Hypothesentests – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Arbeitsblatt Lösungen zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1

   Lösungsweg: Die Aussage, die man nachweisen möchte, kommt immer in die Gegenhypothese \(H_1\); die Nullhypothese ist das Gegenteil und enthält den Grenzwert \(p_0\). Die Richtung von \(H_1\) bestimmt die Testart: „größer“ rechtsseitig, „kleiner“ linksseitig, „ungleich“ zweiseitig.

   a) \(H_0:p\le0{,}05\), \(H_1:p>0{,}05\); rechtsseitig.
   b) \(H_0:p\ge0{,}2\), \(H_1:p<0{,}2\); linksseitig.
   c) \(H_0:p=0{,}5\), \(H_1:p\ne0{,}5\); zweiseitig.
   d) \(H_0:p\le0{,}7\), \(H_1:p>0{,}7\); rechtsseitig. Die nachzuweisende Aussage steht jeweils in \(H_1\).

2. Lösung zu Aufgabe 2

   Lösungsweg: Der Fehler 1. Art bedeutet, \(H_0\) abzulehnen, obwohl sie stimmt; der Fehler 2. Art bedeutet, \(H_0\) beizubehalten, obwohl sie falsch ist. Diese Definitionen werden in die Sprache der Situation übersetzt, danach wird abgewogen, welcher Fehler die schlimmeren Folgen hat.

   a) Fehler 1. Art: Alarm, obwohl es nicht brennt (Fehlalarm, etwa beim Kochen). Fehler 2. Art: kein Alarm, obwohl es brennt.
   b) Der Fehler 2. Art, denn er gefährdet Menschenleben; ein Fehlalarm ist nur lästig.
   c) Sehr empfindlich: Man nimmt mehr Fehlalarme (größeres \(\alpha\)) in Kauf, um \(\beta\) klein zu halten.
   d) Fehler 1. Art: positives Ergebnis bei einer gesunden Person (falsch positiv). Fehler 2. Art: negatives Ergebnis bei einer infizierten Person (falsch negativ).

3. Lösung zu Aufgabe 3

   Lösungsweg: Die Irrtumswahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit des Ablehnungsbereichs unter der Annahme \(p=p_0\). Man berechnet sie über das Gegenereignis und vergleicht mit \(\alpha\). Für \(\beta\) wird dagegen der Annahmebereich mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p_1\) berechnet.

   a) \(\alpha^*=P(X\ge27)=1-P(X\le26)\approx0{,}0314\).
   b) Ja, denn \(0{,}0314\le0{,}05\).
   c) \(P(X\ge26)\approx0{,}0573>0{,}05\): nicht zulässig. Der Bereich \(\{27;\dots;50\}\) ist also der größtmögliche.
   d) \(\beta=P_{0,6}(X\le26)\approx0{,}1562\).

4. Lösung zu Aufgabe 4

   Lösungsweg: Beim rechtsseitigen Test sucht man das kleinste \(k\), für das \(P(X\ge k)\le\alpha\) gilt. Dazu tabelliert man \(1-P(X\le k-1)\) in der Nähe von \(\mu+2\sigma\) und notiert beide Nachbarwerte. Die Entscheidungsregel ergibt sich direkt aus dem Ablehnungsbereich.

   a) \(H_1:p>0{,}2\); \(X\sim B(100;0{,}2)\).
   b) \(P(X\ge27)\approx0{,}0558>0{,}05\), \(P(X\ge28)\approx0{,}0342\le0{,}05\): Ablehnungsbereich \(\{28;\dots;100\}\).
   c) \(\alpha^*\approx0{,}0342\).
   d) \(23\) liegt im Annahmebereich: \(H_0\) wird nicht abgelehnt.

5. Lösung zu Aufgabe 5

   Lösungsweg: Beim linksseitigen Test liegt der Ablehnungsbereich bei kleinen Trefferzahlen. Gesucht ist das größte \(k\) mit \(P(X\le k)\le\alpha\). Erwartungswert und Standardabweichung helfen beim Suchen, denn die Grenze liegt etwa bei \(\mu-1{,}645\sigma\).

   a) \(\mu=60\), \(\sigma=\sqrt{80\cdot0{,}75\cdot0{,}25}=\sqrt{15}\approx3{,}87\).
   b) \(P(X\le53)\approx0{,}0499\le0{,}05\), \(P(X\le54)\approx0{,}0805>0{,}05\): Ablehnungsbereich \(\{0;\dots;53\}\).
   c) \(\alpha^*\approx0{,}0499\).
   d) \(54\) liegt im Annahmebereich: \(H_0\) wird beibehalten.

