Flächenberechnung mit Integralen – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Arbeitsblatt zum Herunterladen als PDF

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von \(f\) mit der \(x\)-Achse einschließt. Bestimmen Sie dazu zuerst die Nullstellen.

a) \(f(x)=4-x^2\)
b) \(f(x)=x^2-x-6\)
c) \(f(x)=x^3-3x^2\)

Berechnen Sie jeweils das Integral und den Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der \(x\)-Achse im angegebenen Intervall. Beachten Sie die Vorzeichenwechsel.

a) \(f(x)=x^3-4x\) über \([-2;2]\)
b) \(f(x)=\sin x\) über \([0;2\pi]\)
c) \(f(x)=x^2-2x\) über \([0;3]\)

Die Graphen von \(f\) und \(g\) schließen eine Fläche ein. Bestimmen Sie die Schnittstellen und den Flächeninhalt.

a) \(f(x)=x+2\), \(g(x)=x^2\)
b) \(f(x)=x^2\), \(g(x)=2x\)
c) \(f(x)=-x^2+6x\), \(g(x)=x^2\)
d) \(f(x)=4-x^2\), \(g(x)=x^2-4\)

Wenn die Graphen sich mehrmals schneiden, wechselt die obere Funktion. Berechnen Sie den Inhalt der eingeschlossenen Flächen und vergleichen Sie mit dem Gesamtintegral.

a) \(f(x)=x^3\), \(g(x)=x\)
b) \(f(x)=x^4\), \(g(x)=x^2\)

Gegeben ist \(f(x)=x^2\) mit dem Punkt \(P(2|4)\) auf dem Graphen. Die Tangente in \(P\) schließt mit der Parabel und der \(y\)-Achse eine Fläche ein.

a) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente in \(P\).
b) Zeigen Sie, dass die Parabel oberhalb der Tangente verläuft.
c) Berechnen Sie den Flächeninhalt.

Der Querschnitt einer Fußgängerbrücke aus Beton (Maße in Metern) wird durch den Graphen von \(f(x)=5-0{,}05x^2\) und die \(x\)-Achse begrenzt. Die Brücke ist \(8\) m breit.

a) Bestimmen Sie die Spannweite des Bogens (Nullstellen von \(f\)).
b) Berechnen Sie den Inhalt der Querschnittsfläche.
c) Berechnen Sie das Volumen des Betons, wenn die gesamte Querschnittsfläche ausgefüllt ist.
d) Beton hat eine Dichte von \(2{,}4\) t pro \(\mathrm{m}^3\). Wie viele Tonnen wiegt das Bauteil?

Ein Gartenteich hat im Querschnitt die Form, die durch \(f(x)=0{,}25x^2-1\) (in Metern, \(-2\le x\le2\)) und die Gerade \(y=0\) begrenzt wird. Er ist \(6\) m lang.

a) Berechnen Sie die Querschnittsfläche.
b) Wie viele Liter Wasser fasst der Teich?
c) Eine Pumpe füllt \(40\) Liter pro Minute nach. Wie lange dauert das Befüllen?
d) Die Wasseroberfläche ist \(4\) m breit und \(6\) m lang. Wie viel Prozent davon bedeckt eine Seerosenfläche von \(5\,\mathrm{m}^2\)?

Ein Dachfenster in Form eines Parabelsegments wird durch \(f(x)=2-0{,}5x^2\) und die \(x\)-Achse begrenzt (Maße in Metern). Das Glas kostet \(180\,€\) pro \(\mathrm{m}^2\).

a) Bestimmen Sie die Breite des Fensters.
b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Glases.
c) Berechnen Sie den Preis des Glases.
d) Vergleichen Sie mit dem umschriebenen Rechteck und geben Sie den Anteil der Glasfläche an.

Ein Grundstück wird links, rechts und unten von einem Bach und einem geraden Weg begrenzt. Im Koordinatensystem (eine Längeneinheit entspricht \(10\) m) wird der Bach durch \(f(x)=-0{,}05x^2+x\) und der Weg durch \(g(x)=0{,}5x\) beschrieben.

a) Bestimmen Sie die Schnittstellen von Bach und Weg.
b) Berechnen Sie den Flächeninhalt in Flächeneinheiten.
c) Rechnen Sie in Quadratmeter um.
d) Der Quadratmeterpreis beträgt \(85\,€\). Berechnen Sie den Kaufpreis.

Der Querschnitt eines Straßentunnels (Maße in Metern) liegt zwischen der Fahrbahn \(y=0\) und dem Graphen von \(f(x)=4-\frac{x^2}4\).

a) Wie breit ist der Tunnel an der Fahrbahn?
b) Berechnen Sie den Inhalt der Querschnittsfläche.
c) Ein Lkw ist \(2{,}5\) m breit und \(3{,}5\) m hoch und fährt mittig. Passt er durch?
d) Der Tunnel ist \(800\) m lang. Wie viele Kubikmeter Luft enthält er?

