Razones trigonométricas (Matemáticas B) – matemáticas 4º ESO: ejercicios para descargar en PDF

Un triángulo rectángulo tiene catetos de \(3\) cm y \(4\) cm e hipotenusa de \(5\) cm. Sea \(\alpha\) el ángulo opuesto al cateto de \(3\) cm y \(\beta\) el opuesto al de \(4\) cm.

1. Calcula \(\operatorname{sen}\alpha\), \(\cos\alpha\) y \(\operatorname{tg}\alpha\).
2. Calcula \(\operatorname{sen}\beta\), \(\cos\beta\) y \(\operatorname{tg}\beta\).
3. Calcula el valor de \(\alpha\) y de \(\beta\) con la calculadora (en grados).
4. Comprueba que \(\alpha+\beta=90^\circ\) y que \(\operatorname{sen}\alpha=\cos\beta\).

Calcula las otras dos razones trigonométricas de un ángulo agudo \(\alpha\) a partir de la que se da, usando \(\operatorname{sen}^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) y \(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos\alpha}\).

1. \(\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{5}{13}\)
2. \(\cos\alpha=0{,}8\)
3. \(\operatorname{tg}\alpha=2\)
4. \(\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{1}{3}\)

Recuerda: \(\operatorname{sen}30^\circ=\dfrac{1}{2}\), \(\cos30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}\), \(\operatorname{tg}30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{3}\), \(\operatorname{sen}45^\circ=\cos45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}\), \(\operatorname{tg}45^\circ=1\), \(\operatorname{sen}60^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}\), \(\cos60^\circ=\dfrac{1}{2}\), \(\operatorname{tg}60^\circ=\sqrt3\).

1. Calcula \(\operatorname{sen}30^\circ+\cos60^\circ\).
2. Calcula \(\operatorname{sen}^245^\circ+\cos^245^\circ\).
3. Calcula \(\operatorname{tg}60^\circ\cdot\operatorname{tg}30^\circ\).
4. Calcula \(2\operatorname{sen}60^\circ-\sqrt3\cos30^\circ\) y simplifica.

Con la calculadora en modo grados:

1. Calcula \(\operatorname{sen}37^\circ\), \(\cos37^\circ\) y \(\operatorname{tg}37^\circ\) (cuatro decimales).
2. Halla el ángulo agudo cuyo seno vale \(0{,}8\).
3. Halla el ángulo agudo cuya tangente vale \(1{,}5\).
4. Halla el ángulo agudo cuyo coseno vale \(0{,}25\).

En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide \(10\) cm y uno de los ángulos agudos mide \(35^\circ\).

1. Calcula el otro ángulo agudo.
2. Calcula el cateto opuesto al ángulo de \(35^\circ\).
3. Calcula el cateto adyacente.
4. Comprueba el resultado con el teorema de Pitágoras y calcula el área.

Un triángulo rectángulo tiene catetos de \(5\) cm y \(12\) cm.

1. Calcula la hipotenusa.
2. Calcula el ángulo opuesto al cateto de \(5\) cm con la tangente.
3. Calcula el otro ángulo agudo.
4. Calcula el seno y el coseno del ángulo menor y comprueba con ellos la hipotenusa.

Usa que \(\operatorname{sen}\alpha=\cos(90^\circ-\alpha)\) y \(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{1}{\operatorname{tg}(90^\circ-\alpha)}\).

1. Escribe \(\operatorname{sen}70^\circ\) como coseno de otro ángulo.
2. Calcula \(\operatorname{tg}25^\circ\cdot\operatorname{tg}65^\circ\).
3. Simplifica \(\dfrac{\operatorname{sen}50^\circ}{\cos40^\circ}\).
4. Si \(\cos\alpha=0{,}6\), ¿cuánto vale \(\operatorname{sen}(90^\circ-\alpha)\)?

Desde un punto situado a \(30\) m del pie de una torre del castillo de Peñafiel, un observador de \(1{,}60\) m de altura ve la parte más alta con un ángulo de elevación de \(40^\circ\).

1. Dibuja el triángulo rectángulo y señala el ángulo y los catetos.
2. Calcula la altura de la torre por encima de los ojos del observador.
3. Calcula la altura total de la torre.
4. Calcula la distancia en línea recta desde los ojos hasta la parte más alta.

Una escalera de \(5\) m se apoya en una pared de un edificio de Burgos formando un ángulo de \(65^\circ\) con el suelo.

1. Calcula la altura que alcanza en la pared.
2. Calcula la distancia del pie de la escalera a la pared.
3. Por seguridad el ángulo debe estar entre \(65^\circ\) y \(75^\circ\). ¿Entre qué distancias a la pared debe colocarse el pie?
4. ¿Qué altura alcanza con \(75^\circ\)?

Una rampa de acceso a un portal en Gijón debe salvar un desnivel de \(0{,}6\) m con una pendiente del \(8\ \%\).

1. Calcula el ángulo de inclinación de la rampa.
2. Calcula la distancia horizontal que ocupa.
3. Calcula la longitud real de la rampa.
4. Si la normativa obliga a que el ángulo no supere \(5^\circ\), ¿se cumple? ¿Cuál sería la pendiente máxima en %?

