Crecimiento y tasas de variación – matemáticas 4º ESO: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. \(f(1)=-1\), \(f(4)=8\). \(TVA=9\) y \(TVM=\dfrac{9}{3}=3\). Calculamos \(f(1)=1-2=-1\) y \(f(4)=16-8=8\); la TVM es la TVA entre la longitud del intervalo, 3.
   2. \(f(0)=0\), \(f(2)=0\). \(TVA=0\) y \(TVM=0\): la función vuelve al mismo valor.
   3. \(f(2)=0\), \(f(5)=15\). \(TVA=15\) y \(TVM=\dfrac{15}{3}=5\). La longitud del intervalo es 3.
   4. \(TVR=\dfrac{f(5)-f(2)}{f(2)}=\dfrac{15}{0}\): no se puede dividir entre cero. La tasa relativa divide entre el valor inicial, que aquí es cero.

2. Solución del ejercicio 2

   1. \(20,\ 30,\ 0,\ 30\) miles de euros.
   2. \(\dfrac{20}{100}=20\ \%\); \(\dfrac{30}{120}=25\ \%\); \(0\ \%\); \(\dfrac{30}{150}=20\ \%\).
   3. \(TVA=180-100=80\) y \(TVM=\dfrac{80}{4}=20\) miles de euros por año.
   4. En términos absolutos, el segundo y el cuarto año empatan (\(30\)). En términos relativos, el mayor es el segundo (\(25\ \%\)).

3. Solución del ejercicio 3

   1. \(1{,}2\cdot0{,}8=0{,}96\): variación total \(-4\ \%\). Multiplicamos los factores de variación: subir un 20 % es multiplicar por 1,2 y bajar un 20 %, por 0,8. El precio no vuelve al inicial.
   2. \(1{,}1\cdot1{,}1=1{,}21\): \(+21\ \%\). Cada subida multiplica por 1,1; la segunda se aplica sobre un precio ya aumentado, por eso el total supera el 20 %.
   3. \(0{,}9\cdot0{,}9=0{,}81\): \(-19\ \%\). Cada bajada multiplica por 0,9; el total es menos del 20 % porque la segunda bajada se aplica sobre un precio menor.
   4. \(1{,}5\cdot0{,}5=0{,}75\): \(-25\ \%\). Aunque los porcentajes son iguales, el resultado final es tres cuartos del precio inicial.

4. Solución del ejercicio 4

   1. \(\dfrac{46-40}{40}=0{,}15\): sube un \(15\ \%\). Dividimos la variación entre el precio inicial. Respuesta: sube un 15 %.
   2. \(\dfrac{68-80}{80}=-0{,}15\): baja un \(15\ \%\). La variación es negativa, lo que indica una bajada. Respuesta: baja un 15 %.
   3. \(P\cdot1{,}05=63\), \(P=60\) €. Dividimos el precio final entre el factor 1,05. Comprobación: \(60\cdot1{,}05=63\).
   4. \(P\cdot0{,}75=45\), \(P=60\) €. Bajar un 25 % es multiplicar por 0,75; dividimos entre ese factor. Comprobación: \(60\cdot0{,}75=45\).

5. Solución del ejercicio 5

   1. \(f(0)=2\), \(f(5)=17\): \(TVM=\dfrac{15}{5}=3\). \(f(2)=8\), \(f(10)=32\): \(TVM=\dfrac{24}{8}=3\).
   2. Coincide con la pendiente \(m=3\) en cualquier intervalo. En una función lineal la variación media es siempre la pendiente.
   3. \(TVA[1,2]=8-5=3\) y \(TVA[7,8]=26-23=3\).
   4. \(TVR[0,1]=\dfrac{5-2}{2}=150\ \%\) y \(TVR[4,5]=\dfrac{17-14}{14}\approx21{,}4\ \%\). No es constante: el mismo aumento absoluto es relativamente menor cuanto más grande es el valor.

6. Solución del ejercicio 6

   1. \(1,\ 3,\ 5,\ 7\).
   2. La \(TVM\) aumenta \(2\) en cada intervalo: la función crece cada vez más deprisa.
   3. \(TVM[-2,0]=\dfrac{0-4}{2}=-2\). \(TVM[-2,2]=\dfrac{4-4}{4}=0\): la función vuelve al mismo valor por simetría.
   4. La parábola decrece a la izquierda del vértice y crece a la derecha; su pendiente aumenta de forma continua.

