Stammfunktion und Integral – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Arbeitsblatt zum Herunterladen als PDF

Bilden Sie zu jeder Funktion eine Stammfunktion. Schreiben Sie Brüche und Wurzeln zuerst als Potenzen und führen Sie anschließend die Probe durch Ableiten durch.

a) \(f(x)=4x^3-6x^2+2\)
b) \(f(x)=5x^4-\frac12x^2+7\)
c) \(f(x)=\frac1{x^2}+3x\)
d) \(f(x)=\sqrt x-\frac6{x^3}\)

Bei \(f(ax+b)\) gehört der Faktor \(\frac1a\) zur Stammfunktion. Bestimmen Sie jeweils eine Stammfunktion und prüfen Sie durch Ableiten.

a) \(f(x)=(2x+1)^3\)
b) \(f(x)=\mathrm{e}^{3x-1}\)
c) \(f(x)=\cos(2x)+\sin(x)\)
d) \(f(x)=\frac1{2x+3}\) für \(x>-1{,}5\)

Im Abitur wird oft verlangt, durch Ableiten nachzuweisen, dass eine gegebene Funktion Stammfunktion ist. Die Produktregel ist hier das wichtigste Werkzeug.

a) Zeigen Sie: \(F(x)=(x-1)\mathrm{e}^x\) ist eine Stammfunktion von \(f(x)=x\,\mathrm{e}^x\).
b) Zeigen Sie: \(F(x)=x\ln x-x\) ist eine Stammfunktion von \(f(x)=\ln x\) für \(x>0\).
c) Berechnen Sie damit \(\int_0^1 x\,\mathrm{e}^x\,dx\).

Berechnen Sie die Integrale exakt. Geben Sie die Stammfunktion an und setzen Sie die Grenzen in Klammern ein.

a) \(\int_0^3(x^2+1)\,dx\)
b) \(\int_{-1}^2(x^3-x)\,dx\)
c) \(\int_1^4\frac1{x^2}\,dx\)
d) \(\int_0^9\sqrt x\,dx\)

Bestimmen Sie die Stammfunktion, deren Graph durch den angegebenen Punkt verläuft. Gehen Sie in zwei Schritten vor: allgemeine Stammfunktion, dann \(C\) bestimmen.

a) \(f(x)=6x^2-2x\), \(F(1)=3\)
b) \(f(x)=4x-3\), \(F(1)=5\)
c) \(f(x)=\mathrm{e}^{x}+\frac1x\) für \(x>0\), \(F(1)=\mathrm{e}\)
d) \(f(x)=\cos x\), der Graph von \(F\) geht durch \(P(\pi|2)\)

Von zwei Funktionen \(f\) und \(g\) sind bekannt: \(\int_0^2 f(x)\,dx=3\), \(\int_2^5 f(x)\,dx=-1\) und \(\int_0^2 g(x)\,dx=4\).

a) Berechnen Sie \(\int_0^5 f(x)\,dx\).
b) Berechnen Sie \(\int_5^2 f(x)\,dx\).
c) Berechnen Sie \(\int_0^2\big(2f(x)-g(x)\big)\,dx\).
d) Berechnen Sie \(\int_0^2\big(f(x)+1\big)\,dx\) und \(\int_2^2 g(x)\,dx\).

Nach einem Gewitter fließt Regenwasser vom Dach in den Tank eines Gartenbesitzers. Die Zuflussrate beträgt \(z(t)=6-0{,}5t\) (in Litern pro Minute, \(0\le t\le10\), \(t\) in Minuten). Zu Beginn befinden sich \(40\) Liter im Tank.

a) Erklären Sie, was der Term \(\int_0^{10}z(t)\,dt\) bedeutet, und berechnen Sie ihn.
b) Geben Sie die Funktion \(B\) an, die den Bestand im Tank beschreibt, und berechnen Sie \(B(10)\).
c) Der Tank fasst \(100\) Liter. Wird er innerhalb der \(10\) Minuten voll?
d) Berechnen Sie die mittlere Zuflussrate in den \(10\) Minuten und deuten Sie sie an der Abbildung.

Eine Radfahrerin beschleunigt auf gerader Strecke. Ihre Geschwindigkeit beträgt \(v(t)=0{,}6t\) (in m/s, \(t\) in Sekunden) für \(0\le t\le10\) und danach konstant \(6\) m/s.

a) Berechnen Sie die in den ersten \(10\) Sekunden zurückgelegte Strecke.
b) Wie weit ist sie nach \(25\) Sekunden insgesamt gekommen?
c) Nach wie vielen Sekunden hat sie \(100\) m zurückgelegt?
d) Welche mittlere Geschwindigkeit hat sie in den ersten \(25\) Sekunden?

