Razones trigonométricas (Matemáticas B) – matemáticas 4º ESO: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. \(\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{3}{5}=0{,}6\); \(\cos\alpha=\dfrac{4}{5}=0{,}8\); \(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{3}{4}=0{,}75\). El seno es el cateto opuesto entre la hipotenusa, el coseno el contiguo entre la hipotenusa y la tangente el opuesto entre el contiguo.
   2. \(\operatorname{sen}\beta=\dfrac{4}{5}\); \(\cos\beta=\dfrac{3}{5}\); \(\operatorname{tg}\beta=\dfrac{4}{3}\approx1{,}33\). Para \(\beta\) el cateto opuesto es el de 4 cm y el contiguo el de 3 cm.
   3. \(\alpha=\operatorname{arcsen}0{,}6\approx36{,}87^\circ\) y \(\beta=\operatorname{arcsen}0{,}8\approx53{,}13^\circ\). Usamos la función inversa del seno de la calculadora en modo grados.
   4. \(36{,}87+53{,}13=90\). Además \(\operatorname{sen}\alpha=0{,}6=\cos\beta\): los ángulos complementarios intercambian seno y coseno.

2. Solución del ejercicio 2

   1. \(\cos\alpha=\sqrt{1-\dfrac{25}{169}}=\dfrac{12}{13}\) y \(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{5}{12}\). Despejamos el coseno de la relación fundamental y tomamos la raíz positiva porque el ángulo es agudo; la tangente es el cociente.
   2. \(\operatorname{sen}\alpha=\sqrt{1-0{,}64}=0{,}6\) y \(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{0{,}6}{0{,}8}=0{,}75\). Calculamos el seno con la relación fundamental: \(0{,}6^2+0{,}8^2=1\).
   3. \(1+\operatorname{tg}^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}\) da \(\cos^2\alpha=\dfrac{1}{5}\), \(\cos\alpha=\dfrac{\sqrt5}{5}\approx0{,}447\) y \(\operatorname{sen}\alpha=2\cos\alpha=\dfrac{2\sqrt5}{5}\approx0{,}894\). Usamos la relación \(1+\operatorname{tg}^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}\), que se obtiene dividiendo la fundamental entre \(\cos^2\alpha\).
   4. \(\cos\alpha=\sqrt{1-\dfrac{1}{9}}=\dfrac{2\sqrt2}{3}\approx0{,}943\) y \(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{1}{2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{4}\approx0{,}354\). Racionalizamos \(\dfrac{1}{2\sqrt2}\) multiplicando por \(\sqrt2\).

3. Solución del ejercicio 3

   1. \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1\). Sustituimos los valores de la tabla: \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\). Respuesta: 1, porque 30° y 60° son complementarios.
   2. \(\dfrac{2}{4}+\dfrac{2}{4}=1\). Es la relación fundamental \(\operatorname{sen}^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) con \(\alpha=45^\circ\). Respuesta: 1.
   3. \(\sqrt3\cdot\dfrac{\sqrt3}{3}=\dfrac{3}{3}=1\). Las tangentes de dos ángulos complementarios son inversas, por eso su producto vale 1.
   4. \(2\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}-\sqrt3\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\sqrt3-\dfrac{3}{2}\approx0{,}232\). Calculamos cada producto: \(2\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\sqrt3\) y \(\sqrt3\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{3}{2}\).

4. Solución del ejercicio 4

   1. \(\operatorname{sen}37^\circ\approx0{,}6018\); \(\cos37^\circ\approx0{,}7986\); \(\operatorname{tg}37^\circ\approx0{,}7536\). Antes de calcular, comprobamos que la calculadora está en modo grados (DEG). Además \(\dfrac{0{,}6018}{0{,}7986}\approx0{,}7536\), lo que confirma la tangente.
   2. \(\alpha=\operatorname{arcsen}0{,}8\approx53{,}13^\circ\). Usamos la tecla inversa del seno (\(\sin^{-1}\)). Comprobación: \(\operatorname{sen}53{,}13^\circ\approx0{,}8\).
   3. \(\alpha=\operatorname{arctg}1{,}5\approx56{,}31^\circ\). Usamos la tecla inversa de la tangente (\(\tan^{-1}\)). Comprobación: \(\operatorname{tg}56{,}31^\circ\approx1{,}5\).
   4. \(\alpha=\operatorname{arccos}0{,}25\approx75{,}52^\circ\). Usamos la tecla inversa del coseno (\(\cos^{-1}\)). Comprobación: \(\cos75{,}52^\circ\approx0{,}25\).

