Funktionen und ihre Eigenschaften – Mathe Einführungsphase (Klasse 11) Lösungen zur Klassenarbeit zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1 (4 BE/Punkte)

   a) Beim Einsetzen negativer Zahlen setzt man Klammern: \(f(-2)=(-2)^2-2\cdot(-2)-3=4+4-3=5\) (1 P.). \(f(0)=0-0-3=-3\); dieser Wert ist zugleich der \(y\)-Achsenabschnitt, der Graph schneidet die \(y\)-Achse in \((0|-3)\) (1 P.).
   b) Nullstellen: \(x^2-2x-3=0\). pq-Formel mit \(p=-2\), \(q=-3\): \(x=1\pm\sqrt{1+3}=1\pm2\), also \(x_1=3\) und \(x_2=-1\) (1 P.). Probe durch Faktorisieren: \((x-3)(x+1)=x^2+x-3x-3=x^2-2x-3\), stimmt (1 P.). Der Scheitel liegt genau in der Mitte der Nullstellen bei \(x=1\), mit \(f(1)=-4\). Häufiger Fehler in a): \(-2^2=-4\) statt \((-2)^2=4\) rechnen. Antwort: \(f(-2)=5\), \(f(0)=-3\), Nullstellen \(-1\) und \(3\).

2. Lösung zu Aufgabe 2 (3 BE/Punkte)

   Der größtmögliche Definitionsbereich enthält alle reellen Zahlen, für die der Term berechnet werden kann.
   a) Durch null darf man nicht teilen. Der Nenner \(x+4\) wird null für \(x=-4\); diese Stelle muss ausgeschlossen werden: \(D_f=\mathbb R\setminus\{-4\}\) (1 P.). Dort besitzt der Graph eine senkrechte Asymptote.
   b) Unter einer Quadratwurzel darf keine negative Zahl stehen: \(2x-6\ge0\) (1 P.). Umformen: \(2x\ge6\), also \(x\ge3\). \(D_g=[3;\infty[\) (1 P.). Die Grenze \(x=3\) gehört dazu, weil \(\sqrt0=0\) definiert ist. Probe: \(g(3)=0\), aber \(g(2)=\sqrt{-2}\) existiert nicht. Antwort: \(D_f\) alle reellen Zahlen außer \(-4\); \(D_g\) alle Zahlen ab \(3\).

3. Lösung zu Aufgabe 3 (3 BE/Punkte)

   Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse liegt vor, wenn \(f(-x)=f(x)\) für alle \(x\) gilt; Punktsymmetrie zum Ursprung, wenn \(f(-x)=-f(x)\) gilt.
   a) \(f(-x)=(-x)^3-5\cdot(-x)=-x^3+5x=-(x^3-5x)=-f(x)\) (1 P.). Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Das passt dazu, dass nur ungerade Exponenten (\(3\) und \(1\)) vorkommen (1 P.).
   b) \(g(-x)=(-x)^4+2(-x)^2-1=x^4+2x^2-1=g(x)\). Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse; die Konstante \(-1\) zählt als Exponent \(0\) und ist gerade (1 P.). Gegenbeispiel zur Kontrolle: \(x^3+1\) hätte gemischte Exponenten und keine dieser Symmetrien. Antwort: \(f\) punktsymmetrisch zum Ursprung, \(g\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

4. Lösung zu Aufgabe 4 (4 BE/Punkte)

   a) Schritt 1: Verschiebung um \(3\) nach links ersetzt \(x\) durch \(x+3\): \((x+3)^2\). Schritt 2: Verschiebung um \(2\) nach unten: \((x+3)^2-2\). Schritt 3: Spiegelung an der \(x\)-Achse kehrt das Vorzeichen des ganzen Terms um: \(g(x)=-[(x+3)^2-2]=-(x+3)^2+2\) (2 P.). Die Reihenfolge ist wichtig: Erst spiegeln und dann verschieben ergäbe \(-(x+3)^2-2\).
   b) Der Scheitel der Normalparabel \((0|0)\) wandert zu \((-3|-2)\) und wird dann zu \(S(-3|2)\) gespiegelt. Die Parabel ist nach unten geöffnet, \(S\) ist der höchste Punkt: \(W=]-\infty;2]\) (1 P.).
   c) \(g(0)=-(0+3)^2+2=-9+2=-7\); der Graph schneidet die \(y\)-Achse in \((0|-7)\) (1 P.). Antwort: \(g(x)=-(x+3)^2+2\), \(S(-3|2)\), \(y\)-Achsenabschnitt \(-7\).

5. Lösung zu Aufgabe 5 (6 BE/Punkte)

   a) Beide Tarife sind lineare Funktionen der Monatszahl \(m\). „Fit-Stadt“: Grundbetrag \(15\) € plus \(25\) € pro Monat, \(K_1(m)=15+25m\). „Sport-Plus“: kein Grundbetrag, \(K_2(m)=32m\) (2 P.).
   b) \(K_1(12)=15+300=315\) € und \(K_2(12)=384\) €. Nach einem Jahr spart man bei „Fit-Stadt“ \(69\) € (1 P.).
   c) „Fit-Stadt“ ist günstiger, wenn \(15+25m\lt32m\), also \(15\lt7m\) und \(m\gt\frac{15}{7}\approx2{,}14\) (1 P.). Da nur ganze Monate abgerechnet werden: ab dem \(3\). Monat. Kontrolle: \(K_1(2)=65\gt64=K_2(2)\), aber \(K_1(3)=90\lt96=K_2(3)\) (1 P.).
   d) \(K_1\) beginnt bei \(15\) und steigt flacher, \(K_2\) beginnt im Ursprung und steigt steiler. Am Schnittpunkt bei \(m\approx2{,}14\) mit etwa \(68{,}57\) € sind beide gleich teuer; rechts davon liegt \(K_1\) darunter (1 P.).

Gesamt : 20 Punkte