6. Lösung zu Aufgabe 6

   Lösungsweg: Beim zweiseitigen Test wird \(\alpha\) gleichmäßig auf beide Seiten verteilt. Für die linke Grenze gilt \(P(X\le k)\le0{,}025\), die rechte Grenze folgt hier aus der Symmetrie der Verteilung mit \(p=0{,}5\). Die tatsächliche Irrtumswahrscheinlichkeit ist die Summe beider Ränder.

   a) \(H_0:p=0{,}5\), \(H_1:p\ne0{,}5\).
   b) Größtes \(k\) mit \(P(X\le k)\le0{,}025\): \(P(X\le39)\approx0{,}0176\), \(P(X\le40)\approx0{,}0284\); also \(k=39\).
   c) Aus Symmetrie: \(P(X\ge61)\approx0{,}0176\le0{,}025\); also ab \(61\).
   d) \(\{0;\dots;39\}\cup\{61;\dots;100\}\); \(\alpha^*\approx2\cdot0{,}0176=0{,}0352\).

7. Lösung zu Aufgabe 7

   Lösungsweg: Emil vermutet zu viele Sechsen, also ein rechtsseitiger Test mit \(p_0=\frac16\). Nach der Bestimmung des Ablehnungsbereichs wird das Stichprobenergebnis eingeordnet. Wichtig ist die vorsichtige Formulierung: Ein nicht signifikantes Ergebnis beweist nicht, dass der Würfel fair ist.

   a) \(H_0:p\le\frac16\), \(H_1:p>\frac16\); \(X\sim B\left(120;\frac16\right)\) im Grenzfall.
   b) \(P(X\ge27)\approx0{,}0597>0{,}05\); \(P(X\ge28)\approx0{,}0373\le0{,}05\). Ablehnungsbereich \(\{28;\dots;120\}\).
   c) \(27\) liegt nicht im Ablehnungsbereich; \(H_0\) wird nicht abgelehnt. Das heißt nicht, dass der Würfel fair ist.
   d) \(31\ge28\): Auf dem Signifikanzniveau \(5\,\%\) kann man nachweisen, dass Claras Würfel die Sechs zu häufig zeigt.

8. Lösung zu Aufgabe 8

   Lösungsweg: Die Gärtnerei möchte eine zu geringe Keimfähigkeit nachweisen, also steht \(p<0{,}9\) in \(H_1\) und der Test ist linksseitig. Mit dem Ablehnungsbereich wird das Ergebnis der Aussaat bewertet. Der Fehler 1. Art wird aus Sicht des Herstellers gedeutet.

   a) \(H_0:p\ge0{,}9\), \(H_1:p<0{,}9\).
   b) \(P(X\le172)\approx0{,}0434\le0{,}05\), \(P(X\le173)\approx0{,}0672>0{,}05\): \(\{0;\dots;172\}\).
   c) \(168\le172\): \(H_0\) wird abgelehnt; die Gärtnerei reklamiert.
   d) Die Gärtnerei reklamiert, obwohl das Saatgut die Garantie erfüllt. Der Hersteller müsste zu Unrecht Ersatz leisten oder verliert einen Kunden.

9. Lösung zu Aufgabe 9

   Lösungsweg: Die Fahrschule will eine höhere Bestehensquote nachweisen, das ergibt einen rechtsseitigen Test mit \(p_0=0{,}6\). Nach Ablehnungsbereich und Entscheidung wird \(\beta\) für \(p_1=0{,}75\) berechnet: die Wahrscheinlichkeit, dass der Test eine echte Verbesserung übersieht.

   a) \(H_0:p\le0{,}6\), \(H_1:p>0{,}6\).
   b) \(P(X\ge36)\approx0{,}0540>0{,}05\), \(P(X\ge37)\approx0{,}0280\le0{,}05\): \(\{37;\dots;50\}\).
   c) \(38\ge37\): Die Steigerung ist auf dem \(5\,\%\)-Niveau signifikant. Die Fahrschule darf schreiben, dass die Bestehensquote nachweislich gestiegen ist.
   d) \(\beta=P_{0,75}(X\le36)\approx0{,}3630\).

