Exponential- und Logarithmusfunktionen Abitur Arbeitsblatt mit Lösungen zum Herunterladen als PDF

Dieses Arbeitsblatt mit Lösungen zum Thema Exponential- und Logarithmusfunktionen (Abitur) enthält 21 Aufgaben, von einfachen Übungen bis zu Sachaufgaben. Die Lösungen stehen auf einer eigenen Seite, damit du zuerst selbst rechnest.

Aufgabe 1 – Exponentialgleichungen lösen
Lösen Sie die Gleichungen nach \(x\) und runden Sie auf zwei Nachkommastellen. Prüfen Sie, ob eine Gleichung keine Lösung besitzt.
a) \(\mathrm{e}^{2x}=5\)
b) \(3\mathrm{e}^{x}-6=0\)
c) \(\mathrm{e}^{-x}=0{,}2\)
d) \(\mathrm{e}^{x}=-2\)
Aufgabe 2 – Logarithmusgleichungen lösen
Bestimmen Sie zuerst die Definitionsmenge und lösen Sie dann.
a) \(\ln(x-1)=2\)
b) \(\ln(2x+1)=0\)
c) \(\ln x+\ln(x-2)=\ln3\)
d) \(2\ln x=\ln16\)
Aufgabe 3 – Logarithmengesetze
Vereinfachen Sie ohne Taschenrechner.
a) \(\ln8-\ln2\)
b) \(2\ln3+\ln\frac19\)
c) \(\frac12\ln16+\ln5\)
d) \(\mathrm{e}^{\ln7-\ln2}\)
Aufgabe 4 – Gleichungen mit Substitution
Substituieren Sie \(z=\mathrm{e}^x\) und denken Sie daran, dass \(z>0\) gelten muss.
a) \(\mathrm{e}^{2x}-5\mathrm{e}^x+4=0\)
b) \(\mathrm{e}^{2x}-\mathrm{e}^x-6=0\)
c) \(\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}=2{,}5\)
Aufgabe 5 – Ableitungen
Bilden Sie die Ableitung.
a) \(f(x)=\mathrm{e}^{3x-1}\)
b) \(f(x)=\ln(x^2+4)\)
c) \(f(x)=x^2\ln x\) für \(x>0\)
d) \(f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x}{1+\mathrm{e}^x}\)
Aufgabe 6 – Integrale
Berechnen Sie die Integrale exakt.
a) \(\int_0^1\mathrm{e}^{2x}\,dx\)
b) \(\int_1^{\mathrm{e}}\frac1x\,dx\)
c) \(\int_1^{\mathrm{e}}\ln x\,dx\)
d) \(\int_0^{\ln2}\big(\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}\big)\,dx\)
Aufgabe 7 – Verdopplungs- und Halbwertszeit
Berechnen Sie die gesuchten Zeiten.
a) Eine Bakterienkultur wächst nach \(N(t)=200\,\mathrm{e}^{0{,}03t}\) (\(t\) in Stunden). Bestimmen Sie die Verdopplungszeit.
b) Iod-131 hat die Halbwertszeit \(8\) Tage. Bestimmen Sie die Zerfallskonstante \(k\).
c) Wie viel Prozent von Iod-131 sind nach \(30\) Tagen noch vorhanden?
d) Nach wie vielen Tagen sind nur noch \(1\,\%\) vorhanden?
Aufgabe 8 – Die Abkühlung
Ein Getränk kühlt nach \(T(t)=20+60\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}\) (in \({}^\circ\mathrm{C}\), \(t\) in Minuten) ab.
a) Wie warm ist es zu Beginn? Gegen welchen Wert strebt die Temperatur?
b) Wann sind \(40\,{}^\circ\mathrm{C}\) erreicht?
c) Bestimmen Sie die Abkühlungsgeschwindigkeit bei \(t=0\) und bei \(t=10\).
d) Nach wie vielen Minuten ist der Unterschied zur Umgebung auf die Hälfte gesunken?
Aufgabe 9 – Stetige Verzinsung
Ein Guthaben von \(2\,000\,€\) wird stetig mit \(3\,\%\) verzinst: \(K(t)=2000\,\mathrm{e}^{0{,}03t}\).
a) Berechnen Sie das Guthaben nach \(10\) Jahren.
b) Vergleichen Sie mit jährlicher Verzinsung von \(3\,\%\).
c) Wie groß ist der effektive Jahreszins der stetigen Verzinsung?
d) Wann ist das Guthaben auf \(5\,000\,€\) angewachsen?
Aufgabe 10 – Altersbestimmung mit C-14
Die Halbwertszeit von \(^{14}\mathrm{C}\) beträgt \(5\,730\) Jahre.
a) Bestimmen Sie die Zerfallskonstante \(k\).
b) In einem Holzfund sind noch \(70\,\%\) des \(^{14}\mathrm{C}\) vorhanden. Wie alt ist er?
c) Nach wie vielen Jahren sind noch \(25\,\%\) vorhanden?
d) Warum eignet sich die Methode nicht für Funde, die nur 100 Jahre alt sind?
Aufgabe 11 – Der Luftdruck
Der Luftdruck nimmt mit der Höhe nach \(p(h)=1013\,\mathrm{e}^{-h/8000}\) (in hPa, \(h\) in Metern) ab.
a) Wie groß ist der Druck auf dem Gipfel des Mount Everest (\(8\,849\) m)?
b) In welcher Höhe herrscht der halbe Druck?
c) Um wie viel Prozent sinkt der Druck pro \(1\,000\) m Höhenzunahme?
d) Wie hoch ist der Druck in Frankfurt (\(100\) m) und in Garmisch (\(700\) m)?
