Anwendungen der Integralrechnung Abitur Arbeitsblatt mit Lösungen zum Herunterladen als PDF

Dieses Arbeitsblatt mit Lösungen zum Thema Anwendungen der Integralrechnung (Abitur) enthält 20 Aufgaben, von einfachen Übungen bis zu Sachaufgaben. Die Lösungen stehen auf einer eigenen Seite, damit du zuerst selbst rechnest.

Aufgabe 1 – Das Schwimmbecken
Ein Becken enthält zu Beginn \(200\) Liter Wasser. Die Zuflussrate beträgt \(r(t)=12-3t\) (Liter pro Minute, \(0\le t\le10\), \(t\) in Minuten).
a) Bestimmen Sie die Bestandsfunktion \(B(t)\).
b) Wann ist der Bestand maximal? Wie groß ist er dann?
c) Zu welchem Zeitpunkt ist wieder die Anfangsmenge von \(200\) Liter im Becken?
d) Wie viel Wasser ist nach \(10\) Minuten im Becken?
Aufgabe 2 – Die Bakterienkultur
Die Wachstumsrate einer Bakterienkultur beträgt \(w(t)=0{,}6t\) (in Millionen Zellen pro Stunde, \(t\) in Stunden). Zu Beginn sind \(2\) Millionen Zellen vorhanden.
a) Bestimmen Sie die Anzahl der Zellen nach \(5\) Stunden.
b) Wann sind es \(20\) Millionen Zellen?
c) Um wie viel Prozent wächst die Kultur zwischen der 4. und der 6. Stunde, bezogen auf den Bestand nach 4 Stunden?
Aufgabe 3 – Verschiebung und Gesamtstrecke
Ein Körper bewegt sich auf einer Geraden mit der Geschwindigkeit \(v(t)=t^2-4t+3\) (in m/s, \(0\le t\le4\)).
a) Bestimmen Sie die Nullstellen von \(v\) und die Bewegungsrichtung in den Teilintervallen.
b) Berechnen Sie die Verschiebung im Zeitraum \([0;4]\).
c) Berechnen Sie die zurückgelegte Gesamtstrecke.
Aufgabe 4 – Anhalteweg
Ein Auto fährt mit \(20\) m/s. Der Fahrer reagiert nach \(1\) s (konstante Geschwindigkeit) und bremst dann mit \(v(t)=20-4(t-1)\) für \(1\le t\le6\) bis zum Stillstand.
a) Berechnen Sie die Reaktionsstrecke.
b) Berechnen Sie den Bremsweg.
c) Wie lang ist der gesamte Anhalteweg? Ein Hindernis liegt \(65\) m entfernt. Kommt es zur Kollision?
Aufgabe 5 – Der Aufzug
Ein Aufzug fährt mit \(v(t)=0{,}5t-0{,}05t^2\) (in m/s, \(0\le t\le10\)) nach oben.
a) Zeigen Sie, dass der Aufzug nach \(10\) s hält.
b) Wie hoch fährt er?
c) Wann ist die Geschwindigkeit maximal, und wie groß ist sie?
d) Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit.
Aufgabe 6 – Das Gewächshaus
Die Temperatur in einem Gewächshaus wird durch \(T(t)=18-6\cos\!\big(\frac\pi{12}t\big)\) (in \(^\circ\mathrm{C}\), \(t\) in Stunden seit Mitternacht) beschrieben.
a) Wann ist es am kältesten und am wärmsten?
b) Berechnen Sie die mittlere Temperatur über \(24\) Stunden.
c) Berechnen Sie die mittlere Temperatur zwischen \(6\) Uhr und \(18\) Uhr.
Aufgabe 7 – Mittelwerte bestimmen
Bestimmen Sie den Mittelwert und eine Stelle, an der die Funktion ihn annimmt.
a) \(f(x)=x^2+1\) auf \([0;3]\)
b) \(f(x)=\sin x\) auf \([0;\pi]\)
c) \(f(x)=2x+1\) auf \([1;4]\)
Aufgabe 8 – Der Stromverbrauch
Der Stromverbrauch eines Haushalts wird zwischen \(0\) und \(8\) Uhr durch \(p(t)=0{,}1t^2-0{,}8t+2\) (in kW, \(t\) in Stunden) beschrieben.
a) Zeigen Sie, dass \(p(t)>0\) für alle \(t\) gilt.
b) Berechnen Sie den Energieverbrauch in diesen acht Stunden.
c) Bestimmen Sie die mittlere Leistung und die Kosten bei \(0{,}35\,€\) je kWh.
Aufgabe 9 – Rotationskörper um die x-Achse
Der Graph von \(f\) rotiert über dem angegebenen Intervall um die \(x\)-Achse. Berechnen Sie das Volumen und prüfen Sie, wo möglich, mit einer Formel aus der Geometrie.
a) \(f(x)=x\) auf \([0;3]\)
b) \(f(x)=\sqrt x\) auf \([0;4]\)
c) \(f(x)=2\) auf \([0;5]\)
d) \(f(x)=x^2\) auf \([0;2]\)
Aufgabe 10 – Kugel und Kugelsegment
Der Halbkreis \(f(x)=\sqrt{9-x^2}\) rotiert um die \(x\)-Achse.
a) Berechnen Sie das Volumen der entstehenden Kugel über \([-3;3]\).
b) Berechnen Sie das Volumen der Kugelkappe über \([1;3]\).
c) Welchen Anteil hat die Kappe am Kugelvolumen?
Aufgabe 11 – Der Pokal
Ein Pokal entsteht durch Rotation von \(f(x)=\frac12\sqrt x\) um die \(x\)-Achse (\(0\le x\le16\), Maße in cm).