10. Lösung zu Aufgabe 10

    Lösungsweg: Der Händler will die Werbeaussage widerlegen, also gehört „mehr als \(10\,\%\) verspätet“ in \(H_1\). Der rechtsseitige Ablehnungsbereich wird bestimmt und das Stichprobenergebnis eingeordnet. Zum Vergleich wird die Grenze für das strengere Niveau \(1\,\%\) berechnet.

    a) \(H_0:p\le0{,}1\), \(H_1:p>0{,}1\).
    b) \(P(X\ge15)\approx0{,}0726>0{,}05\), \(P(X\ge16)\approx0{,}0399\le0{,}05\): \(\{16;\dots;100\}\).
    c) \(15\) liegt im Annahmebereich; die Werbeaussage lässt sich nicht widerlegen.
    d) Ab \(19\) verspäteten Paketen: \(P(X\ge19)\approx0{,}0046\le0{,}01\).

11. Lösung zu Aufgabe 11

    Lösungsweg: Für jedes \(p_1\) aus der Gegenhypothese ist \(\beta\) die Wahrscheinlichkeit des Annahmebereichs. Die Tabelle zeigt, wie die Trennschärfe des Tests mit dem Abstand zwischen \(p_1\) und \(p_0\) wächst. Die Güte \(1-\beta\) wird im Sachzusammenhang gedeutet.

    a) Ein Fehler 2. Art liegt vor, wenn \(X\) im Annahmebereich \(\{0;\dots;27\}\) liegt, obwohl \(p=p_1>0{,}2\) gilt.
    b) \(\beta(0{,}25)\approx0{,}7224\); \(\beta(0{,}3)\approx0{,}2964\); \(\beta(0{,}35)\approx0{,}0558\); \(\beta(0{,}4)\approx0{,}0046\).
    c) Je weiter \(p_1\) von \(0{,}2\) entfernt ist, desto kleiner ist \(\beta\). Kleine Abweichungen wie \(p_1=0{,}25\) werden meist übersehen.
    d) \(1-\beta\approx0{,}9442\): Beträgt der wahre Anteil \(35\,\%\), erkennt der Test dies in etwa \(94\,\%\) der Fälle.

12. Lösung zu Aufgabe 12

    Lösungsweg: Die Partei möchte zeigen, dass sie über \(5\,\%\) liegt, also rechtsseitiger Test. Wegen \(n=1\,000\) liegt die Grenze nur wenig über dem Erwartungswert. Am Ende wird die Aussage der Partei kritisch geprüft, denn ein Test liefert nie Sicherheit.

    a) \(H_0:p\le0{,}05\), \(H_1:p>0{,}05\).
    b) \(\mu=50\), \(\sigma\approx6{,}89\). \(P(X\ge62)\approx0{,}0511>0{,}05\), \(P(X\ge63)\approx0{,}0384\le0{,}05\): \(\{63;\dots;1\,000\}\).
    c) \(62<63\): \(H_0\) wird nicht abgelehnt. Ein Überspringen der Hürde ist nicht signifikant nachgewiesen.
    d) Die Aussage ist zu stark: \(6{,}2\,\%\) ist nur ein Schätzwert, und selbst ein signifikantes Ergebnis wäre keine Sicherheit. Außerdem kann sich die Stimmung bis zur Wahl ändern.

13. Lösung zu Aufgabe 13

    Lösungsweg: Beim Alternativtest stehen sich zwei konkrete Werte von \(p\) gegenüber. Beide Fehlerwahrscheinlichkeiten lassen sich deshalb direkt berechnen: \(\alpha\) mit \(p=0{,}3\) über den Ablehnungsbereich, \(\beta\) mit \(p=0{,}6\) über den Annahmebereich. Danach wird die Grenze variiert.

    a) \(\alpha=P_{0,3}(X\ge9)=1-P_{0,3}(X\le8)\approx0{,}1133\).
    b) \(\beta=P_{0,6}(X\le8)\approx0{,}0565\).
    c) Grenze \(8\): \(\alpha\approx0{,}2277\), \(\beta\approx0{,}0210\). Grenze \(9\) ist ausgewogener; bei Grenze \(10\) wäre \(\alpha\approx0{,}0480\), \(\beta\approx0{,}1275\). Am ausgewogensten ist also Grenze \(9\).
    d) Beide Hypothesen nennen genau einen Wert von \(p\); deshalb ist die Verteilung der Testgröße in beiden Fällen bekannt.