5. Solución del ejercicio 5

   1. \(90^\circ-35^\circ=55^\circ\). Los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo suman 90°.
   2. \(a=10\operatorname{sen}35^\circ\approx5{,}736\) cm. El cateto opuesto y la hipotenusa se relacionan con el seno: \(\operatorname{sen}35^\circ=\dfrac{a}{10}\).
   3. \(b=10\cos35^\circ\approx8{,}192\) cm. El cateto contiguo y la hipotenusa se relacionan con el coseno: \(\cos35^\circ=\dfrac{b}{10}\).
   4. \(a^2+b^2\approx32{,}9+67{,}1=100\). Área \(=\dfrac{a\,b}{2}\approx23{,}49\) cm\(^2\). Comprobamos que la suma de los cuadrados de los catetos es \(10^2\); el área es el semiproducto de los catetos.

6. Solución del ejercicio 6

   1. \(c=\sqrt{25+144}=13\) cm. Aplicamos el teorema de Pitágoras: \(5^2+12^2=169=13^2\).
   2. \(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{5}{12}\), \(\alpha=\operatorname{arctg}\dfrac{5}{12}\approx22{,}62^\circ\). Conocemos los dos catetos, así que usamos la tangente: opuesto entre contiguo.
   3. \(\beta=90-22{,}62\approx67{,}38^\circ\). Los ángulos agudos son complementarios.
   4. \(\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{5}{13}\approx0{,}385\) y \(\cos\alpha=\dfrac{12}{13}\approx0{,}923\). Con ellos, \(c=\dfrac{5}{\operatorname{sen}\alpha}=13\). La hipotenusa es el cateto opuesto dividido entre el seno. Respuesta: 13 cm, como con Pitágoras.

7. Solución del ejercicio 7

   1. \(\operatorname{sen}70^\circ=\cos20^\circ\approx0{,}9397\). Como \(70^\circ\) y \(20^\circ\) son complementarios, el seno de uno es el coseno del otro.
   2. \(65^\circ=90^\circ-25^\circ\), luego \(\operatorname{tg}65^\circ=\dfrac{1}{\operatorname{tg}25^\circ}\) y el producto vale \(1\). Las tangentes de ángulos complementarios son inversas.
   3. \(\cos40^\circ=\operatorname{sen}50^\circ\), así que el cociente vale \(1\). Los dos ángulos son complementarios, así que numerador y denominador son iguales.
   4. \(\operatorname{sen}(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha=0{,}6\). El seno del complementario es el coseno del ángulo. Respuesta: 0,6.

8. Solución del ejercicio 8

   1. El ángulo de \(40^\circ\) está en los ojos; el cateto adyacente mide \(30\) m y el opuesto es la altura buscada.
   2. \(h=30\operatorname{tg}40^\circ\approx25{,}17\) m. El cateto opuesto (altura) y el contiguo (30 m) se relacionan con la tangente.
   3. \(25{,}17+1{,}60\approx26{,}77\) m. Sumamos la altura de los ojos del observador.
   4. \(d=\dfrac{30}{\cos40^\circ}\approx39{,}16\) m. La hipotenusa es el cateto contiguo dividido entre el coseno.

9. Solución del ejercicio 9

   1. \(h=5\operatorname{sen}65^\circ\approx4{,}53\) m. La escalera es la hipotenusa y la altura el cateto opuesto al ángulo con el suelo.
   2. \(d=5\cos65^\circ\approx2{,}11\) m. La distancia a la pared es el cateto contiguo, así que usamos el coseno.
   3. Con \(75^\circ\): \(d=5\cos75^\circ\approx1{,}29\) m. Debe estar entre \(1{,}29\) m y \(2{,}11\) m. Cuanto mayor es el ángulo, más cerca de la pared está el pie.
   4. \(h=5\operatorname{sen}75^\circ\approx4{,}83\) m. Respuesta: llega a unos 4,83 m, más alto que con 65°.