Aufgabe 12 – Verschieben, strecken, spiegeln
Gegeben ist \(f(x)=3-2\,\mathrm{e}^{-x}\).
a) Geben Sie die waagerechte Asymptote an und begründen Sie sie.
b) Berechnen Sie den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse und die Nullstelle.
c) Zeigen Sie, dass \(f\) streng monoton wachsend ist.
d) Geben Sie die Wertemenge an.
Aufgabe 13 – Wachstumsvergleich
Bestimmen Sie die Grenzwerte und begründen Sie mit der Faustregel „die e-Funktion gewinnt“.
a) \(\lim_{x\to\infty}x^2\,\mathrm{e}^{-x}\)
b) \(\lim_{x\to0^+}x\ln x\)
c) \(\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{\sqrt x}\)
d) \(\lim_{x\to\infty}\frac{\mathrm{e}^x}{x^{10}}\)
Aufgabe 14 – Tangente und Normale
Gegeben ist \(f(x)=\ln x\) und der Punkt \(P(\mathrm{e}|1)\).
a) Zeigen Sie, dass \(P\) auf dem Graphen liegt, und bestimmen Sie die Tangente in \(P\).
b) Zeigen Sie, dass die Tangente durch den Ursprung geht.
c) Bestimmen Sie die Normale in \(P\) und ihren Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse.
Aufgabe 15 – Kurvendiskussion von x·e^(−x)
Gegeben ist \(f(x)=x\,\mathrm{e}^{-x}\) (siehe Abbildung).
a) Bestimmen Sie die Nullstelle und das Verhalten im Unendlichen.
b) Bestimmen Sie \(f'\), \(f''\) und die Extrempunkte.
c) Bestimmen Sie den Wendepunkt.
d) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche zwischen Graph, \(x\)-Achse und der Geraden \(x=1\).
Aufgabe 16 – Die Funktion x − ln x
Gegeben ist \(g(x)=x-\ln x\) für \(x>0\).
a) Bestimmen Sie \(g'\) und das Extremum.
b) Zeigen Sie, dass \(g\) konvex ist.
c) Bestimmen Sie die Grenzwerte für \(x\to0^+\) und \(x\to\infty\) und die Wertemenge.
d) Bestimmen Sie die Tangente in \(x=\mathrm{e}\).
Aufgabe 17 – Mehrfache Medikamentengabe
Ein Medikament baut sich im Blut nach \(c(t)=c_0\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}\) ab (\(t\) in Stunden). Alle \(6\) Stunden wird eine Dosis gegeben, die die Konzentration jeweils um \(c_0\) erhöht.
a) Welcher Anteil einer Dosis ist nach \(6\) Stunden noch vorhanden?
b) Wie hoch ist die Konzentration unmittelbar nach der 2. und 3. Dosis (in Vielfachen von \(c_0\))?
c) Welche Konzentration strebt unmittelbar nach einer Gabe gegen einen Grenzwert, und wie groß ist er?
d) Wann ist die Konzentration einer einzelnen Dosis auf \(10\,\%\) gesunken?
Aufgabe 18 – Begrenztes Wachstum: die Lernkurve
Der Lernerfolg eines Schülers beim Vokabeltraining wird durch \(B(t)=100-90\,\mathrm{e}^{-0{,}2t}\) (Anzahl gelernter Vokabeln von \(100\), \(t\) in Tagen) beschrieben.
a) Wie viele Vokabeln kann er zu Beginn? Gegen welchen Wert strebt \(B\)?
b) Bestimmen Sie die Lernrate \(B'(t)\) und ihren Wert zu Beginn.
c) Wann kennt er \(80\) Vokabeln?
d) Nach wie vielen Tagen hat sich die Lernrate halbiert?
Aufgabe 19 – Eine Schar mit Ortskurve
Gegeben ist die Schar \(f_a(x)=\mathrm{e}^x-ax\) mit \(a>0\).
a) Bestimmen Sie \(f_a'\) und den Tiefpunkt \(T_a\) in Abhängigkeit von \(a\).
b) Bestimmen Sie die Ortskurve der Tiefpunkte.
c) Für welches \(a\) berührt der Graph die \(x\)-Achse?
d) Für welche \(a\) hat \(f_a\) zwei Nullstellen?
Aufgabe 20 – Fläche zwischen e^x und e^(−x)
Die Graphen von \(f(x)=\mathrm{e}^x\) und \(g(x)=\mathrm{e}^{-x}\) schneiden sich im Punkt \(S(0|1)\).
a) Zeigen Sie, dass sie sich nur in \(S\) schneiden.
b) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche zwischen den Graphen und der Geraden \(x=1\).
c) Berechnen Sie \(\int_0^\infty\mathrm{e}^{-x}\,dx\) und deuten Sie das Ergebnis.
Aufgabe 21 – Wahr oder falsch?
Entscheiden Sie und begründen Sie.
a) \(\ln(a+b)=\ln a+\ln b\) für alle \(a,b>0\).
b) \(\mathrm{e}^{a+b}=\mathrm{e}^a\cdot\mathrm{e}^b\) für alle \(a,b\).
c) Die Gleichung \(\mathrm{e}^{x}=x^2\) hat keine Lösung.
d) Der Graph von \(\ln x\) hat eine waagerechte Asymptote.

