindlichkeit einstellen?
d) Übertragen Sie: Bei einem Coronaschnelltest lautet \(H_0\): „Die Person ist nicht infiziert.“ Beschreiben Sie beide Fehler.

Ein rechtsseitiger Test mit \(H_0:p=0{,}4\) und \(n=50\) verwendet den Ablehnungsbereich \(\{27;\dots;50\}\).

a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art.
b) Ist der Test auf dem Signifikanzniveau \(5\,\%\) zulässig?
c) Wäre auch der Ablehnungsbereich \(\{26;\dots;50\}\) zulässig?
d) Berechnen Sie \(\beta\) für \(p_1=0{,}6\).

Bestimmen Sie für \(n=100\) und \(H_0:p\le0{,}2\) den Ablehnungsbereich des rechtsseitigen Tests auf dem Signifikanzniveau \(5\,\%\).

a) Geben Sie \(H_1\) und die Verteilung der Testgröße im Grenzfall an.
b) Bestimmen Sie den Ablehnungsbereich mit beiden Nachbarwerten.
c) Geben Sie die tatsächliche Irrtumswahrscheinlichkeit an.
d) Wie lautet die Entscheidungsregel bei \(23\) Treffern?

Bestimmen Sie für \(n=80\) und \(H_0:p\ge0{,}75\) den Ablehnungsbereich des linksseitigen Tests auf dem Signifikanzniveau \(5\,\%\).

a) Berechnen Sie \(\mu\) und \(\sigma\) im Grenzfall \(p=0{,}75\).
b) Bestimmen Sie den Ablehnungsbereich.
c) Geben Sie die tatsächliche Irrtumswahrscheinlichkeit an.
d) Wie entscheidet man bei \(54\) Treffern?

Eine Münze soll mit \(n=100\) Würfen auf Fairness getestet werden (\(\alpha=5\,\%\)).

a) Geben Sie \(H_0\) und \(H_1\) an.
b) Bestimmen Sie die linke Grenze des Ablehnungsbereichs.
c) Bestimmen Sie die rechte Grenze.
d) Geben Sie den Ablehnungsbereich und die tatsächliche Irrtumswahrscheinlichkeit an.

Emil wirft seinen selbst gedruckten Würfel \(120\)-mal. Er will mit \(\alpha=5\,\%\) prüfen, ob die Sechs häufiger fällt als bei einem fairen Würfel.

a) Formulieren Sie die Hypothesen.
b) Bestimmen Sie den Ablehnungsbereich.
c) Emil zählt \(27\) Sechsen. Wie entscheidet er?
d) Seine Freundin Clara wirft einen anderen Würfel und erhält \(31\) Sechsen. Formulieren Sie das Ergebnis in einem Satz.

Ein Hersteller garantiert auf seinen Tomatensamen eine Keimfähigkeit von mindestens \(90\,\%\). Eine Gärtnerei im Knoblauchsland bei Nürnberg zweifelt daran und sät \(200\) Samen aus.

a) Formulieren Sie die Hypothesen aus Sicht der Gärtnerei.
b) Bestimmen Sie den Ablehnungsbereich für \(\alpha=5\,\%\).
c) Es keimen \(168\) Samen. Wie entscheidet die Gärtnerei?
d) Beschreiben Sie den Fehler 1. Art im Sachzusammenhang und seine Folgen für den Hersteller.

Bisher bestehen \(60\,\%\) der Schülerinnen und Schüler einer Fahrschule in Dresden die theoretische Führerscheinprüfung im ersten Versuch. Die Fahrschule führt eine Lernapp ein und will nachweisen, dass die Quote gestiegen ist. Die nächsten \(50\) Prüflinge bilden die Stichprobe.

a) Formulieren Sie die Hypothesen.
b) Bestimmen Sie den Ablehnungsbereich für \(\alpha=5\,\%\).
c) \(38\) Prüflinge bestehen. Was darf die Fahrschule in ihrer Werbung schreiben?
d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Test eine Steigerung auf \(75\,\%\) übersieht.