10. Solución del ejercicio 10

    1. \(\operatorname{tg}\alpha=0{,}08\), \(\alpha=\operatorname{arctg}0{,}08\approx4{,}57^\circ\). La pendiente es la tangente del ángulo de inclinación, así que usamos la función inversa de la tangente.
    2. \(x=\dfrac{0{,}6}{0{,}08}=7{,}5\) m. La distancia horizontal es el desnivel dividido entre la pendiente.
    3. \(L=\sqrt{0{,}6^2+7{,}5^2}\approx7{,}52\) m. La rampa es la hipotenusa del triángulo formado por el desnivel y la distancia horizontal.
    4. \(4{,}57^\circ<5^\circ\): se cumple. Con \(5^\circ\): \(\operatorname{tg}5^\circ\approx0{,}0875\), pendiente máxima \(\approx8{,}75\ \%\). La pendiente máxima es la tangente de 5°, expresada en porcentaje.

11. Solución del ejercicio 11

    1. La horizontal desde el faro y el mar son paralelas, así que el ángulo de depresión coincide con el de elevación desde el barco (ángulos alternos internos).
    2. \(d_1=\dfrac{40}{\operatorname{tg}18^\circ}\approx123{,}1\) m.
    3. \(d_2=\dfrac{40}{\operatorname{tg}35^\circ}\approx57{,}1\) m.
    4. \(123{,}1-57{,}1\approx66\) m.

12. Solución del ejercicio 12

    1. \(h=1200\operatorname{sen}25^\circ\approx507{,}1\) m. El desnivel es el cateto opuesto al ángulo de 25° y el cable es la hipotenusa: usamos el seno.
    2. \(x=1200\cos25^\circ\approx1087{,}6\) m. La distancia horizontal es el cateto contiguo: usamos el coseno.
    3. \(\dfrac{1200}{5}=240\) s \(=4\) min. Dividimos la longitud del cable entre la velocidad.
    4. \(1100+507{,}1\approx1607{,}1\) m. Sumamos el desnivel a la altitud de salida. Respuesta: unos 1 607 m.

13. Solución del ejercicio 13

    1. \(s=\dfrac{45}{\operatorname{tg}55^\circ}\approx31{,}5\) m. La altura es el cateto opuesto y la sombra el contiguo, así que la sombra es la altura entre la tangente. Respuesta: unos 31,5 m.
    2. \(s=\dfrac{45}{\operatorname{tg}30^\circ}\approx77{,}9\) m. Con el sol más bajo, la tangente es menor y la sombra más larga. Respuesta: unos 77,9 m.
    3. \(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{45}{45}=1\): \(\alpha=45^\circ\). Si la sombra y la altura son iguales, la tangente vale 1. Respuesta: 45°.
    4. \(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{45}{90}=0{,}5\): \(\alpha\approx26{,}57^\circ\). Usamos la función inversa de la tangente con 0,5. Respuesta: unos 26,57°.

14. Solución del ejercicio 14

    1. \(\alpha=\operatorname{arctg}0{,}12\approx6{,}84^\circ\). La pendiente es la tangente del ángulo: \(12\ \%=0{,}12\).
    2. \(100\cdot0{,}12=12\) m. Multiplicamos la distancia horizontal por la pendiente. Respuesta: 12 m.
    3. \(1000\operatorname{sen}\alpha\approx1000\cdot0{,}1191\approx119{,}1\) m. Ahora la distancia es la hipotenusa, así que usamos el seno del ángulo, no la pendiente. Respuesta: unos 119 m.
    4. \(\operatorname{tg}10^\circ\approx0{,}1763\), es decir un \(17{,}6\ \%\). Calculamos la tangente de 10° y la expresamos en porcentaje. Respuesta: un 17,6 %.

15. Solución del ejercicio 15

    1. Desde \(B\): \(\operatorname{tg}45^\circ=1\), luego \(x_B=h\). Desde \(A\): \(x_A=\dfrac{h}{\operatorname{tg}30^\circ}=h\sqrt3\).
    2. \(x_A-x_B=40\), es decir \(h\sqrt3-h=40\), \(h(\sqrt3-1)=40\) y \(h=\dfrac{40}{\sqrt3-1}=20(\sqrt3+1)\approx54{,}64\) m.
    3. \(x_B=h\approx54{,}64\) m y \(x_A=h\sqrt3\approx94{,}64\) m. Su diferencia es \(40\) m.
    4. Desde \(B\): \(\dfrac{h}{\operatorname{sen}45^\circ}\approx77{,}27\) m. Desde \(A\): \(\dfrac{h}{\operatorname{sen}30^\circ}\approx109{,}28\) m.

