Flächenberechnung mit Integralen – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Lösungen zur Klassenarbeit zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1 (4 BE/Punkte)

   Lösungsweg und Bewertung: Zuerst werden die Nullstellen mit der Mitternachtsformel oder durch Faktorisieren bestimmt; sie sind die Integrationsgrenzen (eine BE). Die Fläche liegt unterhalb der \(x\)-Achse, deshalb ist das Integral negativ und der Flächeninhalt sein Betrag. Für Stammfunktion, Einsetzen der Grenzen und Betrag gibt es drei Bewertungseinheiten.

   a) \(x^2-2x-3=(x-3)(x+1)=0\Rightarrow x=-1\) oder \(x=3\). (1 BE)
   b) \(\int_{-1}^3f\,dx=\left[\frac{x^3}3-x^2-3x\right]_{-1}^3=(9-9-9)-\left(-\frac13-1+3\right)=-\frac{32}3\); der Graph liegt unterhalb der Achse, also \(A=\frac{32}3\) FE. (3 BE)

2. Lösung zu Aufgabe 2 (4 BE/Punkte)

   Lösungsweg und Bewertung: Die Schnittstellen erhält man durch Gleichsetzen der beiden Funktionen und Lösen der quadratischen Gleichung (zwei BE). Zwischen den Schnittstellen liegt die Parabel oberhalb der Geraden; man integriert die Differenz „oben minus unten“ und erhält direkt den Flächeninhalt (zwei BE). Eine Skizze unterstützt die Begründung. Zwischenschritt: \(\int_0^3(3x-x^2)\,\mathrm dx=\left[1{,}5x^2-\frac{x^3}3\right]_0^3=13{,}5-9=4{,}5\) FE. Häufig wird vergessen, \(g\) vor dem Integrieren abzuziehen.

   a) \(-x^2+3x=0\Rightarrow x=0\) oder \(x=3\). (2 BE)
   b) \(A=\int_0^3(-x^2+3x)\,dx=\left[-\frac{x^3}3+\frac{3x^2}2\right]_0^3=-9+\frac{27}2=\frac92\) FE. (2 BE)

3. Lösung zu Aufgabe 3 (2 BE/Punkte)

   Lösungsweg und Bewertung: Man berechnet das Integral zunächst bis zu einer variablen oberen Grenze \(b\) mit der Stammfunktion \(-\frac2{x^2}\). Anschließend wird der Grenzwert für \(b\to\infty\) gebildet; weil der Term mit \(b\) gegen null geht, existiert er (Konvergenz). Für Integral und Grenzwert gibt es je eine Bewertungseinheit. Zwischenschritt: \(\int_1^b4x^{-3}\,\mathrm dx=2-\frac2{b^2}\to2\). Zum Vergleich divergiert \(\int_1^\infty\frac4x\,\mathrm dx\), weil der Logarithmus unbeschränkt wächst.

   \(\lim_{b\to\infty}\left[-\frac2{x^2}\right]_1^b=\lim_{b\to\infty}\left(2-\frac2{b^2}\right)=2\). Der Term \(\frac2{b^2}\) geht gegen null, das Integral konvergiert. (2 BE)

4. Lösung zu Aufgabe 4 (7 BE/Punkte)

   Lösungsweg und Bewertung: Die Breite folgt aus den Nullstellen der Parabel (eine BE). Die volle Querschnittsfläche ist der Betrag des Integrals zwischen den Nullstellen (drei BE). Für die teilweise Füllung ändern sich die Grenzen und die obere Begrenzung; man integriert die Differenz zwischen Wasserlinie und Kanalboden und vergleicht beide Flächen (drei BE).

   a) \(0{,}1x^2=2{,}5\Rightarrow x=\pm5\); Breite \(10\) m. (1 BE)
   b) \(A=2\int_0^5(2{,}5-0{,}1x^2)\,dx=2\left[2{,}5x-\frac{x^3}{30}\right]_0^5=2\left(12{,}5-\frac{25}6\right)=\frac{50}3\approx16{,}7\,\mathrm{m}^2\). (3 BE)
   c) \(Q=A\cdot v\approx16{,}67\cdot0{,}8\approx13{,}3\,\mathrm{m}^3/\mathrm{s}\). (3 BE)

5. Lösung zu Aufgabe 5 (3 BE/Punkte)

   Lösungsweg und Bewertung: Die Nullstellen \(0\) und \(a\) sind die Integrationsgrenzen; das Integral der Funktion liefert \(A(a)=\frac{a^3}6\) (zwei BE). Setzt man diesen Term gleich \(36\), erhält man \(a^3=216\) und damit den positiven Parameter (eine BE). Ein kurzer Antwortsatz nennt den gefundenen Wert. Kontrolle: Für \(a=6\) ist \(\int_0^6(6x-x^2)\,\mathrm dx=108-72=36\). Häufiger Fehler ist, die Nullstellen falsch als \(0\) und \(-a\) anzusetzen.

   Nullstellen \(0\) und \(a\); \(A=\left[\frac{ax^2}2-\frac{x^3}3\right]_0^a=\frac{a^3}6\); aus \(\frac{a^3}6=36\) folgt \(a=6\). (3 BE)

Gesamt : 20 Punkte