Operaciones con números reales y precisión – matemáticas 4º ESO: apuntes y teoría para descargar en PDF

Propiedad: potencias de exponente entero

Una potencia \(a^n\) con \(n\) entero positivo es el producto de \(a\) por sí mismo \(n\) veces. Se extiende a exponentes enteros con \(a^0=1\) (si \(a\neq0\)) y \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\). Las propiedades, válidas para bases no nulas, son:

• \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\) y \(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\).
• \((a^m)^n=a^{m\cdot n}\).
• \((a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n\) y \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}\).
• \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}\).

Propiedad

Propiedades de los radicales (con el mismo índice): \(\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}\) y \(\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}\). Para extraer factores se descompone el radicando: \(\sqrt{72}=\sqrt{2^3\cdot3^2}=2\cdot3\sqrt{2}=6\sqrt{2}\). Dos radicales son semejantes si tienen el mismo índice y el mismo radicando tras simplificar; solo así se pueden sumar: \(\sqrt{50}+\sqrt{8}-\sqrt{18}=5\sqrt{2}+2\sqrt{2}-3\sqrt{2}=4\sqrt{2}\).

Propiedad: racionalizar denominadores

• Un solo radical: \(\dfrac{6}{\sqrt{3}}=\dfrac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\dfrac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}\).
• Binomio con raíz: se multiplica por el conjugado. \(\dfrac{4}{\sqrt{5}-1}=\dfrac{4(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\dfrac{4(\sqrt{5}+1)}{5-1}=\sqrt{5}+1\).

Propiedad

Un número está en notación científica si se escribe \(a\cdot10^n\) con \(1\le a<10\) y \(n\) entero. Sirve para cantidades muy grandes o muy pequeñas: \(45\,000\,000=4{,}5\cdot10^7\) y \(0{,}00032=3{,}2\cdot10^{-4}\). Para multiplicar o dividir se operan por separado los coeficientes y las potencias de 10: \((3\cdot10^5)(2\cdot10^{-2})=6\cdot10^3\). Para sumar se iguala el exponente: \(3{,}2\cdot10^4+5\cdot10^3=3{,}2\cdot10^4+0{,}5\cdot10^4=3{,}7\cdot10^4\). Si el coeficiente sale fuera de \([1,10)\), se reajusta: \(15\cdot10^{-2}=1{,}5\cdot10^{-1}\).

Propiedad

Los irracionales y muchos decimales se manejan con aproximaciones. Se puede truncar (cortar las cifras sobrantes) o redondear (si la primera cifra que se quita es 5 o más, se sube la última que se conserva). Por ejemplo, \(\sqrt{2}=1{,}41421\ldots\) redondeado a milésimas es \(1{,}414\); \(\pi\) redondeado a centésimas es \(3{,}14\).

Propiedad: aproximación y error

Si \(V\) es el valor exacto y \(A\) la aproximación:

• Error absoluto: \(E_a=|V-A|\).
• Error relativo: \(E_r=\dfrac{E_a}{|V|}\), que se suele dar en porcentaje.

Propiedad

Al redondear hasta un orden de unidad \(u\) (décimas, centésimas…), el error absoluto es como mucho \(\frac{u}{2}\). Las cifras significativas son las que aportan información: se cuentan desde la primera cifra distinta de cero. El número \(0{,}0305\) tiene tres cifras significativas, y \(23\,456\) redondeado a tres cifras significativas es \(23\,500\).

Propiedad: notación científica

Un número en notación científica se escribe \(a\cdot10^{n}\) con \(1\le a<10\) y \(n\) entero. Para multiplicar se multiplican las mantisas y se suman los exponentes; para dividir se dividen las mantisas y se restan los exponentes. Para sumar o restar hay que igualar antes los exponentes. Después se vuelve a colocar la mantisa entre 1 y 10 ajustando el exponente.

Propiedad: radicales como potencias

Toda raíz se puede escribir como una potencia de exponente fraccionario: \(\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}\). Gracias a esta equivalencia, las propiedades de las potencias sirven también para operar con radicales. Para multiplicar raíces de distinto índice, por ejemplo, basta con escribirlas como potencias, sumar los exponentes y volver a escribir el resultado como raíz. El índice de la raíz pasa al denominador del exponente y el exponente del radicando, al numerador.