Ein Paketdienst wirbt: „Höchstens \(10\,\%\) unserer Pakete kommen verspätet an.“ Ein Onlinehändler aus Bielefeld prüft \(100\) zufällig ausgewählte Sendungen.

a) Der Händler will die Werbeaussage widerlegen. Formulieren Sie die Hypothesen.
b) Bestimmen Sie den Ablehnungsbereich für \(\alpha=5\,\%\).
c) \(15\) Pakete sind verspätet. Entscheiden Sie.
d) Ab welcher Zahl verspäteter Pakete hätte der Händler bei \(\alpha=1\,\%\) widersprochen?

Für den Test mit \(n=100\), \(H_0:p\le0{,}2\) und Ablehnungsbereich \(\{28;\dots;100\}\) soll untersucht werden, wie gut er Abweichungen erkennt.

a) Begründen Sie: \(\beta(p_1)=P_{p_1}(X\le27)\).
b) Füllen Sie die Tabelle aus.
c) Beschreiben Sie, wie \(\beta\) von \(p_1\) abhängt.
d) Berechnen Sie die Güte \(1-\beta\) für \(p_1=0{,}35\) und deuten Sie sie.

Eine kleine Partei möchte vor der Landtagswahl in Thüringen nachweisen, dass sie die Fünfprozenthürde überspringen wird. Ein Institut befragt \(1\,000\) Wahlberechtigte.

a) Formulieren Sie die Hypothesen.
b) Bestimmen Sie den Ablehnungsbereich für \(\alpha=5\,\%\).
c) \(62\) Befragte nennen die Partei. Wie lautet das Testergebnis?
d) Die Partei verkündet: „Wir liegen bei \(6{,}2\,\%\) und sind sicher im Landtag.“ Nehmen Sie Stellung.

Beim Spieleabend des Mathe-Leistungskurses steht eine Urne auf dem Tisch. Sie ist entweder Urne A (\(30\,\%\) rote Kugeln) oder Urne B (\(60\,\%\) rote Kugeln). Man zieht \(20\)-mal mit Zurücklegen und entscheidet sich für B, wenn mindestens \(9\) rote Kugeln gezogen werden (Alternativtest mit \(H_0\): Urne A).

a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, sich irrtümlich für B zu entscheiden.
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, sich irrtümlich für A zu entscheiden.
c) Wie müsste man die Grenze legen, damit beide Fehler etwa gleich groß werden?
d) Begründen Sie, warum man beim Alternativtest beide Fehlerwahrscheinlichkeiten berechnen kann.

Laut Beipackzettel tritt eine bestimmte Nebenwirkung bei höchstens \(8\,\%\) der Patienten auf. Eine Hausärztin in Mainz beobachtet bei \(120\) Patienten \(15\) Fälle.

a) Formulieren Sie die Hypothesen der Ärztin, die eine höhere Rate vermutet.
b) Bestimmen Sie den Ablehnungsbereich für \(\alpha=5\,\%\).
c) Wie entscheidet sie?
d) Warum ist hier ein Fehler 2. Art besonders problematisch, und wie könnte man ihn verkleinern?

Ein Elektronikhersteller bezieht Displays von einem Zulieferer, der einen Ausschussanteil von höchstens \(3\,\%\) garantiert. Bei jeder Lieferung werden \(n\) Displays geprüft. Weil eine Reklamation teuer und aufwendig ist, wählt der Hersteller das Signifikanzniveau \(1\,\%\).

a) Formulieren Sie die Hypothesen.
b) Bestimmen Sie für \(n=200\) den Ablehnungsbereich.
c) Berechnen Sie für \(n=200\) die Wahrscheinlichkeit, eine Lieferung mit \(6\,\%\) Ausschuss nicht zu reklamieren.
d) Ergänzen Sie die Tabelle für \(n=400\).
e) Beurteilen Sie, welche Stichprobengröße der Hersteller wählen sollte.

