Razones trigonométricas (Matemáticas B) – matemáticas 4º ESO: apuntes y teoría para descargar en PDF

Actividad de introducción: la rampa del skate park

En un skate park de Alcalá de Henares, una rampa mide \(3\) m de largo y sube \(1\) m de altura. Otra rampa, más pequeña pero igual de inclinada, mide \(1{,}5\) m de largo. ¿Cuánto sube? Como las dos rampas forman triángulos rectángulos semejantes, el cociente entre la altura y la longitud es el mismo: \(\dfrac{1}{3}\approx0{,}33\). Ese número solo depende del ángulo de inclinación. A ese cociente lo llamamos seno del ángulo. Si se divide la altura entre la base horizontal, resulta la tangente, y si se divide la base entre la rampa, el coseno. Con estas tres razones se pueden calcular ángulos y distancias inaccesibles sin medirlos directamente: la altura de una torre, la anchura de un río o la pendiente de una carretera.

Observación

Estas razones solo dependen del ángulo, no del tamaño del triángulo, porque todos los triángulos rectángulos con el mismo ángulo agudo son semejantes. Ejemplo: en el triángulo de catetos 3 y 4 e hipotenusa 5, el ángulo \(\alpha\) opuesto al cateto 3 cumple \(\operatorname{sen}\alpha=\frac{3}{5}=0{,}6\), \(\cos\alpha=\frac{4}{5}=0{,}8\) y \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{3}{4}=0{,}75\).

Observación

Se deducen del triángulo equilátero de lado 2 (cortado por su altura, da ángulos de 30° y 60°, con catetos 1 y \(\sqrt{3}\)) y del cuadrado de lado 1 (su diagonal mide \(\sqrt{2}\)). Para los demás ángulos se usa la calculadora en modo grados (DEG): \(\operatorname{sen}40^\circ\approx0{,}6428\). Para obtener el ángulo conocida una razón se usan las teclas inversas: \(\alpha=\operatorname{sen}^{-1}(0{,}6)\approx36{,}87^\circ\).

Observación

Resolver un triángulo rectángulo es hallar todos sus lados y ángulos a partir de los datos. Siempre se necesitan dos datos además del ángulo recto, y al menos uno ha de ser un lado.

Resumen: elegir la razón adecuada

Antes de calcular, nombra los tres lados respecto del ángulo que conoces: el opuesto, el adyacente y la hipotenusa. Si el problema relaciona el opuesto con el adyacente, usa la tangente; si interviene la hipotenusa y el cateto opuesto, el seno; y si interviene la hipotenusa y el cateto adyacente, el coseno. Una regla útil para no confundirse es dibujar siempre el triángulo y escribir encima de cada lado su nombre. Además, conviene estimar el resultado antes de usar la calculadora: una torre vista bajo un ángulo menor de 45 grados siempre será más baja que la distancia al observador.

¿Sabías que?

La palabra «seno» tiene un origen curioso: viene de la traducción de la palabra india «jiva» (cuerda), que los árabes escribieron «jaib» (bolsillo, pliegue) y que los traductores latinos tradujeron como «sinus», que significa precisamente «pliegue» o «bahía». La trigonometría nació para resolver problemas de astronomía y navegación y hoy se usa en topografía, arquitectura, videojuegos, GPS y ondas de sonido.

Observación

El seno y el coseno de un ángulo agudo siempre están entre 0 y 1, porque un cateto es menor que la hipotenusa. La tangente, en cambio, puede tomar cualquier valor positivo.