Funciones y sus características – matemáticas 4º ESO: apuntes y teoría para descargar en PDF

Definición: dominio

El dominio, \(\mathrm{Dom}\,f\), es el conjunto de valores de \(x\) para los que existe \(f(x)\). El recorrido (o imagen), \(\mathrm{Rec}\,f\), es el conjunto de valores que toma \(y\). Reglas para calcular el dominio de una fórmula:

• En una fracción \(\frac{1}{g(x)}\), se excluyen los \(x\) que anulan \(g\): \(f(x)=\frac{3}{x-2}\) tiene dominio \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\).
• En una raíz cuadrada \(\sqrt{g(x)}\), se exige \(g(x)\ge0\): \(\sqrt{x+5}\) tiene dominio \([-5,+\infty)\).
• Si no hay fracciones ni raíces (polinomios), el dominio es \(\mathbb{R}\).

Definición: continua

Una función es continua si su gráfica se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel. Los puntos donde esto no ocurre son discontinuidades: puede haber un salto, un punto aislado o una asíntota (donde la función se va a infinito). Una función definida a trozos como \[f(x)=\begin{cases}x+1&\text{si }x<1\\3&\text{si }x\ge1\end{cases}\] tiene un salto en \(x=1\): por la izquierda se acerca a 2 (punto vacío) y en \(x=1\) vale 3 (punto lleno).

Definición: par

Una función es par si \(f(-x)=f(x)\) para todo \(x\) (simétrica respecto al eje Y), como \(f(x)=x^2\). Es impar si \(f(-x)=-f(x)\) (simétrica respecto al origen), como \(f(x)=x^3\). Muchas no son ni pares ni impares: \(f(x)=x^2+x\), porque \(f(-1)=0\) mientras que \(f(1)=2\) y \(-f(1)=-2\).

Definición: máximos y mínimos

Una función tiene un máximo relativo en \(x=a\) si \(f(a)\ge f(x)\) para los valores de \(x\) próximos a \(a\); tiene un mínimo relativo si \(f(a)\le f(x)\) cerca de \(a\). El máximo absoluto (o mínimo absoluto) es el mayor (o menor) de todos los valores que toma la función. Los máximos y mínimos se llaman extremos.

Definición: tasa de variación media

La tasa de variación media de una función \(f\) en el intervalo \([a,b]\) mide cuánto cambia, en promedio, la variable \(y\) por cada unidad que aumenta \(x\): \(TVM[a,b]=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\). Si es positiva, la función ha subido en ese intervalo; si es negativa, ha bajado; y si es cero, empieza y termina a la misma altura. Gráficamente es la pendiente del segmento que une los puntos \((a,f(a))\) y \((b,f(b))\).