Im Jahr 2002 berichteten Statistiker, dass eine belgische \(1\)-Euro-Münze beim Drehen auf dem Tisch häufiger auf „Kopf“ falle. Ein Mathe-Leistungskurs in Aachen will das mit \(200\) Würfen einer belgischen Münze überprüfen.

a) Begründen Sie, warum hier ein zweiseitiger Test sinnvoll ist, und formulieren Sie die Hypothesen.
b) Bestimmen Sie den Ablehnungsbereich für \(\alpha=5\,\%\).
c) Der Kurs erhält \(112\)-mal „Kopf“. Entscheiden Sie.
d) Welcher Anteil „Kopf“ wäre mindestens nötig gewesen, um die Fairness abzulehnen?
e) Ein Schüler schlägt vor, nach dem Ergebnis einen rechtsseitigen Test zu wählen, weil dann schon weniger Treffer reichen. Beurteilen Sie den Vorschlag.

Ein Spieleverlag behauptet, sein neues Kartenspiel werde von höchstens der Hälfte der Testspieler als „zu schwer“ bewertet. Ein Testmagazin will das Gegenteil nachweisen und befragt \(50\) Spieler. Es untersucht, wie sich die Wahl von \(\alpha\) auswirkt, wenn der wahre Anteil \(65\,\%\) beträgt.

a) Formulieren Sie die Hypothesen.
b) Füllen Sie die Tabelle aus.
c) Beschreiben Sie den Zusammenhang zwischen \(\alpha\) und \(\beta\).
d) Wie kann man beide Fehler gleichzeitig verkleinern?

Ein Süßwarenhersteller wirbt damit, dass jedes fünfte Schokoladenei eine Sammelfigur enthält. Eine Verbraucherzentrale öffnet \(150\) Eier aus verschiedenen Supermärkten und findet \(21\) Sammelfiguren.

a) Formulieren Sie die Hypothesen der Verbraucherzentrale.
b) Bestimmen Sie den Ablehnungsbereich für \(\alpha=5\,\%\).
c) Entscheiden Sie und formulieren Sie einen Antwortsatz.
d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art bei diesem Test.
e) Der Hersteller entgegnet, die Eier seien nicht zufällig ausgewählt worden. Erklären Sie, warum dieser Einwand wichtig ist.

Jan behauptet, er könne Markencola und Billigcola am Geschmack unterscheiden. Seine Mitschüler reichen ihm \(20\)-mal einen Becher, in dem zufällig eine der beiden Sorten ist. Wenn Jan nur rät, liegt er jedes Mal mit \(50\,\%\) richtig. Die Klasse will ihm nur glauben, wenn er auf dem Niveau \(5\,\%\) besser als Raten ist.

a) Formulieren Sie die Hypothesen.
b) Bestimmen Sie, wie viele richtige Antworten Jan mindestens geben muss.
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht er den Test, wenn er nur rät?
d) Jan erkennt die Sorte in Wahrheit mit \(80\,\%\). Wie wahrscheinlich fällt er trotzdem durch?
e) Wie müsste der Versuch geändert werden, damit Jan mit seinen \(80\,\%\) mit mindestens \(95\,\%\) Wahrscheinlichkeit besteht? Geben Sie eine Idee an.

Ein rechtsseitiger Test mit \(H_0:p\le0{,}5\) und \(\alpha=5\,\%\) soll eine Trefferwahrscheinlichkeit von \(p_1=0{,}7\) mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(90\,\%\) erkennen, also \(\beta\le0{,}1\).

a) Begründen Sie mit der Normalverteilung: Die Grenze \(k\) des Ablehnungsbereichs liegt etwa bei \(0{,}5n+1{,}645\cdot0{,}5\sqrt n\), und für \(\beta\le0{,}1\) muss \(k\) etwa \(0{,}7n-1{,}282\sqrt{0{,}21}\sqrt n\) nicht überschreiten.
b) Leiten Sie daraus die Näherung \(\sqrt n\ge\frac{1{,}645\cdot0{,}5+1{,}282\sqrt{0{,}21}}{0{,}2}\) her und berechnen Sie \(n\).
c) Überprüfen Sie mit der Binomialverteilung, dass \(n=53\) die Bedingung erfüllt (Ablehnungsbereich ab \(33\)).
d) Warum liefert die exakte Rechnung ein etwas größeres \(n\) als die Näherung?