7. Solución del ejercicio 7

   1. \(+1560;\ -560;\ +1060;\ +2163\). Hubo pérdida en 2020. Restamos cada población a la del año siguiente.
   2. \(\dfrac{1560}{52000}=3{,}0\ \%\); \(\dfrac{-560}{53560}\approx-1{,}0\ \%\); \(\dfrac{1060}{53000}=2{,}0\ \%\); \(\dfrac{2163}{54060}=4{,}0\ \%\). Dividimos cada TVA entre la población del año anterior.
   3. \(TVM=\dfrac{56223-52000}{4}=1055{,}75\) habitantes por año: en media, la localidad ganó unos \(1056\) habitantes cada año.
   4. \(56\,223\cdot1{,}03^2=56\,223\cdot1{,}0609=59\,647\), es decir unos \(59\,647\) habitantes. Multiplicamos dos veces por 1,03.

8. Solución del ejercicio 8

   1. Febrero \(3200\cdot1{,}10=3520\); marzo \(3520\cdot0{,}95=3344\); abril \(3344\cdot1{,}10=3678{,}40\) €. Cada mes multiplicamos por el factor correspondiente.
   2. \(1{,}10\cdot0{,}95\cdot1{,}10=1{,}1495\): \(+14{,}95\ \%\). Multiplicamos los tres factores.
   3. \(TVA=3678{,}40-3200=478{,}40\) € y \(TVM=\dfrac{478{,}40}{3}\approx159{,}47\) € al mes. La TVM es la TVA entre los 3 meses.
   4. La subida constante sería de \(\approx4{,}75\ \%\) al mes.

9. Solución del ejercicio 9

   1. \(1{,}60\cdot1{,}08=1{,}728\) €; \(1{,}728\cdot0{,}95=1{,}6416\) €. Multiplicamos por 1,08 y después por 0,95.
   2. \(1{,}08\cdot0{,}95=1{,}026\): \(+2{,}6\ \%\).
   3. Antes \(96\) € y después \(60\cdot1{,}6416=98{,}50\) €. Multiplicamos los litros por cada precio.
   4. Hay que dividir: \(\dfrac{1{,}60}{1{,}728}=0{,}9259\), es decir una bajada del \(7{,}4\ \%\).

10. Solución del ejercicio 10

    1. \(+11;\ +3;\ -6;\ -7\) °C.
    2. \(\dfrac{11}{6}\approx1{,}83\); \(\dfrac{3}{3}=1\); \(\dfrac{-6}{3}=-2\); \(\dfrac{-7}{6}\approx-1{,}17\) °C/h.
    3. Se calienta más deprisa entre las \(6\) y las \(12\) h (\(1{,}83\) °C/h) y se enfría más deprisa entre las \(15\) y las \(18\) h (\(-2\) °C/h).
    4. \(TVM=\dfrac{9-8}{18}\approx0{,}06\) °C/h: positiva, pero casi cero, porque a las \(24\) h la temperatura es casi la de las \(6\) h.

11. Solución del ejercicio 11

    1. \(2060;\ 2121{,}80;\ 2185{,}45\) €. Cada año multiplicamos el saldo por 1,03.
    2. \(60;\ 61{,}80;\ 63{,}65\) € (aumentan porque el interés se calcula sobre un saldo mayor).
    3. Siempre \(3\ \%\): \(\dfrac{60}{2000}=\dfrac{61{,}8}{2060}=0{,}03\).
    4. Con interés simple: \(2000+3\cdot60=2180\) €. El compuesto gana \(5{,}45\) € más.

12. Solución del ejercicio 12

    1. \(80\cdot0{,}70=56\) € y \(56\cdot0{,}85=47{,}60\) €. Cada rebaja multiplica por su factor: 0,70 y 0,85.
    2. \(0{,}70\cdot0{,}85=0{,}595\): descuento total del \(40{,}5\ \%\). Restamos el factor total a 1.
    3. Sí: \(0{,}85\cdot0{,}70=0{,}595\); el producto de factores no depende del orden.
    4. No: con \(45\ \%\) costarían \(80\cdot0{,}55=44\) €, menos que \(47{,}60\) €. Dos rebajas encadenadas no se suman.

13. Solución del ejercicio 13

    1. \(3,\ 4,\ 5,\ 6\) cm.
    2. \(\dfrac{3}{10}=30{,}0\ \%\); \(\dfrac{4}{13}\approx30{,}8\ \%\); \(\dfrac{5}{17}\approx29{,}4\ \%\); \(\dfrac{6}{22}\approx27{,}3\ \%\).
    3. \(TVM=\dfrac{28-10}{4}=4{,}5\) cm por semana.
    4. La \(TVR\) oscila alrededor del \(30\ \%\) (algo menos al final), mientras que la \(TVA\) aumenta cada semana. Con un \(27\ \%\): \(28\cdot1{,}27=35{,}56\) cm.

