Extrem- und Wendepunkte, Kurvendiskussion – Mathe Einführungsphase (Klasse 11) Arbeitsblatt zum Herunterladen als PDF

Bestimme den Extrempunkt und gib an, ob es ein Hoch- oder Tiefpunkt ist.

a) \(f(x)=x^2-4x+1\)
b) \(g(x)=-x^2+6x\)
c) \(h(x)=2x^2+8x+3\)

Gegeben ist \(f(x)=x^3-3x\).

a) Berechne \(f'\) und \(f''\).
b) Bestimme die Stellen mit waagerechter Tangente.
c) Entscheide mit \(f''\), welche Art Extrempunkt vorliegt.
d) Gib die Koordinaten der Extrempunkte an.

Untersuche \(f(x)=x^3-3x^2\) auf Monotonie.

a) Berechne \(f'\) und zerlege in Linearfaktoren.
b) Erstelle eine Vorzeichentabelle für \(f'\).
c) Gib die Intervalle an, in denen \(f\) steigt bzw. fällt.
d) Welche Extrempunkte entstehen?

Bestimme den Wendepunkt von \(f(x)=x^3-6x^2+9x\) und weise nach, dass er einer ist.

a) Berechne \(f''\) und \(f'''\).
b) Löse \(f''(x)=0\).
c) Prüfe die hinreichende Bedingung.
d) Gib den Wendepunkt an und lies die Lage der Extrempunkte im Bild ab.

Untersuche \(f(x)=x^4\) und \(g(x)=x^3\) an der Stelle \(0\).

a) Berechne die ersten drei Ableitungen von \(f\) und \(g\).
b) Zeige, dass bei beiden \(f'(0)=0\) und \(f''(0)=0\) gilt.
c) Prüfe das Vorzeichen der ersten Ableitung links und rechts von \(0\).
d) Welche Art Punkt liegt jeweils vor?

Ein Landwirt hat \(40\) m Zaun. Er will an einer Scheunenwand eine rechteckige Weide einzäunen; die Wand ersetzt eine Seite.

a) Stelle die Zielfunktion \(A(x)\) für die Fläche auf.
b) Bestimme den Definitionsbereich.
c) Berechne die Maße der Weide mit größter Fläche.
d) Wie groß ist diese Fläche? Vergleiche mit einer quadratischen Weide \(x=y\).

Ein Rechteck hat den Umfang \(60\) cm.

a) Stelle die Fläche als Funktion der Seite \(x\) auf.
b) Berechne die Seitenlängen für maximale Fläche.
c) Wie groß ist die maximale Fläche?
d) Was folgt allgemein für Rechtecke mit festem Umfang?

Der Gewinn einer Bäckerei ist \(G(x)=-0{,}01x^2+4x-100\) (in Euro, \(x\) Anzahl verkaufter Brote pro Tag).

a) Wie viele Brote bringen den größten Gewinn?
b) Wie hoch ist der größte Gewinn?
c) Ab wie vielen Broten wird Gewinn gemacht (Gewinnschwelle)?
d) Wie ändert sich der Gewinn von \(x=200\) auf \(x=250\)?

Ein Ball wird auf dem Sportplatz geworfen. Seine Höhe nach \(t\) Sekunden ist \(h(t)=-5t^2+10t+2\) (in Metern).

a) Wann ist der Ball am höchsten?
b) Wie hoch fliegt er?
c) Wann trifft er den Boden (\(h(t)=0\))?
d) Bei welcher Geschwindigkeit trifft er auf? (\(h'(t)\) zu diesem Zeitpunkt)

Das Höhenprofil eines Radwegs (Höhe in Hektometern über dem Startpunkt, \(x\) in Kilometern) wird näherungsweise durch \(h(x)=0{,}1x^3-1{,}5x^2+6x\) beschrieben (\(0\le x\le10\)).

a) Berechne \(h'\) und \(h''\).
b) Bestimme die Hoch- und Tiefstellen.
c) Bestimme die Stelle der stärksten Steigung bzw. des stärksten Gefälles (Wendestelle).
d) Berechne die Steigung an dieser Stelle in Prozent (Hektometer pro Kilometer \(=10\) Meter pro Kilometer).

