Funktionenscharen – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Arbeitsblatt zum Herunterladen als PDF

Gegeben ist die Schar \(f_a(x)=ax^2+1\) mit \(a\in\mathbb R\).

a) Skizzieren Sie die Graphen für \(a=2\), \(a=0{,}5\), \(a=0\) und \(a=-1\).
b) Beschreiben Sie, wie \(a\) die Form des Graphen beeinflusst.
c) Welcher Punkt liegt auf allen Graphen?
d) Für welche \(a\) hat \(f_a\) Nullstellen? Geben Sie sie an.

Bestimmen Sie die Nullstellen in Abhängigkeit vom Parameter.

a) \(f_a(x)=x^2-2ax\)
b) \(g_a(x)=x^2-a^2\)
c) \(h_a(x)=x^3-ax\) mit \(a>0\)
d) \(k_a(x)=(x-a)\,\mathrm{e}^{x}\)

Gegeben ist \(f_a(x)=x^3-3a^2x\) mit \(a>0\).

a) Bestimmen Sie die Extrempunkte in Abhängigkeit von \(a\).
b) Zeigen Sie, dass der Hochpunkt auf der Kurve \(y=-2x^3\) liegt.
c) Bestimmen Sie die Ortskurve der Tiefpunkte.
d) Für welches \(a\) liegt der Tiefpunkt bei \(y=-16\)?

Gegeben ist \(f_a(x)=x^3-3ax^2\) mit \(a\ne0\).

a) Bestimmen Sie den Wendepunkt.
b) Bestimmen Sie die Ortskurve der Wendepunkte.
c) Berechnen Sie die Steigung im Wendepunkt.
d) Für welches \(a\) verläuft die Wendetangente durch den Ursprung?

Untersuchen Sie, ob alle Graphen der Schar gemeinsame Punkte haben.

a) \(f_a(x)=a(x^2-4)+1\)
b) \(g_a(x)=ax^2-(a+1)x+1\)
c) \(h_a(x)=x^2+ax+a\)

Bestimmen Sie den Parameter so, dass die Bedingung erfüllt ist.

a) \(f_a(x)=x^2-ax+4\) hat genau eine Nullstelle.
b) \(g_a(x)=x^3-ax\) hat bei \(x=2\) eine Extremstelle.
c) \(h_a(x)=ax^2+2x\) hat einen Hochpunkt mit \(y\)-Wert \(2\).
d) Der Graph von \(k_a(x)=\mathrm e^{ax}\) hat bei \(x=0\) die Steigung \(3\).

Gegeben ist \(f_a(x)=x\,\mathrm e^{-ax}\) mit \(a>0\).

a) Bestimmen Sie \(f_a\,^{\prime}\) mit der Produktregel.
b) Bestimmen Sie den Hochpunkt.
c) Bestimmen Sie die Ortskurve der Hochpunkte.
d) Für welches \(a\) liegt der Hochpunkt bei \(x=4\)? Wie hoch ist er dann?

Gegeben ist \(f_a(x)=\ln x-ax\) mit \(a>0\) und \(x>0\).

a) Bestimmen Sie die Extremstelle und die Art des Extremums.
b) Geben Sie den Extrempunkt an.
c) Bestimmen Sie die Ortskurve.
d) Für welches \(a\) berührt der Graph die \(x\)-Achse?

Für die Konzentration eines Schmerzmittels im Blut gilt \(c_a(t)=a\,t\,\mathrm e^{-0{,}5t}\) (\(t\) in Stunden nach der Einnahme, \(c_a\) in mg/l). Der Parameter \(a>0\) hängt von der Dosis ab. Wirksam ist das Mittel ab \(2\) mg/l, ab \(10\) mg/l treten Nebenwirkungen auf.

a) Zeigen Sie, dass die höchste Konzentration unabhängig von \(a\) nach \(2\) Stunden erreicht wird.
b) Berechnen Sie die höchste Konzentration für \(a=5\).
c) Für welche Werte von \(a\) treten keine Nebenwirkungen auf?
d) Für \(a=5\): Wann wird die Wirkschwelle \(2\) mg/l nach dem Maximum wieder unterschritten? (Näherung mit dem Taschenrechner)
e) Beschreiben Sie, wie sich der Graph für größere \(a\) verändert.

Ein Wasserstrahl aus einem Gartenschlauch wird durch \(f_a(x)=ax-0{,}05(1+a^2)x^2\) beschrieben (\(x\) waagerechte Entfernung, \(f_a(x)\) Höhe über der Düse, beides in m; \(a>0\) ist die Anfangssteigung).

a) Berechnen Sie die Wurfweite \(w(a)\).
b) Bestimmen Sie die maximale Wurfweite und den zugehörigen Winkel.
c) Berechnen Sie die größte Höhe \(h(a)\) des Strahls.
d) Welche Steigungen führen zu einer Weite von \(8\) m? Vergleichen Sie die Höhen.
e) Ein Beet beginnt \(9\) m entfernt. Kann Frau Petersen es erreichen?

Ein Hersteller von Fahrradhelmen kalkuliert mit dem Verkaufspreis \(p\) (in €) pro Helm. Der Gewinn bei \(x\) verkauften Helmen (in Hundert Stück) beträgt \(G_p(x)=(p-20)x-0{,}5x^2-100\) (in Hundert €).

a) Bestimmen Sie die gewinnmaximale Menge in Abhängigkeit von \(p\).
b) Berechnen Sie den maximalen Gewinn \(G_{\max}(p)\).
c) Ab welchem Preis kann überhaupt Gewinn erzielt werden?
d) Bei \(p=40\,€\): Wie viele Helme sollte er verkaufen, und welcher Gewinn ergibt sich?

