Funktionenscharen – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Lösungen zur Klassenarbeit zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1 (6 BE/Punkte)

   Lösungsweg und Bewertung: Die Nullstellen erhält man durch Ausklammern von \(x\) (zwei BE). Für den Tiefpunkt wird nach \(x\) abgeleitet, \(a\) bleibt als Konstante stehen; die Nullstelle der Ableitung liefert die Stelle, Einsetzen den Funktionswert (zwei BE). Für die Ortskurve wird \(a\) aus den Koordinaten eliminiert (zwei BE).

   a) \(x(x-2a)=0\Rightarrow x=0\), \(x=2a\). (2 BE)
   b) \(f_a\,^{\prime}(x)=2x-2a=0\Rightarrow x=a\); \(T(a|-a^2)\). (2 BE)
   c) \(x=a\Rightarrow y=-x^2\). (2 BE)

2. Lösung zu Aufgabe 2 (4 BE/Punkte)

   Lösungsweg und Bewertung: Man ordnet den Funktionsterm nach dem Parameter und klammert \(a\) aus. Der Funktionswert hängt nicht von \(a\) ab, wenn der Faktor vor \(a\) null ist; das liefert die beiden \(x\)-Werte. Durch Einsetzen erhält man die festen Punkte. Ansatz, Lösen und Punkte bringen zusammen vier Bewertungseinheiten.

   Der Term hängt nicht von \(a\) ab, wenn \(x^2-4=0\): \(x=\pm2\), jeweils \(y=1\). Punkte \((-2|1)\) und \((2|1)\). (4 BE)

3. Lösung zu Aufgabe 3 (4 BE/Punkte)

   Lösungsweg und Bewertung: Eine quadratische Funktion hat genau eine Nullstelle, wenn die Diskriminante null ist. Daraus entsteht eine Gleichung für \(a\) mit zwei Lösungen (zwei BE). Für jede Lösung wird der Term als Quadrat geschrieben und die doppelte Nullstelle angegeben (zwei BE). Ein Antwortsatz fasst beide Fälle zusammen. Kontrolle: Für \(a=4\) gilt \(f_4(2)=4-8+4=0\) und \(f_4^{\prime}(2)=0\): Die Parabel berührt die \(x\)-Achse.

   Diskriminante \(a^2-16=0\Rightarrow a=\pm4\). \(a=4\): \((x-2)^2\), Nullstelle \(x=2\); \(a=-4\): \((x+2)^2\), Nullstelle \(x=-2\). (4 BE)

4. Lösung zu Aufgabe 4 (4 BE/Punkte)

   Lösungsweg und Bewertung: Die Ableitung wird mit der Produktregel gebildet, der Faktor \(a\,\mathrm e^{-x}\) ausgeklammert und null gesetzt; der Vorzeichenwechsel bestätigt den Hochpunkt, und der Funktionswert ergibt \(\frac a{\mathrm e}\) (drei BE). Für die zweite Frage setzt man diesen Wert gleich \(1\) und löst nach \(a\) (eine BE).

   a) \(f_a\,^{\prime}(x)=a\,\mathrm e^{-x}(1-x)=0\Rightarrow x=1\), Vorzeichenwechsel \(+\to-\); \(f_a(1)=\frac a{\mathrm e}\). (3 BE)
   b) \(a=\mathrm e\). (1 BE)

5. Lösung zu Aufgabe 5 (2 BE/Punkte)

   Lösungsweg und Bewertung: Für jede einzelne Funktion der Schar ist der Parameter eine feste Zahl; abgeleitet wird nur nach der Variablen \(x\). Deshalb bleibt \(a\) nach der Faktorregel als Vorfaktor stehen. Für die Begründung und für die korrekte Ableitung gibt es je eine Bewertungseinheit.

   Für jede einzelne Funktion der Schar ist \(a\) fest; abgeleitet wird nur nach der Variablen \(x\): \(f_a\,^{\prime}(x)=3ax^2\) (Faktorregel). (2 BE)

Gesamt : 20 Punkte