Desde lo alto de un faro de \(40\) m sobre el nivel del mar, en la costa de Cantabria, el vigilante observa un barco con un ángulo de depresión de \(18^\circ\) (ángulo con la horizontal hacia abajo).

1. Dibuja el triángulo y explica por qué el ángulo en el barco, medido desde el mar hacia arriba, también es de \(18^\circ\).
2. Calcula la distancia horizontal del barco al pie del faro.
3. Poco después el ángulo de depresión es de \(35^\circ\). Calcula la nueva distancia.
4. ¿Cuántos metros se ha acercado el barco?

Un teleférico de la sierra de Guadarrama recorre \(1200\) m de cable con una inclinación constante de \(25^\circ\).

1. Calcula el desnivel que salva.
2. Calcula la distancia horizontal recorrida.
3. Si la cabina avanza a \(5\) m/s, ¿cuánto tarda?
4. Si la estación de salida está a \(1\,100\) m de altitud, ¿a qué altitud está la de llegada?

Un edificio de \(45\) m de altura proyecta una sombra sobre el suelo de una plaza de Valencia. La inclinación de los rayos del sol (ángulo con el suelo) varía durante el día.

1. Calcula la longitud de la sombra cuando el sol está a \(55^\circ\).
2. Calcula la sombra cuando el sol está a \(30^\circ\).
3. ¿A qué ángulo de elevación del sol la sombra mide exactamente \(45\) m?
4. ¿A qué ángulo la sombra mide \(90\) m?

Una señal de tráfico en un puerto de montaña de León indica una pendiente del \(12\ \%\).

1. Calcula el ángulo de inclinación.
2. Calcula el desnivel tras recorrer \(100\) m en horizontal.
3. Calcula el desnivel tras recorrer \(1\,000\) m sobre la carretera (distancia inclinada).
4. ¿Qué pendiente en % corresponde a un ángulo de \(10^\circ\)?

Para medir la altura de una torre inaccesible en Segovia se hacen dos observaciones alineadas con su pie: desde un punto \(A\) el ángulo de elevación es de \(30^\circ\) y, tras acercarse \(40\) m en línea recta hacia la torre, desde \(B\) el ángulo es de \(45^\circ\).

1. Llama \(h\) a la altura. Escribe la distancia de \(B\) y de \(A\) al pie con la tangente.
2. Plantea y resuelve la ecuación para hallar \(h\).
3. Comprueba el resultado con las dos tangentes.
4. Calcula las distancias en línea recta desde \(A\) y desde \(B\) hasta lo alto de la torre.

Para medir la anchura de un río en Extremadura, un topógrafo se sitúa en un punto \(A\) frente a un árbol \(T\) de la orilla opuesta, camina \(30\) m por su orilla hasta \(B\) y mide el ángulo \(\widehat{ABT}=50^\circ\) (el ángulo en \(A\) es recto).

1. Dibuja el triángulo rectángulo y señala los datos.
2. Calcula la anchura del río.
3. Calcula la distancia de \(B\) al árbol.
4. Si el ángulo hubiera sido de \(35^\circ\), ¿qué anchura tendría el río? Compara.

Un avión comercial se aproxima al aeropuerto de Sevilla descendiendo con un ángulo de \(3^\circ\) con la horizontal desde una altitud de \(3\,000\) m.

1. Calcula la distancia horizontal que debe recorrer hasta tocar tierra.
2. Calcula la distancia real recorrida en el aire.
3. A una velocidad de \(250\) km/h, ¿cuántos minutos dura el descenso?
4. Calcula el descenso en metros por kilómetro recorrido en horizontal.

El tejado a dos aguas de una casa de un pueblo de Asturias tiene una inclinación de \(30^\circ\) en ambos faldones. La casa tiene \(10\) m de ancho y \(14\) m de fondo.

1. Dibuja la sección del tejado como un triángulo isósceles y calcula la altura de la cumbrera sobre el borde del tejado.
2. Calcula la longitud de cada faldón (en la pendiente).
3. Calcula la superficie total del tejado.
4. Si cuesta \(55\) €/m\(^2\) cubrirlo con teja, ¿cuánto cuesta? Si la inclinación fuera de \(40^\circ\), ¿cuánto mediría el faldón?

Un triángulo isósceles tiene dos lados iguales de \(10\) cm y un ángulo desigual (entre ellos) de \(40^\circ\).

1. Traza la altura sobre la base y calcula la mitad de la base con el seno de \(20^\circ\).
2. Calcula la base.
3. Calcula la altura con el coseno de \(20^\circ\).
4. Calcula el área de dos formas: con base y altura, y con \(\dfrac{1}{2}\cdot10\cdot10\cdot\operatorname{sen}40^\circ\).

Resuelve estos retos.

1. Resuelve \(2\operatorname{sen}\alpha=\sqrt3\) con \(\alpha\) agudo.
2. Demuestra que \(\dfrac{1-\cos^2\alpha}{\operatorname{sen}\alpha}=\operatorname{sen}\alpha\).
3. Demuestra que \((\operatorname{sen}\alpha+\cos\alpha)^2=1+2\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha\).
4. Una escalera de \(L\) m apoyada en una pared forma \(\alpha\) con el suelo. Si \(\operatorname{sen}\alpha=0{,}8\) y la altura alcanzada es \(4\) m, calcula \(L\), la distancia al pie y \(\operatorname{tg}\alpha\).