Produktregel, Kettenregel und weitere Ableitungsregeln – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Arbeitsblatt zum Herunterladen als PDF

Bestimmen Sie die Ableitung mit der Produktregel. Schreiben Sie dazu \(u\), \(u'\), \(v\) und \(v'\) auf und klammern Sie anschließend aus.

a) \(f(x)=x^2\,\mathrm{e}^x\)
b) \(f(x)=(x+1)\sin x\)
c) \(f(x)=x\ln x\) für \(x>0\)
d) \(f(x)=(2x-1)\,\mathrm{e}^{-x}\)

Bestimmen Sie die Ableitung mit der Kettenregel. Benennen Sie die innere und die äußere Funktion.

a) \(f(x)=(3x-2)^4\)
b) \(f(x)=\mathrm{e}^{x^2}\)
c) \(f(x)=\sqrt{x^2+1}\)
d) \(f(x)=\ln(3x+1)\) für \(x>-\frac13\)

Bestimmen Sie die Ableitung. Prüfen Sie jeweils, ob sich die Quotientenregel vermeiden lässt.

a) \(f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}\)
b) \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{x}\)
c) \(f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}\) für \(x\neq0\)
d) \(f(x)=\dfrac{\sin x}{x}\) für \(x\neq0\)

Hier müssen zwei Regeln nacheinander angewendet werden. Leiten Sie ab und klammern Sie aus.

a) \(f(x)=x\,\mathrm{e}^{-x^2}\)
b) \(f(x)=\ln(x^2+1)\)
c) \(f(x)=\mathrm{e}^x\sin(2x)\)
d) \(f(x)=(x^2+1)^3\mathrm{e}^{x}\)

Zeigen Sie durch Ableiten, dass \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist.

a) \(F(x)=(x-1)\mathrm{e}^x\), \(f(x)=x\,\mathrm{e}^x\)
b) \(F(x)=x\ln x-x\), \(f(x)=\ln x\) für \(x>0\)
c) \(F(x)=(x^2-2x+2)\mathrm{e}^x\), \(f(x)=x^2\mathrm{e}^x\)
d) \(F(x)=-\frac12\mathrm{e}^{-x^2}\), \(f(x)=x\,\mathrm{e}^{-x^2}\)

Bestimmen Sie \(f'\) und \(f''\) und vereinfachen Sie jeweils durch Ausklammern.

a) \(f(x)=x\,\mathrm{e}^{-x}\)
b) \(f(x)=x^2\mathrm{e}^{-x}\)
c) \(f(x)=\ln(x^2+1)\)

Gegeben ist \(f(x)=x\,\mathrm{e}^{-x}\).

a) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente im Ursprung.
b) Bestimmen Sie die Tangente im Punkt \(P(2|f(2))\).
c) Welche Steigung hat die Tangente im Hochpunkt? Bestimmen Sie diesen Punkt.

Ein Kaffee kühlt nach \(T(t)=20+70\,\mathrm{e}^{-0{,}05t}\) (in \({}^\circ\mathrm{C}\), \(t\) in Minuten) ab.

a) Bestimmen Sie die Abkühlungsrate \(T'(t)\).
b) Wie schnell kühlt der Kaffee zu Beginn und nach \(20\) Minuten ab?
c) Wann beträgt die Abkühlungsrate \(1\,{}^\circ\mathrm{C}\) pro Minute?
d) Auf welchen Wert strebt die Temperatur?

Die Konzentration eines Medikaments im Blut (in mg pro Liter) wird nach der Einnahme durch \(c(t)=20\,t\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}\) (\(t\) in Stunden) beschrieben.

a) Bestimmen Sie \(c'(t)\) und den Zeitpunkt der höchsten Konzentration.
b) Wie groß ist die höchste Konzentration?
c) Bestimmen Sie \(c''(t)\) und den Zeitpunkt, zu dem die Konzentration am schnellsten abnimmt.
d) Beurteilen Sie, wie viel noch nach \(10\) Stunden im Blut ist.

Die Gesamtkosten eines Betriebs betragen \(K(x)=x^2+50\) (in Euro, \(x\) Stück). Die Stückkosten sind \(k(x)=\frac{K(x)}x\).

a) Bestimmen Sie \(k'(x)\) mit der Quotientenregel.
b) Bei welcher Stückzahl sind die Stückkosten am kleinsten?
c) Wie hoch sind sie dann, und wie lauten die Grenzkosten \(K'(x)\) an dieser Stelle?

