Estos apuntes de ecuaciones y sistemas de 4º ESO están pensados para alumnos de 15-16 años y siguen el currículo oficial. En resumen, trabajan lo siguiente: Ecuaciones lineales y cuadráticas y sistemas de ecuaciones e inecuaciones lineales. Antes de empezar, conviene repasar operaciones con números reales y precisión y expresiones algebraicas y factorización, porque estos apuntes se apoyan en ese tema.
Apuntes de ecuaciones y sistemas 4º ESO: lo que vas a aprender
En este tema aprenderás: ecuaciones de primer grado, ecuaciones de segundo grado, sistemas de ecuaciones lineales, sistemas no lineales sencillos (Matemáticas B) y resolución de problemas. Cada idea va en un cuadro de color, con ejemplos resueltos paso a paso.
Actividad de introducción: el precio de la merienda
En una cafetería de Santander, dos amigos piden \(2\) batidos y \(3\) bocadillos y pagan \(13\) €; otros dos piden \(3\) batidos y \(1\) bocadillo y pagan \(9\) €. ¿Cuánto cuesta cada batido y cada bocadillo? Con una sola ecuación hay demasiadas respuestas posibles: el batido podría costar \(1\) € y el bocadillo \(3{,}67\) €, o el batido \(3\) € y el bocadillo \(2{,}33\) €, y así sucesivamente. Necesitamos dos ecuaciones a la vez y los valores que cumplan ambas: un sistema. En este tema repasarás las ecuaciones de primer y segundo grado y aprenderás a resolver sistemas de varias formas, a clasificarlos y a usarlos en problemas de la vida diaria, como el de la merienda, que podrás resolver tú mismo al terminar la lección.
Ecuaciones de primer grado
Definición: ecuación
Una ecuación es una igualdad con una incógnita que solo se cumple para ciertos valores, las soluciones. Las de primer grado se resuelven pasando los términos con \(x\) a un lado y los números al otro: \(3x-7=2x+5\Rightarrow x=12\). Si hay denominadores, se multiplica toda la ecuación por el mcm: \(\frac{x+1}{2}-\frac{x-2}{3}=2\) se multiplica por 6 y queda \(3(x+1)-2(x-2)=12\), es decir, \(x+7=12\) y \(x=5\).
Ecuaciones de segundo grado
Propiedad: ecuaciones de segundo grado
Una ecuación \(ax^2+bx+c=0\) (con \(a\neq0\)) se resuelve con la fórmula \[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.\] El discriminante \(\Delta=b^2-4ac\) indica cuántas soluciones reales hay:
- \(\Delta>0\): dos soluciones distintas.
- \(\Delta=0\): una solución doble \(x=-\frac{b}{2a}\).
- \(\Delta<0\): ninguna solución real.
Ejemplo 1
\(2x^2+3x-2=0\)
\(\Delta=9+16=25\), \(x=\frac{-3\pm5}{4}\), luego \(x=\frac{1}{2}\) o \(x=-2\).
Propiedad
Ecuaciones incompletas. Si \(b=0\), \(ax^2+c=0\) se despeja: \(2x^2-8=0\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm2\). Si \(c=0\), se saca factor común: \(3x^2-12x=3x(x-4)=0\Rightarrow x=0\) o \(x=4\).
Regla
Las soluciones son los puntos donde la parábola \(y=ax^2+bx+c\) corta al eje de abscisas. Para \(x^2-5x+6=0\), las soluciones son 2 y 3.
Observación
Relaciones útiles (fórmulas de Cardano-Vieta): si \(x_1\) y \(x_2\) son las soluciones, \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\) y \(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\). En \(x^2-5x+6=0\): suma 5 y producto 6.
Cómo se hace: resolver una ecuación de segundo grado
- Lleva la ecuación a la forma \(ax^2+bx+c=0\).
- Si \(b=0\) despeja \(x^2\); si \(c=0\) saca factor común \(x\).
- En los demás casos calcula \(\Delta=b^2-4ac\) y aplica la fórmula.
- Comprueba las soluciones en la ecuación original.
Sistemas de ecuaciones lineales
Método: sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se resuelve por uno de tres métodos:
- Sustitución: se despeja una incógnita en una ecuación y se sustituye en la otra.
- Igualación: se despeja la misma incógnita en ambas y se igualan.
- Reducción: se suman o restan las ecuaciones (multiplicándolas antes si hace falta) para eliminar una incógnita.
Ejemplo 2: reducción
\(\begin{cases}2x+3y=12\\4x-3y=6\end{cases}\).
Sumando: \(6x=18\), \(x=3\). Entonces \(6+3y=12\), \(y=2\).