Untersuchen Sie, ob die Flächen existieren, und berechnen Sie gegebenenfalls ihren Inhalt.

a) \(\int_1^\infty\frac1{x^3}\,dx\)
b) \(\int_0^\infty\mathrm{e}^{-2x}\,dx\)
c) \(\int_1^\infty\frac1{\sqrt x}\,dx\)
d) \(\int_1^\infty\frac1x\,dx\)

Gegeben ist die Funktionenschar \(f_a(x)=ax-x^2\) mit \(a>0\).

a) Zeigen Sie, dass der Graph von \(f_a\) mit der \(x\)-Achse eine Fläche einschließt, und bestimmen Sie die Nullstellen.
b) Zeigen Sie: Der Flächeninhalt beträgt \(A(a)=\frac{a^3}6\).
c) Für welches \(a\) beträgt der Flächeninhalt \(36\) FE?
d) Für welches \(a\) hat die Fläche den Inhalt \(4{,}5\) FE?

Eine senkrechte Gerade \(x=k\) soll die Fläche unter einem Graphen in zwei gleich große Teile zerlegen.

a) Bestimmen Sie \(k\) für die Fläche unter \(f(x)=x^2\) über \([0;2]\).
b) Bestimmen Sie \(b\) so, dass die Fläche unter \(f(x)=\sqrt x\) über \([0;b]\) den Inhalt \(18\) hat.
c) Die Parabel \(y=x^2\) und die Gerade \(y=4\) schließen eine Fläche ein. Welche waagerechte Gerade \(y=c\) halbiert diese Fläche?

Ein parabelförmiges Becken im Freibad hat den Querschnitt zwischen \(f(x)=0{,}2x^2-1{,}8\) und der Wasseroberfläche \(y=0\) (Maße in Metern, \(-3\le x\le3\)). Es ist \(12\) m lang.

a) Berechnen Sie die Querschnittsfläche bei vollem Becken.
b) Berechnen Sie das Volumen des Beckens in Litern.
c) Das Becken wird nur bis zur Höhe \(y=-0{,}9\) (halbe Tiefe) gefüllt. Berechnen Sie die Querschnittsfläche des Wassers (Schnittstellen bei \(x=\pm\sqrt{4{,}5}\)).
d) Wie viel Prozent des vollen Volumens sind in diesem Fall im Becken? Warum ist es weniger als die Hälfte?

Ein Betrieb steigert die Produktion von \(x=0\) bis \(x=10\) (in Tausend Stück). Der Grenzerlös \(r(x)=50-x\) und die Grenzkosten \(k(x)=0{,}05x^2+35\) sind in Euro pro Stück angegeben; die Fläche zwischen den Graphen ist der zusätzliche Gewinn in Tausend Euro.

a) Zeigen Sie, dass sich \(r\) und \(k\) bei \(x=10\) schneiden.
b) Berechnen Sie den Gewinnzuwachs bei Steigerung von \(0\) auf \(10\) Tausend Stück.
c) Bei welcher Produktionsmenge ist die Differenz \(r(x)-k(x)\) am größten?
d) Ab \(x>10\) sind die Grenzkosten höher als der Grenzerlös. Beurteilen Sie, ob die Produktion über \(10\) Tausend Stück sinnvoll ist.

Die Abbildung zeigt den Graphen von \(f(x)=x^3-x\). Die beiden Teilflächen sind gleich groß.

a) Berechnen Sie \(\int_{-1}^{1}f(x)\,dx\) und erklären Sie das Ergebnis.
b) Berechnen Sie den Inhalt der beiden Teilflächen und die Gesamtfläche.
c) Für welches \(b>1\) hat die Fläche zwischen Graph und \(x\)-Achse über \([1;b]\) den Inhalt \(\frac94\)?

Das Logo eines Sportvereins besteht aus der Fläche zwischen den Graphen von \(f(x)=x^2\) und \(g(x)=\sqrt x\). Eine Längeneinheit entspricht \(20\) cm.

a) Bestimmen Sie die Schnittstellen der beiden Graphen.
b) Berechnen Sie den Flächeninhalt in Flächeneinheiten.
c) Rechnen Sie in Quadratzentimeter um.
d) Das Logo wird für \(0{,}08\,€\) pro \(\mathrm{cm}^2\) gestickt. Wie viel kostet die Stickerei?

Nach einer Injektion beträgt die Abbaurate eines Medikaments im Körper \(r(t)=20\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}\) (in mg pro Stunde, \(t\) in Stunden).

a) Berechnen Sie die in den ersten \(4\) Stunden abgebaute Menge.
b) Zeigen Sie, dass insgesamt höchstens \(40\) mg abgebaut werden können (uneigentliches Integral).
c) Nach wie vielen Stunden sind \(90\,\%\) von diesen \(40\) mg abgebaut?
d) Erklären Sie, warum die Fläche trotz unendlicher Länge einen endlichen Inhalt hat.

Gegeben ist \(f(x)=\frac1{x^2}\) für \(x>0\).

a) Berechnen Sie \(\int_1^b\frac1{x^2}\,dx\) für \(b>1\).
b) Für welches \(b\) beträgt die Fläche mindestens \(0{,}95\)?
c) Zeigen Sie, dass die Fläche über \([1;\infty)\) den Inhalt \(1\) hat, die Fläche über \((0;1]\) aber unendlich groß ist.

Für \(f(x)=3x^2-6x\) betrachten wir \(A(c)=\int_0^cf(x)\,dx\).

a) Bestimmen Sie \(A(c)\) und die Nullstellen von \(A\).
b) Für welches \(c\in(0;2)\) ist \(A(c)\) minimal? Wie groß ist die Fläche dann (als Betrag)?
c) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von \(f\) mit der \(x\)-Achse einschließt.