a) Berechnen Sie sein Fassungsvermögen in Millilitern.
b) Bis zu welcher Füllhöhe \(h\) (von der Spitze aus gemessen) enthält er \(50\) ml?
c) Welche Höhe hat er, wenn er \(1\) Liter fassen soll (Ansatz \(0\le x\le b\))?
Aufgabe 12 – Kosten und Zusatzkosten
Die Grenzkosten einer Bäckerei betragen \(k(x)=0{,}6x+2\) (Euro pro 100 Brötchen bei \(x\) hundert Stück) und die Fixkosten \(50\) Euro.
a) Bestimmen Sie die Kostenfunktion \(K\).
b) Berechnen Sie die Kosten für \(2\,000\) Brötchen (\(x=20\)).
c) Wie hoch sind die Zusatzkosten bei einer Steigerung von \(1\,000\) auf \(2\,000\) Brötchen?
Aufgabe 13 – Ein Rohr als Hohlkörper
Die Fläche zwischen den Graphen von \(f(x)=\sqrt x\) und \(g(x)=x\) über \([0;1]\) rotiert um die \(x\)-Achse.
a) Zeigen Sie, dass \(f\ge g\) auf \([0;1]\) gilt.
b) Berechnen Sie das Volumen des Hohlkörpers.
c) Erklären Sie, warum \(\pi\int(f-g)^2dx\) falsch wäre, und geben Sie den falschen Wert an.
Aufgabe 14 – Das Weinfass
Ein Weinfass entsteht durch Rotation von \(f(x)=6-0{,}25x^2\) (Maße in dm, \(-4\le x\le4\)) um die \(x\)-Achse.
a) Welche Radien hat das Fass in der Mitte und an den Enden?
b) Berechnen Sie das Volumen in Litern (\(1\,\mathrm{dm}^3=1\) Liter).
c) Eine Flasche fasst \(0{,}75\) Liter. Wie viele Flaschen lassen sich füllen?
Aufgabe 15 – Der Stausee im Frühjahr
Ein Stausee erhält die Zuflussrate \(z(t)=100\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}+20\) und gibt konstant \(a=50\) ab (beides in \(\mathrm{m}^3\) pro Stunde, \(t\) in Stunden). Zu Beginn sind \(1\,000\,\mathrm{m}^3\) im See.
a) Bestimmen Sie die Bestandsfunktion \(B(t)\).
b) Wann ist der Bestand am größten? Wie groß ist er dann?
c) Wie groß ist der Bestand nach \(48\) Stunden?
d) Gegen welchen Wert strebt die Änderungsrate? Was bedeutet das langfristig?
Aufgabe 16 – Die Passstraße
Die Steigung einer Passstraße (in km Höhe pro km Strecke) wird durch \(m(x)=0{,}12-0{,}012x\) beschrieben, wobei \(x\) die Strecke in Kilometern ab dem Dorf ist (\(0\le x\le10\)). Das Dorf liegt auf \(900\) m.
a) Wie groß ist die Steigung am Anfang und am Ende? Geben Sie sie in Prozent an.
b) Bestimmen Sie die Höhe \(h(x)\) über dem Dorf.
c) Wie viele Höhenmeter überwindet die Straße insgesamt?
d) Bei welcher Strecke ist die Passhöhe von \(1\,300\) m erreicht?
Aufgabe 17 – Rate oder Bestand?
Entscheiden Sie, ob die Aussagen für jede Änderungsrate \(r\) und den zugehörigen Bestand \(B\) richtig sind, und begründen Sie.
a) Ist \(r(t)>0\), so ist \(B\) streng monoton wachsend.
b) Ist \(r\) fallend, so ist auch \(B\) fallend.
c) Der Bestand \(B\) hat an einer Nullstelle von \(r\) stets ein Extremum.
d) Ist \(\int_a^br(t)\,dt=0\), so ist \(r(t)=0\) für alle \(t\in[a;b]\).
Aufgabe 18 – Die Vase
Eine Vase entsteht durch Rotation von \(f(x)=2+0{,}5x\) (Maße in cm, \(0\le x\le6\)) um die \(x\)-Achse.
a) Welchen Radius hat die Vase unten und oben?
b) Berechnen Sie das Volumen.
c) Bis zu welcher Höhe \(h\) steht das Wasser bei \(100\) ml?
d) Vergleichen Sie mit einem Zylinder gleicher Höhe und mittlerem Radius.
Aufgabe 19 – Parameter im Anwendungsfall
Die Zuflussrate eines Teichs ist \(r_k(t)=k\,(6-t)\) (in Litern pro Minute, \(0\le t\le6\)) mit \(k>0\).
a) Berechnen Sie die Gesamtzuflussmenge in Abhängigkeit von \(k\).
b) Für welches \(k\) fließen genau \(90\) Liter in den Teich?
c) Berechnen Sie die mittlere Zuflussrate für dieses \(k\).
Aufgabe 20 – Messreihe und Trapezsumme
Die Zuflussrate eines Beckens wurde stündlich gemessen.
\(t\) in h 0 1 2 3 4 5 6
\(r(t)\) in \(\mathrm{m}^3/\mathrm{h}\) 0 1,75 3 3,75 4 3,75 3
a) Schätzen Sie die Zuflussmenge in den \(6\) Stunden mit der Trapezsumme.
b) Das Modell lautet \(r(t)=2t-0{,}25t^2\). Berechnen Sie den exakten Wert.
c) Erklären Sie, warum die Trapezsumme hier etwas zu klein ist.