Auf einer Wetterstation wird die Änderungsrate der Schneehöhe (in cm pro Stunde) bei einem Wintereinbruch modelliert durch \(s(t)=0{,}3t-0{,}03t^2\) für \(0\le t\le10\) (Zeit in Stunden ab Schneefallbeginn). Zu Beginn liegen \(12\) cm Schnee.

a) Zu welchem Zeitpunkt ist die Änderungsrate am größten? Wie groß ist sie dann?
b) Bestimmen Sie die Schneehöhe \(H(t)\) und berechnen Sie \(H(10)\).
c) Zeigen Sie, dass es nach \(10\) Stunden nicht mehr schneit, und begründen Sie, dass \(H\) auf dem Intervall dort sein Maximum hat.
d) Um wie viel Zentimeter wächst der Schnee zwischen der 4. und der 8. Stunde?

Die Leistungsaufnahme einer Wärmepumpe im Einfamilienhaus wird im Tagesverlauf durch \(P(t)=2+0{,}5\sin\!\big(\frac{\pi}{12}t\big)\) (in kW, \(t\) in Stunden seit Mitternacht, \(0\le t\le24\)) beschrieben.

a) Berechnen Sie den Energieverbrauch \(E=\int_0^{24}P(t)\,dt\) in kWh.
b) Welchen Wert hat die mittlere Leistung über den Tag?
c) Wie hoch sind die Stromkosten für einen Tag bei \(0{,}35\,€\) pro kWh?
d) Berechnen Sie den Verbrauch zwischen \(t=0\) und \(t=12\) und vergleichen Sie ihn mit dem zweiten Halbtag.

Prüfen Sie zuerst, ob der Graph des Integranden symmetrisch ist, und nutzen Sie das zum Rechnen.

a) \(\int_{-2}^2(x^3+x)\,dx\)
b) \(\int_{-2}^2x^2\,dx\)
c) \(\int_{-\pi}^{\pi}\sin x\,dx\) und \(\int_{-\pi}^{\pi}\cos x\,dx\)
d) \(\int_{-3}^3(x^4-2x^2+x)\,dx\)

Gegeben sind \(g(t)=t^2-4\) und die Integralfunktion \(J(x)=\int_0^xg(t)\,dt\). Der Graph von \(g\) ist abgebildet; die Fläche links der 2 liegt unterhalb, rechts davon oberhalb der Achse.

a) Bestimmen Sie \(J(x)\) und zeigen Sie, dass \(J'=g\) gilt.
b) Bestimmen Sie die Nullstellen von \(J\).
c) Bestimmen Sie Lage und Art der Extremstellen von \(J\).
d) Berechnen Sie \(J(3)\) und erklären Sie das Vorzeichen mit Hilfe der Abbildung.

Bestimmen Sie den Parameter so, dass die Gleichung erfüllt ist. Rechnen Sie das Integral zuerst allgemein aus.

a) \(\int_0^a(2x+1)\,dx=12\) mit \(a>0\)
b) \(\int_0^2kx^2\,dx=8\)
c) \(\int_1^b\frac1x\,dx=2\) mit \(b>1\)
d) \(\int_0^{3}(x^2-kx)\,dx=0\)

Ein Rückhaltebecken wird bei Starkregen von zwei Bächen gespeist und über eine Schleuse entleert. Die Zuflussrate ist \(z(t)=-0{,}5t^2+4t\) (in \(\mathrm{m}^3\) pro Stunde), die Abflussrate der Schleuse konstant \(6\,\mathrm{m}^3\) pro Stunde (\(0\le t\le8\)). Anfangs sind \(10\,\mathrm{m}^3\) Wasser im Becken.

a) Bestätigen Sie die Tabellenwerte für \(t=2\) und \(t=6\).
b) Berechnen Sie die gesamte Zuflussmenge in den \(8\) Stunden.
c) Bestimmen Sie die Funktion \(B\), die den Wasserbestand beschreibt, und berechnen Sie \(B(8)\).
d) Zu welchen Zeitpunkten ist die Änderungsrate des Bestands null? Wann ist der Bestand am größten?
e) In welchen Zeiträumen nimmt der Bestand ab, und wie klein wird er?

Ein Regionalzug fährt mit \(30\) m/s und beginnt bei \(t=0\) zu bremsen. Seine Geschwindigkeit beträgt \(v(t)=30-1{,}5t\) (in m/s, \(t\) in Sekunden) bis zum Stillstand.

a) Nach wie vielen Sekunden steht der Zug?
b) Berechnen Sie den Bremsweg mit dem Integral.
c) Ein Bahnübergang liegt \(280\) m vor dem Zug, als er zu bremsen beginnt. Schafft er es, davor zu halten? Mit welcher Geschwindigkeit erreicht er ihn gegebenenfalls?
d) Für welchen Wert \(b\) der Bremsverzögerung (Ansatz \(v(t)=30-bt\)) beträgt der Bremsweg genau \(250\) m?