Propiedad
Según el número de soluciones, un sistema es compatible determinado (una solución: las rectas se cortan), incompatible (ninguna: rectas paralelas, como \(x+y=3\) y \(2x+2y=8\)) o compatible indeterminado (infinitas: rectas coincidentes, como \(x-y=2\) y \(2x-2y=4\)).
Sistemas no lineales sencillos (Matemáticas B)
Regla
Cuando una ecuación es de primer grado y la otra de segundo, se despeja en la lineal y se sustituye. Ejemplo: \(\begin{cases}y=x+1\\x^2+y^2=25\end{cases}\). Se sustituye: \(x^2+(x+1)^2=25\Rightarrow2x^2+2x-24=0\Rightarrow x^2+x-12=0\), con \(x=3\) o \(x=-4\). Los pares son \((3,4)\) y \((-4,-3)\). Siempre hay que calcular la segunda incógnita para cada valor y comprobar en ambas ecuaciones.
Resolución de problemas
Método: resolución de problemas
- Lee y define las incógnitas con letras.
- Traduce cada condición a una ecuación.
- Resuelve el sistema o la ecuación.
- Comprueba que la solución tiene sentido (un lado no puede ser negativo; una edad, tampoco).
Ejemplo 2
La suma de dos números es 25 y su diferencia es 7.
Se plantea \(x+y=25\), \(x-y=7\); sumando, \(2x=32\), \(x=16\), \(y=9\).
Ejemplo 4: producto de dos números consecutivos
El producto de dos números naturales consecutivos es 156. ¿Cuáles son?
Sea \(x\) el menor: \(x(x+1)=156\), es decir, \(x^2+x-156=0\). Entonces \(\Delta=1+624=625\) y \(x=\frac{-1\pm25}{2}\), que da \(x=12\) o \(x=-13\). Como buscamos números naturales, la solución es 12 y 13, y \(12\cdot13=156\).
¡Atención! Errores frecuentes
- Olvidar el \(\pm\) al hacer la raíz cuadrada: \(x^2=4\) tiene dos soluciones.
- Dividir entre \(x\) en \(x^2=3x\): se pierde la solución \(x=0\). Hay que sacar factor común.
- Usar mal los signos en la fórmula: si \(b\) es negativo, \(-b\) es positivo.
- No comprobar las soluciones de los problemas.
Ecuaciones con radicales y con fracciones (ampliación)
Método: resolver una ecuación con una raíz
- Aísla la raíz en un miembro de la ecuación.
- Eleva al cuadrado los dos miembros (si el índice es 2).
- Resuelve la ecuación que resulta.
- Comprueba cada solución en la ecuación original: al elevar al cuadrado pueden aparecer soluciones falsas.
Ejemplo 3
Resuelve \(\sqrt{2x+3}=x\).
Elevamos al cuadrado: \(2x+3=x^2\), es decir \(x^2-2x-3=0\), \((x-3)(x+1)=0\). Comprobamos: \(x=3\) da \(\sqrt{9}=3\), vale; \(x=-1\) da \(\sqrt{1}=1\ne-1\), no vale. La única solución es \(x=3\).
Propiedad: número de soluciones de un sistema lineal \(2 imes2\)
Cada ecuación lineal con dos incógnitas representa una recta. Si las rectas se cortan, el sistema es compatible determinado (una solución); si coinciden, es compatible indeterminado (infinitas soluciones); si son paralelas, es incompatible (ninguna). En el sistema \(a_1x+b_1y=c_1\), \(a_2x+b_2y=c_2\) ocurre lo primero cuando \(\dfrac{a_1}{a_2}\ne\dfrac{b_1}{b_2}\).
Ejemplo 4
Estudia el sistema \(x+2y=4\), \(3x+6y=12\) y el sistema \(x+2y=4\), \(3x+6y=10\).
En el primero, \(\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{4}{12}\): las dos ecuaciones son la misma recta y hay infinitas soluciones. En el segundo, \(\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{6}\ne\dfrac{4}{10}\): son rectas paralelas y no hay solución.
¡Atención! Errores habituales
- Al pasar un término de un miembro a otro hay que cambiarle el signo.
- Con la fórmula general, no olvides dividir todo el numerador entre \(2a\).
- En un sistema, si multiplicas una ecuación por un número, multiplícala completa, incluido el término independiente.
- En los problemas, escribe siempre qué representa cada incógnita y comprueba la solución en el enunciado.
Elegir el método para un sistema
La sustitución conviene cuando alguna incógnita tiene coeficiente \(1\) o \(-1\). La igualación es cómoda cuando las dos ecuaciones están ya despejadas. La reducción es la mejor si los coeficientes de una incógnita son iguales u opuestos o se pueden igualar con una multiplicación sencilla. Los tres métodos dan el mismo resultado: elige el que menos cálculos necesite.