14. Lösung zu Aufgabe 14

    Lösungsweg: Die Ärztin vermutet eine erhöhte Nebenwirkungsrate: rechtsseitiger Test mit \(p_0=0{,}08\). Nach dem Ablehnungsbereich wird entschieden. Besonders wichtig ist hier die Diskussion des Fehlers 2. Art, weil er Patienten gefährden kann.

    a) \(H_0:p\le0{,}08\), \(H_1:p>0{,}08\).
    b) \(P(X\ge15)\approx0{,}0564\), \(P(X\ge16)\approx0{,}0301\le0{,}05\): \(\{16;\dots;120\}\).
    c) \(15<16\): \(H_0\) wird nicht abgelehnt; die Beobachtung reicht nicht für eine Meldung als signifikant erhöhte Rate.
    d) Eine tatsächlich erhöhte Nebenwirkungsrate bliebe unentdeckt und Patienten wären gefährdet. Abhilfe: größere Stichprobe (Daten mehrerer Praxen) oder größeres \(\alpha\).

15. Lösung zu Aufgabe 15

    Lösungsweg: Für beide Stichprobengrößen werden Ablehnungsbereich und \(\beta\) berechnet und in die Tabelle eingetragen. Der Vergleich zeigt, dass ein größerer Stichprobenumfang die Trennschärfe stark verbessert. Die Entscheidung berücksichtigt Prüfaufwand und Risiko.

    a) \(H_0:p\le0{,}03\), \(H_1:p>0{,}03\).
    b) \(P(X\ge12)\approx0{,}0184>0{,}01\), \(P(X\ge13)\approx0{,}0078\le0{,}01\): \(\{13;\dots;200\}\).
    c) \(\beta=P_{0,06}(X\le12)\approx0{,}5760\): Mehr als die Hälfte solcher Lieferungen würde angenommen.
    d) \(n=400\): \(P(X\ge22)\approx0{,}0053\le0{,}01\), Ablehnungsbereich \(\{22;\dots;400\}\); \(\beta=P_{0,06}(X\le21)\approx0{,}3073\).
    e) Mit \(n=200\) ist der Test sehr unscharf. \(n=400\) verdoppelt den Prüfaufwand, senkt \(\beta\) aber deutlich; wenn die Prüfung nicht zerstörend ist, lohnt sich die größere Stichprobe.

16. Lösung zu Aufgabe 16

    Lösungsweg: Ohne Vorwissen über die Richtung einer Abweichung ist ein zweiseitiger Test angebracht. Der Ablehnungsbereich besteht aus zwei symmetrischen Rändern mit je höchstens \(2{,}5\,\%\). Am Ende wird begründet, warum die Testart nicht nachträglich gewählt werden darf.

    a) Vor dem Versuch weiß man nicht, in welche Richtung eine Abweichung geht. \(H_0:p=0{,}5\), \(H_1:p\ne0{,}5\).
    b) Links: \(P(X\le85)\approx0{,}0200\le0{,}025\), \(P(X\le86)\approx0{,}0280\). Rechts symmetrisch ab \(115\). Ablehnungsbereich \(\{0;\dots;85\}\cup\{115;\dots;200\}\).
    c) \(112\) liegt im Annahmebereich: Die Fairness kann nicht abgelehnt werden.
    d) \(115\) von \(200\), also \(57{,}5\,\%\).
    e) Das ist unzulässig: Die Testart muss vor der Datenerhebung feststehen. Wer sie nachträglich wählt, erhöht die tatsächliche Irrtumswahrscheinlichkeit.

17. Lösung zu Aufgabe 17

    Lösungsweg: Für drei Signifikanzniveaus werden jeweils Ablehnungsbereich, tatsächliches \(\alpha^*\) und \(\beta\) für \(p_1=0{,}65\) berechnet. Die Tabelle macht den Zusammenhang sichtbar: Wer den Fehler 1. Art verkleinert, vergrößert bei gleichem \(n\) den Fehler 2. Art.

    a) \(H_0:p\le0{,}5\), \(H_1:p>0{,}5\).
    b) \(\alpha=10\,\%\): \(\{31;\dots;50\}\), \(\alpha^*\approx0{,}0595\), \(\beta\approx0{,}2736\).
    \(\alpha=5\,\%\): \(\{32;\dots;50\}\), \(\alpha^*\approx0{,}0325\), \(\beta\approx0{,}3784\).
    \(\alpha=1\,\%\): \(\{34;\dots;50\}\), \(\alpha^*\approx0{,}0077\), \(\beta\approx0{,}6111\).
    c) Je kleiner \(\alpha\), desto kleiner der Ablehnungsbereich und desto größer \(\beta\). Bei festem \(n\) kann man nicht beide Fehler zugleich verkleinern.
    d) Nur durch einen größeren Stichprobenumfang \(n\).