Der Radius einer Seifenblase wächst nach \(r(t)=0{,}5\sqrt t\) (in dm, \(t\) in Sekunden). Ihr Volumen ist \(V=\frac43\pi r^3\).

a) Bestimmen Sie \(r'(t)\).
b) Bestimmen Sie \(\frac{dV}{dt}\) mit der Kettenregel.
c) Wie schnell wächst das Volumen bei \(t=4\) s?

Ein Federpendel schwingt nach \(x(t)=0{,}1\,\mathrm{e}^{-0{,}2t}\cos(2t)\) (in m, \(t\) in s).

a) Bestimmen Sie die Geschwindigkeit \(v(t)=x'(t)\).
b) Wie groß ist \(v(0)\)?
c) Wann kehrt das Pendel zum ersten Mal nach \(t=0\) um (\(v=0\))? Wo befindet es sich dann?

Kontrollieren Sie die Ableitung von \(f(x)=\sqrt{x^2+1}\) an der Stelle \(x=1\) mit dem Differenzenquotienten.

a) Berechnen Sie \(f'(1)\) mit der Ableitungsregel.
b) Berechnen Sie \(\frac{f(1{,}001)-f(1)}{0{,}001}\).
c) Vergleichen Sie beide Werte.

Gegeben ist \(f(x)=(x^2-2x)\,\mathrm{e}^x\).

a) Bestimmen Sie die Nullstellen von \(f\) und das Verhalten für \(x\to-\infty\).
b) Berechnen Sie \(f'\) und \(f''\).
c) Bestimmen Sie die Extrempunkte und ihre Art.
d) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente im Ursprung.

Gegeben ist \(f(x)=\ln(x^2+1)\).

a) Zeigen Sie, dass der Graph symmetrisch zur \(y\)-Achse ist und bestimmen Sie das Extremum.
b) Zeigen Sie, dass \(f''(x)=\frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}\) gilt.
c) Bestimmen Sie die Wendepunkte.
d) Bestimmen Sie die Tangente im Wendepunkt mit \(x>0\).

Gegeben ist die Schar \(f_a(x)=x\,\mathrm{e}^{-ax}\) mit \(a>0\).

a) Bestimmen Sie \(f_a'(x)\) und \(f_a''(x)\).
b) Bestimmen Sie den Hochpunkt \(H_a\) in Abhängigkeit von \(a\).
c) Bestimmen Sie die Ortskurve der Hochpunkte.
d) Für welches \(a\) hat der Hochpunkt die \(y\)-Koordinate \(\frac1{2\mathrm{e}}\)?

Von einem Punkt außerhalb des Graphen sind Tangenten an die Kurve zu legen.

a) Bestimmen Sie die Tangente an \(f(x)=\mathrm{e}^x\), die durch den Ursprung verläuft.
b) Bestimmen Sie die Tangente an \(g(x)=\ln x\), die durch den Ursprung verläuft.
c) Welcher Zusammenhang besteht zwischen beiden Berührpunkten?

Die Quotientenregel lässt sich aus der Produktregel und der Kettenregel herleiten.

a) Zeigen Sie mit der Kettenregel: \(\left(\frac1v\right)'=-\frac{v'}{v^2}\).
b) Leiten Sie daraus mit der Produktregel \(\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\) her.
c) Wenden Sie das Ergebnis auf \(f(x)=\frac{1}{x^2+1}\) an.

Auf einem Versuchsfeld hängt der Ertrag \(E\) (in dt pro Hektar) von der ausgebrachten Düngermenge \(d\) (in kg pro 10 Hektar) ab: \(E(d)=40\,d\,\mathrm{e}^{-0{,}2d}+20\) für \(d\ge0\). Der Landwirt will wissen, wie viel Dünger sich lohnt.

a) Bestimmen Sie \(E'(d)\) und die Düngermenge mit dem höchsten Ertrag.
b) Berechnen Sie den höchsten Ertrag und den Ertrag ohne Düngung.
c) Bestimmen Sie \(E''(d)\) und die Stelle, an der der Ertrag am schnellsten abnimmt.
d) Wie groß ist der Grenzertrag (Ertragszuwachs pro kg) bei \(d=2\)?
e) Beurteilen Sie in einem Satz, warum es sinnlos ist, mehr als \(5\) kg zu düngen.

In den folgenden Rechnungen steckt jeweils ein Fehler. Beschreiben Sie den Fehler und korrigieren Sie.

a) \((x^2\mathrm{e}^x)'=2x\,\mathrm{e}^x\)
b) \((\mathrm{e}^{3x})'=\mathrm{e}^{3x}\)
c) \(\left(\frac{x}{x+1}\right)'=\frac{1\cdot(x+1)+x\cdot1}{(x+1)^2}\)
d) \(\big((2x+1)^3\big)'=3(2x+1)^2\)