16. Solución del ejercicio 16

    1. Triángulo rectángulo en \(A\) con cateto \(AB=30\) m y ángulo \(50^\circ\) en \(B\).
    2. \(AT=30\operatorname{tg}50^\circ\approx35{,}75\) m. Conocemos el cateto contiguo al ángulo en \(B\) y buscamos el opuesto: usamos la tangente.
    3. \(BT=\dfrac{30}{\cos50^\circ}\approx46{,}67\) m. La distancia \(BT\) es la hipotenusa: dividimos el cateto contiguo entre el coseno.
    4. \(30\operatorname{tg}35^\circ\approx21{,}01\) m. Un ángulo menor implica un río más estrecho.

17. Solución del ejercicio 17

    1. \(x=\dfrac{3000}{\operatorname{tg}3^\circ}\approx57243\) m \(\approx57{,}2\) km. La altura es el cateto opuesto al ángulo de 3° y la distancia horizontal el contiguo.
    2. \(L=\dfrac{3000}{\operatorname{sen}3^\circ}\approx57322\) m. La trayectoria es la hipotenusa.
    3. \(\dfrac{57{,}2}{250}\cdot60\approx13{,}7\) minutos (con la distancia horizontal aproximada). Dividimos la distancia entre la velocidad y multiplicamos por 60.
    4. \(1000\operatorname{tg}3^\circ\approx52{,}4\) m por km, es decir, una pendiente del \(5{,}2\ \%\).

18. Solución del ejercicio 18

    1. La mitad de la anchura es \(5\) m: \(h=5\operatorname{tg}30^\circ\approx2{,}89\) m. La altura de la cumbrera es el cateto opuesto al ángulo de 30° y la mitad del ancho, el contiguo.
    2. \(l=\dfrac{5}{\cos30^\circ}\approx5{,}77\) m. Cada faldón es la hipotenusa: dividimos la mitad del ancho entre el coseno.
    3. \(2\cdot5{,}77\cdot14\approx161{,}7\) m\(^2\). Cada faldón es un rectángulo de 5,77 m por los 14 m de fondo.
    4. Coste \(\approx161{,}7\cdot55\approx8891\) €. Con \(40^\circ\): \(l=\dfrac{5}{\cos40^\circ}\approx6{,}53\) m.

19. Solución del ejercicio 19

    1. La altura divide al triángulo en dos rectángulos con ángulo de \(20^\circ\): media base \(=10\operatorname{sen}20^\circ\approx3{,}42\) cm.
    2. Base \(=2\cdot3{,}42\approx6{,}84\) cm.
    3. \(h=10\cos20^\circ\approx9{,}397\) cm.
    4. Área \(=\dfrac{6{,}84\cdot9{,}4}{2}\approx32{,}14\) cm\(^2\). Con la otra fórmula: \(50\operatorname{sen}40^\circ\approx32{,}14\) cm\(^2\). Coinciden. Respuesta: el área es de unos 32,14 cm\(^2\).

20. Solución del ejercicio 20

    1. \(\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{\sqrt3}{2}\), luego \(\alpha=60^\circ\). Despejamos el seno y buscamos el ángulo agudo de la tabla de valores notables.
    2. \(1-\cos^2\alpha=\operatorname{sen}^2\alpha\); entonces \(\dfrac{\operatorname{sen}^2\alpha}{\operatorname{sen}\alpha}=\operatorname{sen}\alpha\). Aplicamos la relación fundamental en el numerador.
    3. \((\operatorname{sen}\alpha+\cos\alpha)^2=\operatorname{sen}^2\alpha+2\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha=1+2\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha\). Desarrollamos el cuadrado de una suma y usamos la relación fundamental.
    4. \(L=\dfrac{4}{0{,}8}=5\) m. \(\cos\alpha=0{,}6\), distancia \(=5\cdot0{,}6=3\) m y \(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{0{,}8}{0{,}6}=\dfrac{4}{3}\). Despejamos \(L\) del seno y usamos el coseno para la distancia.