So nutzt du das Arbeitsblatt Exponential- und Logarithmusfunktionen (Abitur) mit Lösungen

Lies zuerst den Lernzettel zu Exponential- und Logarithmusfunktionen, damit die Verfahren frisch sind. Danach löst du die Aufgaben der Reihe nach, denn sie werden nach und nach schwerer. Schreibe deinen Rechenweg auf und vergleiche ihn anschließend mit den Lösungen. Falls eine Aufgabe nicht klappt, schaust du dir das passende Beispiel noch einmal an. Schließlich probierst du die Klassenarbeit oder das Quiz.

Außerdem kannst du das Arbeitsblatt als PDF herunterladen und ausdrucken. Außerdem gehören alle Seiten dieses Kapitels zusammen, sodass du jederzeit wechseln kannst. Zum Beispiel lesen viele Schüler montags den Lernzettel, üben mittwochs und testen sich freitags. Kurz gesagt bereitet dich dieses Arbeitsblatt mit Lösungen zu Exponential- und Logarithmusfunktionen (Abitur) gut auf die Klassenarbeit vor.

Exponential- und Logarithmusfunktionen – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Arbeitsblatt zum Herunterladen als PDF

Aufgabe 1 – Exponentialgleichungen lösen

Aufgabe 2 – Logarithmusgleichungen lösen

Aufgabe 3 – Logarithmengesetze

Aufgabe 4 – Gleichungen mit Substitution

Aufgabe 5 – Ableitungen

Aufgabe 6 – Integrale

Aufgabe 7 – Verdopplungs- und Halbwertszeit

Aufgabe 8 – Die Abkühlung

Aufgabe 9 – Stetige Verzinsung

Aufgabe 10 – Altersbestimmung mit C-14

Aufgabe 11 – Der Luftdruck

Aufgabe 12 – Verschieben, strecken, spiegeln

Aufgabe 13 – Wachstumsvergleich

Aufgabe 14 – Tangente und Normale

Aufgabe 15 – Kurvendiskussion von x·e^(−x)

Aufgabe 16 – Die Funktion x − ln x

Aufgabe 17 – Mehrfache Medikamentengabe

Aufgabe 18 – Begrenztes Wachstum: die Lernkurve

Aufgabe 19 – Eine Schar mit Ortskurve

Aufgabe 20 – Fläche zwischen e^x und e^(−x)

Aufgabe 21 – Wahr oder falsch?

So nutzt du das Arbeitsblatt Exponential- und Logarithmusfunktionen (Abitur) mit Lösungen

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