14. Solución del ejercicio 14

    1. \(\dfrac{40}{0{,}5}=80\); \(\dfrac{50}{0{,}5}=100\); \(\dfrac{100}{1}=100\) km/h.
    2. La \(TVM\) de la distancia respecto al tiempo es la velocidad media en el intervalo, en km/h.
    3. \(\dfrac{190}{2}=95\) km/h.
    4. Fue más rápido (empatando) en los dos últimos tramos, \(100\) km/h. En \(3\) h: \(190+100=290\) km.

15. Solución del ejercicio 15

    1. \(100;\ 150;\ 225;\ 337{,}5;\ 506{,}25;\ 759{,}38;\ 1139{,}06\) (horas \(0\) a \(6\)).
    2. \(50;\ 75;\ 112{,}5;\ 168{,}75;\ 253{,}13;\ 379{,}69\): aumentan cada hora, aunque la \(TVR\) es siempre \(50\ \%\).
    3. \(N(6)=100\cdot1{,}5^{6}=1139{,}06\) individuos.
    4. En \(1\) h hay \(150\) y en \(2\) h \(225\): el doble se alcanza entre la primera y la segunda hora, aproximadamente a las \(1{,}7\) h.
    5. \(TVM[0,6]=\dfrac{1039{,}06}{6}\approx173{,}18\) y \(TVM[0,3]=\dfrac{237{,}5}{3}\approx79{,}17\). La \(TVM\) crece: el ritmo de crecimiento aumenta con el tiempo.

16. Solución del ejercicio 16

    1. \(102{,}50;\ 105{,}68;\ 107{,}58\) € (redondeando a céntimos).
    2. \(1{,}025\cdot1{,}031\cdot1{,}018\approx1{,}0758\): \(+7{,}58\ \%\).
    3. La suma es \(7{,}4\ \%\), menor que \(7{,}58\ \%\): porque cada año el porcentaje se aplica sobre un precio ya aumentado.
    4. La tasa constante equivalente es \(\approx2{,}47\ \%\) anual.

17. Solución del ejercicio 17

    1. \(+1200;\ +1320;\ +1452\). Restamos las visitas de cada mes a las del mes siguiente.
    2. \(\dfrac{1200}{12000}=\dfrac{1320}{13200}=\dfrac{1452}{14520}=10\ \%\): crecimiento exponencial con \(TVR\) constante. La TVR es la misma cada mes, señal de crecimiento exponencial.
    3. Quinto mes: \(15\,972\cdot1{,}1=17\,569{,}2\approx17\,569\). Sexto: \(19\,326{,}1\approx19\,326\). Multiplicamos por 1,1 cada mes.
    4. Séptimo: \(21\,258{,}7\); octavo: \(23\,384{,}6\); noveno: \(25\,723{,}1\). Se superan en el noveno mes. Seguimos multiplicando por 1,1 hasta pasar de 25 000. Respuesta: en el noveno mes.

18. Solución del ejercicio 18

    1. \(-40;\ -38;\ -36\) alumnos. \(TVR\): \(-5\ \%\) cada año. Cada TVR se calcula sobre la matrícula del año anterior.
    2. Disminución exponencial de factor \(0{,}95\). Cada año se multiplica por 0,95.
    3. 2025 (\(n=5\)): \(800\cdot0{,}95^{5}\approx619\). 2027 (\(n=7\)): \(\approx559\). Sustituimos \(n=5\) y \(n=7\).
    4. \(800\cdot0{,}95^{n}<600\) da \(0{,}95^{n}<0{,}75\), \(n>5{,}6\). Con \(n=6\) (2026): \(\approx588\) alumnos. Respuesta: en 2026.

19. Solución del ejercicio 19

    1. \(P\cdot0{,}70=84\), \(P=120\) €. Dividimos entre el factor 0,70.
    2. \(P\cdot1{,}21=121\), \(P=100\) €. Dividimos entre el factor 1,21.
    3. \(121-100=21\) €.
    4. \(121\cdot0{,}70=84{,}70\) € con IVA, que equivale a \(\dfrac{84{,}70}{1{,}21}=70\) € sin IVA: el descuento se aplica igual a la base.

20. Solución del ejercicio 20

    1. Se multiplica por \(0{,}5\); para volver a \(1\) hace falta \(\dfrac{1}{0{,}5}=2\): subida del \(100\ \%\).
    2. \(\dfrac{1}{0{,}8}=1{,}25\): subida del \(25\ \%\).
    3. \((1+r)(1-r)=1-r^2=0{,}96\), \(r^2=0{,}04\), \(r=0{,}2\): \(x=20\ \%\).
    4. Compuesto: \(1{,}1^3=1{,}331\), es decir \(+33{,}1\ \%\). Simple: \(+30\ \%\). La diferencia se debe a que en el compuesto cada aumento se aplica sobre el valor ya aumentado.