Resolver problemas paso a paso
Método: de la situación al sistema
- Lee el enunciado dos veces y subraya los datos numéricos y lo que se pide.
- Elige una letra para cada incógnita y escribe qué significa, con sus unidades.
- Traduce cada frase del enunciado a una ecuación: «el triple de» es \(3x\), «supera en 7» es \(+7\), «suman» es \(+\).
- Resuelve con el método más cómodo.
- Comprueba la solución en el texto del problema y responde con una frase completa.
Ejemplo 5
Un bolígrafo y un cuaderno cuestan \(3{,}50\) €. El cuaderno cuesta \(2\) € más que el bolígrafo. ¿Cuánto cuesta cada cosa?
Sean \(b\) el precio del bolígrafo y \(c\) el del cuaderno. Las ecuaciones son \(b+c=3{,}50\) y \(c=b+2\). Por sustitución, \(b+b+2=3{,}50\), \(2b=1{,}50\) y \(b=0{,}75\) €. Entonces \(c=2{,}75\) €. Comprobación: \(0{,}75+2{,}75=3{,}50\) y \(2{,}75-0{,}75=2\).
Ejemplo 6
El área de un rectángulo es \(48\) cm\(^2\) y su largo mide \(2\) cm más que el doble de su ancho. Calcula sus dimensiones.
Si el ancho es \(x\), el largo es \(2x+2\) y el área \(x(2x+2)=48\), es decir \(2x^2+2x-48=0\), o bien \(x^2+x-24=0\). Entonces \(\Delta=1+96=97\) y \(x=\dfrac{-1+\sqrt{97}}{2}\approx4{,}42\) cm (la solución negativa no vale). El largo mide \(2\cdot4{,}42+2\approx10{,}85\) cm.
¿Sabías que?
Hace más de dos mil años, los matemáticos chinos resolvían sistemas de ecuaciones colocando los coeficientes en una tabla de varillas, un método muy parecido al que hoy se conoce como método de Gauss. Los sistemas están detrás de los mapas del GPS, de la economía y de la ingeniería: un puente o un avión se calculan resolviendo sistemas de miles de ecuaciones con ordenadores.
Ecuaciones bicuadradas y ecuaciones racionales
Método: resolver una ecuación bicuadrada
- Comprueba que la ecuación solo tiene potencias pares de \(x\): \(ax^4+bx^2+c=0\).
- Haz el cambio de variable \(z=x^2\), que la convierte en una ecuación de segundo grado \(az^2+bz+c=0\).
- Resuelve esa ecuación con la fórmula general o factorizando.
- Deshaz el cambio: cada solución positiva de \(z\) da dos valores de \(x\), \(\pm\sqrt{z}\); si \(z=0\), da \(x=0\); y si \(z\) es negativo, no da soluciones reales.
Ejemplo 7
Resuelve \(x^4-13x^2+36=0\).
Hacemos \(z=x^2\) y queda \(z^2-13z+36=0\). El discriminante es \(169-144=25\), así que \(z=\dfrac{13\pm5}{2}\), es decir, \(z=9\) o \(z=4\). Deshacemos el cambio: si \(x^2=9\), entonces \(x=3\) o \(x=-3\); si \(x^2=4\), entonces \(x=2\) o \(x=-2\). La ecuación tiene cuatro soluciones: \(-3\), \(-2\), \(2\) y \(3\). Comprobamos una de ellas: \(81-117+36=0\).
Observación: ecuaciones con la incógnita en el denominador
Para resolver una ecuación como \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{3}{4}\), multiplicamos los dos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores. Así obtenemos una ecuación polinómica más sencilla. Pero al final hay que descartar cualquier solución que anule algún denominador, porque en ese valor la ecuación original no tiene sentido.
El consejo de Otto
Calcula primero el discriminante. Si es un cuadrado perfecto, las soluciones serán racionales y podrás factorizar con comodidad.
Cómo usar los apuntes de ecuaciones y sistemas de 4º ESO
Primero, lee lo esencial para saber de qué trata el tema. Después, trabaja cada definición y cada ejemplo, y tapa la solución antes de leerla. A continuación, practica con los ejercicios de ecuaciones y sistemas y comprueba cada uno con las soluciones. Cuando te sientas preparado, ponte a prueba con el test o el quiz. Finalmente, haz el examen de ecuaciones y sistemas y corrígelo con las soluciones del examen.
Además, el cálculo mental sirve como calentamiento, así que repasas lo esencial cada día. Además, todas las páginas de este tema están conectadas, así que puedes pasar de una a otra cuando quieras. Por ejemplo, muchos alumnos leen los apuntes el lunes, practican el miércoles y se ponen a prueba el viernes. En definitiva, estos apuntes de ecuaciones y sistemas de 4º ESO reúnen todo lo necesario para el tema.
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