18. Lösung zu Aufgabe 18

    Lösungsweg: Die Verbraucherzentrale will zeigen, dass weniger Figuren enthalten sind, also linksseitiger Test mit \(p_0=0{,}2\). Ablehnungsbereich und Entscheidung werden bestimmt. Abschließend wird die Voraussetzung einer zufälligen und unabhängigen Stichprobe diskutiert.

    a) \(H_0:p\ge0{,}2\), \(H_1:p<0{,}2\).
    b) \(P(X\le21)\approx0{,}0372\le0{,}05\), \(P(X\le22)\approx0{,}0590>0{,}05\): \(\{0;\dots;21\}\).
    c) \(21\) liegt im Ablehnungsbereich: Auf dem Signifikanzniveau \(5\,\%\) ist nachgewiesen, dass weniger als jedes fünfte Ei eine Sammelfigur enthält.
    d) Höchstens \(\alpha^*\approx0{,}0372\).
    e) Der Test setzt eine Bernoulli-Kette voraus. Stammen die Eier etwa aus einer einzigen Charge, können sie voneinander abhängen, und das Ergebnis ist nicht auf die gesamte Produktion übertragbar.

19. Lösung zu Aufgabe 19

    Lösungsweg: Raten entspricht \(p=0{,}5\); Jans Fähigkeit soll nachgewiesen werden und steht deshalb in \(H_1\). Nach der Mindestanzahl richtiger Antworten werden \(\alpha^*\) und \(\beta\) für seine wahre Trefferquote berechnet. Ein größerer Versuchsumfang würde \(\beta\) senken.

    a) \(H_0:p\le0{,}5\) (Jan rät), \(H_1:p>0{,}5\).
    b) \(P(X\ge14)\approx0{,}0577>0{,}05\), \(P(X\ge15)\approx0{,}0207\le0{,}05\): mindestens \(15\) richtige Antworten.
    c) \(\alpha^*\approx0{,}0207\).
    d) \(\beta=P_{0,8}(X\le14)\approx0{,}1958\).
    e) Mehr Versuche, zum Beispiel \(40\) Becher: Dann liegen die Verteilungen für \(p=0{,}5\) und \(p=0{,}8\) relativ zueinander weiter auseinander, und \(\beta\) sinkt.

20. Lösung zu Aufgabe 20

    Lösungsweg: Mit der Normalverteilung werden die Grenze des Ablehnungsbereichs und die Bedingung für \(\beta\) als Ungleichungen in \(\sqrt n\) geschrieben. Die Näherung liefert einen Startwert, die exakte Binomialrechnung bestätigt den Mindestumfang. Die Abweichung erklärt sich durch die diskrete Verteilung.

    a) Unter \(H_0\) ist \(X\) näherungsweise \(N(0{,}5n;0{,}5\sqrt n)\); die oberen \(5\,\%\) beginnen bei \(\mu+1{,}645\sigma\). Unter \(p_1\) ist \(\sigma=\sqrt{0{,}21n}\); \(\beta=P(X\lt k)\le0{,}1\) verlangt \(k\le\mu_1-1{,}282\sigma_1\).
    b) \(0{,}5n+0{,}8225\sqrt n\le0{,}7n-1{,}282\sqrt{0{,}21n}\Leftrightarrow0{,}2\sqrt n\ge0{,}8225+0{,}5875\Rightarrow\sqrt n\ge7{,}050\Rightarrow n\ge49{,}7\), also etwa \(50\).
    c) \(n=53\): \(P_{0,5}(X\ge33)\approx0{,}0492\le0{,}05\) und \(P_{0,5}(X\ge32)\approx0{,}0845>0{,}05\); \(\beta=P_{0,7}(X\le32)\approx0{,}0862\le0{,}1\). Für \(n=50\) bis \(52\) gilt dagegen \(\beta>0{,}1\) (z. B. \(n=52\): \(\beta\approx0{,}1202\)).
    d) Die Binomialverteilung ist diskret: Der Ablehnungsbereich kann nur in ganzen Schritten wachsen, und \(\alpha^*\) liegt meist deutlich unter \(5\,\%\). Dadurch wird \(\beta\) etwas größer als bei der stetigen Näherung.