Die Höhe einer Sonnenblume (in m) wird durch \(h_k(t)=2-2\,\mathrm e^{-kt}\) modelliert (\(t\) in Wochen nach dem Auspflanzen, \(k>0\) hängt von Sorte und Standort ab).

a) Welche Höhe hat die Pflanze beim Auspflanzen, und welcher Höhe nähert sie sich?
b) Bestimmen Sie \(k\) so, dass die Sonnenblume nach \(4\) Wochen \(1\) m hoch ist.
c) Berechnen Sie für dieses \(k\) die Wachstumsgeschwindigkeit nach \(4\) Wochen.
d) Zeigen Sie: \(h_k\,^{\prime}(t)=k\,(2-h_k(t))\). Deuten Sie die Gleichung.

Bearbeiten Sie die Flächenaufgaben.

a) Berechnen Sie die Fläche zwischen dem Graphen von \(f_a(x)=ax(3-x)\) (\(a>0\)) und der \(x\)-Achse.
b) Für welches \(a\) beträgt diese Fläche \(9\) FE?
c) Berechnen Sie die Fläche zwischen \(g(x)=x^2\) und \(h_a(x)=ax\) (\(a>0\)).
d) Für welches \(a\) beträgt diese Fläche \(36\) FE?

Gegeben ist \(f_a(x)=x^2+a\).

a) Bestimmen Sie die Tangente an \(f_a\) im Punkt mit \(x=1\).
b) Für welches \(a\) verläuft diese Tangente durch den Ursprung?
c) Zeigen Sie: Alle Tangenten an der Stelle \(x=1\) sind parallel.
d) Für welches \(a\) berührt der Graph die Gerade \(y=2x\)?

Gegeben ist \(f_a(x)=x^3-ax\) mit \(a\in\mathbb R\).

a) Zeigen Sie, dass alle Graphen punktsymmetrisch zum Ursprung sind.
b) Untersuchen Sie, für welche \(a\) der Graph Extrempunkte hat, und bestimmen Sie diese.
c) Bestimmen Sie die Ortskurve der Extrempunkte.
d) Bestimmen Sie die Steigung der Tangente im Ursprung und beschreiben Sie, was für \(a=0\) passiert.
e) Für welches \(a\) hat der Tiefpunkt den \(y\)-Wert \(-2\)?

Gegeben ist \(f_k(x)=(x-k)\,\mathrm e^x\) mit \(k\in\mathbb R\).

a) Bestimmen Sie Nullstelle und \(y\)-Achsenabschnitt.
b) Zeigen Sie: \(f_k\,^{\prime}(x)=(x-k+1)\,\mathrm e^x\) und \(f_k\,^{\prime\prime}(x)=(x-k+2)\,\mathrm e^x\).
c) Bestimmen Sie Tiefpunkt und Wendepunkt.
d) Bestimmen Sie die Ortskurve der Tiefpunkte.
e) Zeigen Sie, dass sich zwei verschiedene Graphen der Schar nie schneiden.

Ein Torbogen hat die Form \(f_a(x)=a-x^2\) (\(a>0\), in m). Unter dem Bogen soll ein rechteckiges Tor stehen, dessen obere Ecken auf dem Bogen liegen.

a) Stellen Sie den Flächeninhalt \(A(u)\) des Tores in Abhängigkeit von der halben Breite \(u\) auf.
b) Bestimmen Sie die Breite des größten Tores in Abhängigkeit von \(a\).
c) Zeigen Sie: Das größte Tor ist immer genau \(\frac23\) so hoch wie der Bogen.
d) Der Bogen ist \(6\) m hoch. Wie groß ist das größte Tor?

Ein Betrieb modelliert seine Kosten mit \(K_a(x)=x^3-6x^2+ax+32\) (\(x\) in Tausend Stück, \(K\) in Tausend €, \(a>0\)). Eine sinnvolle Kostenfunktion muss streng monoton steigen.

a) Berechnen Sie \(K_a\,^{\prime}(x)\).
b) Für welche \(a\) ist \(K_a\) streng monoton steigend? (Hinweis: Diskriminante.)
c) Bestimmen Sie den Wendepunkt und deuten Sie ihn als Übergang vom degressiven zum progressiven Kostenanstieg.
d) Für \(a=15\): Bestimmen Sie die minimalen Grenzkosten.

Gegeben ist \(g_a(x)=ax^2-(a+1)x+1\) mit \(a\ne0\).

a) Zeigen Sie, dass alle Graphen durch \(P(0|1)\) und \(Q(1|0)\) gehen.
b) Für welches \(a\) hat der Graph in \(Q\) eine waagerechte Tangente?
c) Für welches \(a\) hat \(g_a\) bei \(x=2\) eine Nullstelle?
d) Bestimmen Sie die Steigung aller Graphen in \(P\) und für welches \(a\) die Tangente in \(P\) senkrecht zur Geraden \(y=x\) ist.

Gegeben ist \(f_a(x)=x^4-ax^2\) mit \(a>0\).

a) Bestimmen Sie die Nullstellen und zeigen Sie die Symmetrie.
b) Bestimmen Sie die Wendepunkte und deren Ortskurve.
c) Zeigen Sie: Die Fläche zwischen Graph und \(x\)-Achse beträgt \(A(a)=\frac4{15}a^{\frac52}\).
d) Für welches \(a\) ist die Fläche gleich \(\frac{128}{15}\)?
e) Zeigen Sie: Die Wendetangenten schneiden sich auf der \(y\)-Achse, und berechnen Sie diesen Punkt für \(a=6\).