Der Pegel eines Flusses (Wassermenge in Hundert m³/s) während eines Hochwassers wird durch \(w(t)=-\frac13t^3+4t^2\) beschrieben (\(0\le t\le12\) Stunden).

a) Berechne \(w'(t)\) und bestimme, wann der Pegel am höchsten ist.
b) Wie hoch ist der Höchststand?
c) Wann steigt der Pegel am schnellsten? Berechne \(w'\) dort.
d) Wann ist der Pegel wieder bei \(0\)?

Untersuche \(f(x)=x^2-4x\) auf dem Intervall \([0;5]\).

a) Bestimme den Extrempunkt im Innern.
b) Berechne die Randwerte \(f(0)\) und \(f(5)\).
c) Wo liegt das globale Maximum, wo das globale Minimum?
d) Wie ändert sich das Maximum auf dem Intervall \([0;3]\)?

Diskutiere \(f(x)=x^4-8x^2\).

a) Untersuche die Symmetrie und bestimme die Nullstellen.
b) Bestimme die Extrempunkte.
c) Bestimme die Wendepunkte.
d) Beschreibe den Verlauf des Graphen für \(x\to\pm\infty\).

Die Eisdiele verkauft Eis zu \(8\,€\) je Liter. Die Kosten für \(x\) Liter betragen \(K(x)=0{,}05x^2+2x+60\).

a) Prüfe zwei Tabellenwerte für die Kosten.
b) Stelle die Gewinnfunktion \(G(x)=E(x)-K(x)\) auf.
c) Bestimme die Menge mit dem größten Gewinn und den Gewinn.
d) Bestimme die Gewinnzone (Bereich mit \(G>0\)).

Gegeben ist \(f_a(x)=x^3-3ax\) mit einem Parameter \(a\).

a) Berechne \(f_a'(x)\).
b) Für welche \(a\) hat \(f_a\) zwei Extremstellen? Gib sie an.
c) Was gilt für \(a=0\)?
d) Was gilt für \(a<0\)?

Gesucht ist eine ganzrationale Funktion der Form \(f(x)=ax^3+bx\), deren Graph den Hochpunkt \(H(1\,|\,2)\) hat.

a) Welche Bedingungen liefert der Hochpunkt?
b) Löse das Gleichungssystem für \(a\) und \(b\).
c) Gib \(f\) an und prüfe die Art des Extrempunkts.
d) Bestimme den Wendepunkt von \(f\).

Zeige am Beispiel \(f(x)=x^3-3x^2\), dass der Graph punktsymmetrisch zum Wendepunkt ist.

a) Bestimme den Wendepunkt.
b) Berechne \(f(1+h)+f(1-h)\) allgemein.
c) Folgere die Punktsymmetrie.

Aus einem quadratischen Blech mit der Seitenlänge \(30\) cm wird an den Ecken je ein Quadrat mit der Seite \(x\) ausgeschnitten, und die Seiten werden zu einer offenen Schachtel hochgebogen.

a) Stelle das Volumen \(V(x)\) auf.
b) Gib den Definitionsbereich an.
c) Bestimme \(x\), sodass das Volumen maximal wird.
d) Wie groß ist das maximale Volumen?

Die Höhe einer Sonnenblume im Schulgarten wird in den ersten \(20\) Tagen durch \(h(t)=-0{,}02t^3+0{,}6t^2\) (in Zentimetern, \(t\) in Tagen) beschrieben.

a) Berechne die Wachstumsgeschwindigkeit \(h'(t)\).
b) Wann wächst die Pflanze am schnellsten? Bestimme dazu die Wendestelle.
c) Wie schnell wächst sie dann, und wie hoch ist sie?
d) Wie hoch ist sie nach \(20\) Tagen und wie schnell wächst sie dann?

Eine zylinderförmige Dose soll \(500\,\mathrm{cm}^3\) fassen. Wie müssen Radius \(r\) und Höhe \(h\) gewählt werden, damit möglichst wenig Blech verbraucht wird?

a) Drücke \(h\) durch \(r\) aus (Nebenbedingung \(\pi r^2h=500\)).
b) Stelle die Oberfläche \(O(r)=2\pi r^2+2\pi rh\) als Funktion von \(r\) auf.
c) Bestimme das Minimum.
d) Berechne die Maße und vergleiche \(h\) mit \(2r\).