\(t\) in h	0	1	2	3	4	5	6
\(r(t)\) in \(\mathrm{m}^3/\mathrm{h}\)	0	1,75	3	3,75	4	3,75	3

So nutzt du das Arbeitsblatt Anwendungen der Integralrechnung (Abitur) mit Lösungen

Lies zuerst den Lernzettel zu Anwendungen der Integralrechnung, damit die Verfahren frisch sind. Danach löst du die Aufgaben der Reihe nach, denn sie werden nach und nach schwerer. Schreibe deinen Rechenweg auf und vergleiche ihn anschließend mit den Lösungen. Falls eine Aufgabe nicht klappt, schaust du dir das passende Beispiel noch einmal an. Schließlich probierst du die Klassenarbeit oder das Quiz.

Außerdem kannst du das Arbeitsblatt als PDF herunterladen und ausdrucken. Außerdem gehören alle Seiten dieses Kapitels zusammen, sodass du jederzeit wechseln kannst. Zum Beispiel lesen viele Schüler montags den Lernzettel, üben mittwochs und testen sich freitags. Kurz gesagt bereitet dich dieses Arbeitsblatt mit Lösungen zu Anwendungen der Integralrechnung (Abitur) gut auf die Klassenarbeit vor.

Anwendungen der Integralrechnung – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Arbeitsblatt zum Herunterladen als PDF

Aufgabe 1 – Das Schwimmbecken

Aufgabe 2 – Die Bakterienkultur

Aufgabe 3 – Verschiebung und Gesamtstrecke

Aufgabe 4 – Anhalteweg

Aufgabe 5 – Der Aufzug

Aufgabe 6 – Das Gewächshaus

Aufgabe 7 – Mittelwerte bestimmen

Aufgabe 8 – Der Stromverbrauch

Aufgabe 9 – Rotationskörper um die x-Achse

Aufgabe 10 – Kugel und Kugelsegment

Aufgabe 11 – Der Pokal

Aufgabe 12 – Kosten und Zusatzkosten

Aufgabe 13 – Ein Rohr als Hohlkörper

Aufgabe 14 – Das Weinfass

Aufgabe 15 – Der Stausee im Frühjahr

Aufgabe 16 – Die Passstraße

Aufgabe 17 – Rate oder Bestand?

Aufgabe 18 – Die Vase

Aufgabe 19 – Parameter im Anwendungsfall

Aufgabe 20 – Messreihe und Trapezsumme

So nutzt du das Arbeitsblatt Anwendungen der Integralrechnung (Abitur) mit Lösungen

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