Bei einer Wanderung wurde die Steiggeschwindigkeit der Gruppe (Höhenmeter pro Stunde) stündlich gemessen. Modelliert wird sie durch \(h'(t)=400\,\mathrm{e}^{-0{,}2t}\) für \(0\le t\le4\).

a) Schätzen Sie den Höhengewinn in den \(4\) Stunden mit einer Untersumme (Rechtecke der Breite \(1\) h).
b) Schätzen Sie ihn mit der Obersumme.
c) Berechnen Sie den exakten Höhengewinn \(\int_0^4400\,\mathrm{e}^{-0{,}2t}\,dt\).
d) Prüfen Sie, dass der exakte Wert zwischen Unter- und Obersumme liegt, und erklären Sie, warum.

Entscheiden Sie bei jeder Aussage, ob sie für alle stetigen Funktionen \(f\) auf \([a;b]\) richtig ist, und begründen Sie Ihre Antwort (bei „falsch“ mit einem Gegenbeispiel).

a) Das Integral \(\int_a^bf(x)\,dx\) ist stets der Flächeninhalt zwischen Graph und \(x\)-Achse.
b) Hat \(f\) eine Stammfunktion \(F\), dann hat \(f\) unendlich viele Stammfunktionen.
c) Gilt \(\int_a^bf(x)\,dx=0\), so ist \(f(x)=0\) für alle \(x\in[a;b]\).
d) Ist \(F\) Stammfunktion von \(f\), dann ist \(F^2\) Stammfunktion von \(f^2\).

Gegeben ist die Schar \(f_k(x)=x^2-kx\) mit \(k>0\). Der Graph von \(f_k\) schließt mit der \(x\)-Achse eine Fläche ein.

a) Bestimmen Sie die Nullstellen von \(f_k\).
b) Berechnen Sie den Flächeninhalt \(A(k)\) der eingeschlossenen Fläche in Abhängigkeit von \(k\).
c) Für welches \(k\) beträgt der Flächeninhalt \(36\)?
d) Für welches \(k\) ist \(\int_0^3f_k(x)\,dx=0\)? Deuten Sie das Ergebnis.

Die Abbildung zeigt den Graphen von \(f(x)=x^2-2x\) mit der markierten Fläche zwischen den Nullstellen.

a) Berechnen Sie \(\int_0^2f(x)\,dx\) und deuten Sie das Vorzeichen.
b) Berechnen Sie \(\int_0^3f(x)\,dx\). Ist das der Flächeninhalt der Fläche zwischen Graph und \(x\)-Achse über \([0;3]\)?
c) Berechnen Sie diesen Flächeninhalt richtig.

Der Einlass zu einem Open-Air-Konzert wird durch die Besucherrate \(r(t)=-t^2+12t\) (Besucher pro Minute, \(0\le t\le12\), \(t\) in Minuten nach Öffnung) modelliert. Bei Öffnung sind keine Besucher auf dem Gelände.

a) Bestimmen Sie die Anzahl der Besucher, die in den ersten \(12\) Minuten eingelassen werden.
b) Nach wie vielen Minuten ist die Rate am größten? Wie viele Personen kommen dann pro Minute?
c) Berechnen Sie den Anteil der Besucher, die in den ersten \(6\) Minuten eingelassen werden, und erklären Sie das Ergebnis.
d) Begründen Sie, warum man bei einer Besucherrate nicht einfach „Rate mal Zeit“ rechnen darf.

Ein Wasserwerk speichert Trinkwasser in einem Hochbehälter. Die Zulaufrate (in \(\mathrm{m}^3\) pro Stunde) wird für einen Tag (\(0\le t\le24\), \(t\) in Stunden seit Mitternacht) durch \(z(t)=120+80\sin\!\big(\frac\pi{12}(t-6)\big)\) modelliert, die Entnahme der Stadt durch \(e(t)=150\) (konstant). Zu Beginn sind \(900\,\mathrm{m}^3\) im Behälter; er fasst \(1\,500\,\mathrm{m}^3\).

a) Berechnen Sie die tägliche Zulaufmenge und die tägliche Entnahme. Bleibt der Bestand über den Tag konstant?
b) Bestimmen Sie die Änderungsrate \(B'(t)=z(t)-e(t)\) des Bestands und ihre Nullstellen im Intervall.
c) Geben Sie den Bestand \(B(t)\) an.
d) Berechnen Sie \(B(12)\) und \(B(24)\) und beurteilen Sie, ob der Behälter im Laufe des Tages überläuft oder leerläuft.